2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A． B． C． D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为
A．-80 B．-40 C．40 D．80
5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B． C． D．
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A．-24 B．-3 C．3 D．8
10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
11．已知函数有唯一零点，则a=
A． B． C． D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．
14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
15．设函数则满足的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
| 最高气温 | [10，15） | [15，20） | [20，25） | [25，30） | [30，35） | [35，40） |
| 天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
20．（12分）
已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数 =x﹣1﹣alnx．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D
7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A
二、填空题
13. -1 14. -8 15. 16. ②③
三、解答题
17.解：
（1）由已知得 tanA=
在 △ABC中，由余弦定理得
（2）有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
18.解：
（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
.
因此的分布列为
| 0.2 | 0.4 | 0.4 |
当时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=0-0.4n
当时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。
19.解：
（1）由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以
（2）
由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故
设是平面DAE的法向量，则
可取
设是平面AEC的法向量，则同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为
20.解
（1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得
故圆心M的坐标为，圆M的半径
由于圆M过点P（4，-2），因此,故
即
由（1）可得，
所以，解得.
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为
当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为
21.解：（1）的定义域为.
若，因为，所以不满足题意；
若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.
故a=1
（2）由（1）知当时，
令得，从而
故
而，所以m的最小值为3.
22.解：
（1）消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程
设P（x,y）,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为
（2）C的极坐标方程为
联立得.
故，从而
代入得，所以交点M的极径为.
23.解：
（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而
且当时，.
故m的取值范围为
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