北京市海淀区2018年中考一模数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ）

2．图1是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能是下面哪个组件的视图（    ） 

3．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（    ）

A.6                    B. 5                    C. 4                    D.3

4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（    ）

5．如果，那么代数式的值是（    ）

A.2                    B.                C.1                    D. 

6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示. 若，则下列结论中正确的是（    ）

A.            B.             C.          D. 

7．在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况.

（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育》）

根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是（    ）

A．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升

B．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升

C．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万

D．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%

8．如图1，矩形的一条边长为，周长的一半为.定义为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.

则下面叙述中正确的是（    ）

A. 点的横坐标有可能大于3

B. 矩形1是正方形时，点位于区域② 

C. 当点沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小

D. 当点位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9． 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是          ．  

10．我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务. 2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用科学记数法表示为       ．  

11．如图，，若，，，则=          ．  

12．写出一个解为1的分式方程：          ． 

13．京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为__________．

14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于

点E，连接AE，若∠D = 72°，则∠BAE =          °.                                                                       

15．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．

阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，

，是弧的中点，于，

则．                     

如图2，△中，，，， 

是上一点，，作交△的外接圆于，连接，则=________°． 

16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程. 

请回答尺规作图的依据是                                                            ．

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：．

18．解不等式组： 

19．如图，△中，，为的中点，连接，

过点作的平行线，求证：平分．

20．关于的一元二次方程.

（1）若是方程的一个实数根，求的值；

（2）若为负数，判断方程根的情况.

21．如图，□的对角线相交于点，且AE∥BD，

BE∥AC，OE = CD.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形的面积取得最大值是_______.

22．在平面直角坐标系中，已知点（2，2），（－1，2），函数.

（1）当函数的图象经过点时，求的值并画出直线．

（2）若，两点中恰有一个点的坐标（，）满足不

等式组（＞0），求的取值范围．

23．如图，是的直径，弦于点，过点作

的切线交的延长线于点.

（1）已知，求的大小（用含的式子表示）；

（2）取的中点，连接，请补全图形；若，，求的半径.                                                    

24． 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.

收集数据

调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________（填字母）；

A．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本 

B．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本 

C．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本 

整理、描述数据

抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：

整理数据，如下表所示：

分析数据、得出结论

调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，

你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________.

体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有________名同学参加此项目.

25．在研究反比例函数的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析.

首先，确定自变量的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被轴分成两部分；其次，分析解析式，得到随的变化趋势：当时，随着值的增大，的值减小，且逐渐接近于零，随着值的减小，的值会越来越大，由此，可以大致画出在时的部分图象，如图1所示：

利用同样的方法，我们可以研究函数的图象与性质. 

通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.

（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点；（画出网格区域内的部分即可）

（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________；

（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数的取值范围：__________.

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点在 x轴上，，（）是此抛物线上的两点．

（1）若，

①当时，求，的值；

②将抛物线沿轴平移，使得它与轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；

（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是      ．

27．如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，.

（1）当时，求的长；

（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断. 

28．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在上，则称为的反射点．下图为的反射点的示意图．

（1）已知点的坐标为，的半径为，

①在点，，中，的反射点是____________；

②点在直线上，若为的反射点，求点的横坐标的取值范围；

（2）的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

北京市海淀区2018年中考一模数学试卷参及评分标准

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

9．            10．          11．          12．（答案不唯一）

13．              14．              15． 

16．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）

17.

解：原式=                                      ………………4分

=.                                                     ………………5分

18.

解： 

解不等式①，得.                                               ………………2分

解不等式②，得.                                                ………………4分

所以 原不等式组的解集为.                                  ………………5分

19. 证明：∵，为的中点，

∴.

∴.                                                   ………………2分

∵，

∴.                                                   ………………3分

∴.                                   

∴平分.                                                   ………………5分

20．解：（1）∵是方程的一个实数根，

∴.                                         ………………1分

∴.                                                          ………………3分

(2).

∵，

∴.                             

∴.                                                  ………………4分

∴此方程有两个不相等的实数根.                                      ………………5分

21．（1）证明：∵，，

∴四边形是平行四边形.                                         ………………1分

∵四边形是平行四边形，

∴.                                                       

∵,

∴.

∴平行四边形是矩形.                                           ………………2分

∴.

∴.

∴平行四边形是菱形.                                           ………………3分

(2) 正方形；                                                         ………………4分

2.                                                           ………………5分

22．解：（1）∵函数的图象经过点，

        ∴，即．       ………………1分

         图象如图所示.             ………………2分

（2）当点满足（＞0）时，

        解不等式组得．                           ………………3分

当点满足（＞0）时，

        解不等式组得．                             ………………4分

∵两点中恰有一个点的坐标满足（＞0），

∴的取值范围是：，或．                      ………………5分                                             

23．解：（1）连接，．

∵，是的直径，

∴．

∵，，

∴．     ………………1分

∵为的切线，

     ∴.

     ∴.

 ∴.

．  ………………2分

（2）图形如图所示.连接.

∵为的直径，

∴为中点，．

∵为的中点，

∴，.  ………………3分

∵，

∴．

∵，

     ∴.           ………………4分

      ∴．

设的半径为．

∵，，

     ∴.

      ∴．                                               ………………5分

      ∵，

       ∴.

       解得．（舍去负根）

 ∴的半径为2．                                             ………………6分                         

24．C                                                       ………………1分

（2）去年的体质健康测试成绩比今年好．（答案不唯一，合理即可）  ………………3分

去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大．（答案不唯一，合理即可）

                                                         ………………4分

（3）70．                                                  ………………6分

25．（1）如图：                                                       ………………2分

（2）当时，随着的增大而减小；（答案不唯一）                  ………………4分

（3）.                ………………6分

26．解：抛物线的顶点在轴上，

.

.                                                    ………………1分

（1），.

抛物线的解析式为.

1，，解得，.               ………………2分

②依题意，设平移后的抛物线为.

抛物线的对称轴是，平移后与轴的两个交点之间的距离是，

是平移后的抛物线与轴的一个交点.

，即.

变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位.                   ………………4分

（2）.                                                      ………………6分

  27．.解：

（1）作⊥交于.

∵⊥，，

∴.

∴.

∴.                ………………1分

∵, ,

∴,.

∴.

∴.            ………………3分

（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如下：

                                                                   ………………4分

当点与点不重合时，延长到使得.

∵,

∴.

∴.

∵,是公共边,

∴≌.

∴.                ………………5分

作⊥于,⊥于.

∵，

∴.     ………………6分

∵⊥,⊥,⊥，

∴四边形为矩形.

∴.

∵,

∴.

∵⊥,

∴.∴,即.

当点与点重合时，由上过程可知结论成立.                         ………………7分

28．解（1）①的反射点是，．                               ………………1分

②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，，，，过点作轴于点，如图．      

可求得点的横坐标为．同理可求得点，，的横坐标分别为，，．

点是的反射点，则上存在一点，使点关于直线的对称点在上，则.

∵，∴．

反之，若，上存在点，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点是的反射点．

∴点的横坐标的取值范围是，或．    ………………4分

（2）圆心的横坐标的取值范围是．                       ………………7分