导数与微分习题及答案

(A)

1．设函数，当自变量由改变到时，相应函数的改变量(    )

  A．  B．  C．   D．

2．设在处可，则(    )

  A．  B．  C．   D．

3．函数在点连续，是在点可导的 (    )

  A．必要不充分条件        B．充分不必要条件  

C．充分必要条件          D．既不充分也不必要条件

4．设函数是可导的，且，则(    )

  A．   B．   C．   D．

5．若函数在点连续，则在点(    )

  A．左导数存在；  B．右导数存在；  C．左右导数都存在  D．有定义 

6．在点处的导数是(  )

  A．1   B．0   C．-1   D．不存在 

7．曲线在点处切线斜率等于(     )

  A．8   B．12   C．-6   D．6

8．设且二阶可导，则 (    )

  A．   B．   C．   D． 

 9．若 在处可导，则，的值应为(    )

  A．，            B． ，

C．，           D．，

10．若函数在点处有导数，而函数在点处没有导数，则，在处(    )

  A．一定都没有导数             B．一定都有导数

C．恰有一个有导数               D．至少一个有导数

11．函数与在处都没有导数，则，在处(    )

  A．一定都没有导数             B．一定都有导数

C．至少一个有导数             D．至多一个有导数

12．已知，在处可导，则(    )

  A．，都必须可导       B．必须可导

C．必须可导              D．和都不一定可导 

13．，则(    )

  A．     B．     C．     D． 

14．设在点处为二阶可导，则(    )

  A．     B．     C．     D．

15．设在内连续，且，则在点处(    )

  A．的极限存在，且可导    B．的极限存在，但不一定可导 

C．的极限不存在          D．的极限不一定存在

16．设在点处可导，则           。

17．函数导数不存在的点             。

18．设函数，则          。

19．设函数由方程所确定，则       。

20．曲线在点处的切线方程        。

21．若，则           。

22．若函数，则          。

23．若可导，，则             。

24．曲线在点处的切线方程是             。

25．讨论下列函数在处的连续性与可导性：

  (1)；(2) 

26．已知，求。

27．设，求及。

28．设且存在，求。

29．已知，求。

30．已知，求。

31．设，求。

32．设，求。

33．设若存在，求。

(B)

1．设函数在点0可导，且，则 (    )

  A．     B．     C．不存在     D． 

2．若，则 (    )

  A．-3   B．6   C．-9   D．-12

3．若函数在点可导，则(    )

  A．    B．    C．    D．

4．设则在处(    )

  A．不连续                   B．连续，但不可导   

C．连续，且有一阶导数       D．有任意阶导数

5．函数在处(    )

  A．不连续                 B．连续不可导

  C．连续且仅有一阶导数     D．连续且有二阶导数

6．要使函数在处的导函数连续，则应取何值？ (    )

  A．     B．     C．     D．

7．设函数有连续的二阶导数，且，，，则极限等于(    )

  A．1     B．0     C．2     D．-1

8．设在的某领域内有定义，，且当时，与为等价无穷小量，则(    )

  A．              B．     

C．不存在           D．不能断定的存在性

9．设为奇函数，且，则(    )

  A．-2     B．     C．2     D．

10．设函数，则(    )

  A．0     B．24     C．36     D．48

11．已知时，是的等价无穷小量，则 (    )

  A．-2     B．-1     C．2     D．不存在

12．若在可导，则在处(    )

  A．必可导              B．连续但不一定可导

C．一定不可导          D．不连续

13．若可导，且，则           。

14．设是由方程(，常数)所定义的函数，则           。

15．若在处可导，则           。

16．若为二阶可微函数，则的           。

17．已知则        ，        。

18．已知，则        。        。

19．若，则          。

20．若，则         ，        ，          。

21．已知，求。

22．设，其中在处连续，求。

23．如果为偶函数，且存在，证明。

24．设对任意的实数、有，且，试证。

25．已知，求。

26．已知，求。

27．设，求。

28．设，求。

29．设，求，。

30．函数由方程确定，求。

(C)

1．可微的周期函数其导数(    )

  A．一定仍是周期函数，且周期相同

  B．一定仍是周期函数，但周期不一定相同

  C．一定不是周期函数     D．不一定是周期函数

2．若为内的可导奇函数，则(    )

  A．必有内的奇函数         B．必为内的偶函数

  C．必为内的非奇非偶函数   D．可能为奇函数，也可能为偶函数

3．设()且，则在处 (    )

  A．令当时才可微 

  B．在任何条件下都可微      C．当且仅当时才可微 

D．因为在处无定义，所以不可微 

4．设，而在处连续但不可导，则在处 (    )

  A．连续但不可导         B．可能可导，也可能不可导

  C．仅有一阶导数         D．可能有二阶导数 

5．若为可微分函数，当时，则在点处的是关于的(    )

  A．高阶无穷小   B．等价无穷小  C．低价无穷小     D．不可比较

6．函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于0.8，则(    )

  A．4        B．0.16       C．4         D．1.6

7．，其中，则必有(    )

  A．    B．      C．      D．

8．设，则(    )

  A．，        B．，

  C．，        D．，

9．设则在点处的(    )

  A．左、右导数都存在              B．左导数存在，但右导数不存在

  C．左导数不存在，但右导数存在    D．左、右导数都不存在

10．设在内可导，且对任意，，当时，都有，则(    )

  A．对任意，       B．对任意，

  C．函数单调增加       D．函数单调增加

11．设可导，，若使在处可导，则必有(    )

  A．   B．   C．   D．

12．设当时，是比高阶的无穷小，则(    )

  A．，          B．，

  C．，          D．，

13．设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则是的(    )

  A．间断点                   B．连续而不可导点 

C．可导的点，且     D．可导的点，且

14．设时，与是同阶无穷小，则为(    )

  A．1       B．2        C．3       D．4

15．函数不可导点的个数是(    )

  A．3       B．2        C．1       D．0

16．已知函数在任意点处的增量且当时，是的高阶无穷小，，则(    )

  A．       B．        C．       D．

17．设其中是有界函数，则在处(    )

  A．极限不存在                 B．极限存在，但不连续 

C．连续，但不可导             D．可导

18．在区间内，方程(    )

  A．无实根                 B．有且仅有一个实根

C．有且仅有两个实根       D．有无穷多个实根

19．，则          。

20．若是可导函数，且，，则的反函数为自变量取4时的导数值为             。

21．若在点处且有连续的一阶导数，且，则            。

22．设，其中在点处连续，且，则          。

23．设则当的值为       时，在处连续，当的值为        时，在可导。

24．已知则       ，          。

25．若，则       。

26．，在上连续，则          。

27．                  。 

28．设，则            。

29．曲线在处的切线方程为       。

30．设，则        。

31．设，则            。

32．设，则            。

33．         。

34．                。

35．曲线在点(0,1)处的法线方程为          。

36．设函数由方程确定，则      。

37．               。

38．设且存在，求。

39．是由方程组所确定的隐函数，求。

40．设，其中具有二阶导数，且，求。

41．设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求。

42．设，且，计算和。

43．设，求。

44．若，求。

45．验证函数满足关系式。

46．设曲线的参数方程是，求曲线上对应于的点的切线方程。

47．设，为了使函数于点处连续而且可微，应当如何选取系数和？

48．设，其中函数在为左方可微分的，应当如何选取系数和，使函数在点处连续且可微分。

49．设，求。

50．设，求，。

51．求极限。

52．设满足，其中、、都是常数，且

(1)证明

(2)求，

53．设函数，

(1)写出的反函数的表达式；

(2)是否有间点、不可导点，若有指出这些点。

第二章  导数与微分

(A)

1．设函数，当自变量由改变到时，相应函数的改变量( C )

  A．  B．  C．   D．

2．设在处可，则( A )

  A．  B．  C．   D．

3．函数在点连续，是在点可导的 ( A )

  A．必要不充分条件        B．充分不必要条件  

C．充分必要条件          D．既不充分也不必要条件

4．设函数是可导的，且，则( C  )

  A．   B．   C．   D．

5．若函数在点连续，则在点( D )

  A．左导数存在；  B．右导数存在；  C．左右导数都存在  D．有定义 

6．在点处的导数是( D )

  A．1   B．0   C．-1   D．不存在 

7．曲线在点处切线斜率等于(  A  )

  A．8   B．12   C．-6   D．6

8．设且二阶可导，则 (  D  )

  A．   B．   C．   D． 

 9．若 在处可导，则，的值应为(  A  )

  A．，            B． ，

C．，           D．，

10．若函数在点处有导数，而函数在点处没有导数，则，在处(  A  )

  A．一定都没有导数             B．一定都有导数

C．恰有一个有导数               D．至少一个有导数

11．函数与在处都没有导数，则，在处(  D  )

  A．一定都没有导数             B．一定都有导数

C．至少一个有导数             D．至多一个有导数

12．已知，在处可导，则(  A   )

  A．，都必须可导       B．必须可导

C．必须可导              D．和都不一定可导 

13．，则(  A  )

  A．     B．     C．     D． 

14．设在点处为二阶可导，则(  A  )

  A．     B．     C．     D．

15．设在内连续，且，则在点处(  B   )

  A．的极限存在，且可导    B．的极限存在，但不一定可导 

C．的极限不存在          D．的极限不一定存在

16．设在点处可导，则。

17．函数导数不存在的点。

18．设函数，则    2    。

19．设函数由方程所确定，则  1   。

20．曲线在点处的切线方程。

21．若，则    2    。

22．若函数，则。

23．若可导，，则。

24．曲线在点处的切线方程是。

25．讨论下列函数在处的连续性与可导性：

  (1)

解：∵

∴在处连续

又

，故在处不可导。

(2) 

解：∵，∴函数在处连续

    又不存在。

  故在处不可导。

26．已知，求。

解：时，可以求得

    ∴。

27．设，求及。

解：

28．设且存在，求。

解：

29．已知，求。

解：

30．已知，求。

解：

31．设，求。

解：

32．设，求。

解：两边取自然对数可得：

    两边对求导得：

  ∴

33．设若存在，求。

解：，。

(B)

1．设函数在点0可导，且，则 (  B )

  A．     B．     C．不存在     D． 

2．若，则 ( B  )

  A．-3   B．6   C．-9   D．-12

3．若函数在点可导，则( A  )

  A．    B．    C．    D．

4．设则在处(  A  )

  A．不连续                   B．连续，但不可导   

C．连续，且有一阶导数       D．有任意阶导数

5．函数在处(  B  )

  A．不连续                 B．连续不可导

  C．连续且仅有一阶导数     D．连续且有二阶导数

6．要使函数在处的导函数连续，则应取何值？ (  D  )

  A．     B．     C．     D．

7．设函数有连续的二阶导数，且，，，则极限等于(  D  )

  A．1     B．0     C．2     D．-1

8．设在的某领域内有定义，，且当时，与为等价无穷小量，则(  B  )

  A．              B．     

C．不存在           D．不能断定的存在性

9．设为奇函数，且，则(  C  )

  A．-2     B．     C．2     D．

10．设函数，则(  B  )

  A．0     B．24     C．36     D．48

11．已知时，是的等价无穷小量，则 (  A  )

  A．-2     B．-1     C．2     D．不存在

12．若在可导，则在处(  B  )

  A．必可导              B．连续但不一定可导

C．一定不可导          D．不连续

13．若可导，且，则。

14．设是由方程(，常数)所定义的函数，则。

15．若在处可导，则。

16．若为二阶可微函数，则的 。

17．已知则   1  ，。

18．已知，则  -1   。。

19．若，则

。

20．若，则 -1 ， 

，  0    。

21．已知，求。

解：时，

∴

22．设，其中在处连续，求。

解：。

23．如果为偶函数，且存在，证明。

证：∵存在，∴，而

    ∴，∴。

24．设对任意的实数、有，且，试证。

证：，，可得。从而

。

25．已知，求。

解： 

26．已知，求。

解：

27．设，求。

解：

28．设，求。

解：

∴

∴

29．设，求，。

解：

    。

30．函数由方程确定，求。

解；两边对求导得：

，解得：。

(C)

1．可微的周期函数其导数(  A  )

  A．一定仍是周期函数，且周期相同

  B．一定仍是周期函数，但周期不一定相同

  C．一定不是周期函数     D．不一定是周期函数

2．若为内的可导奇函数，则(  B  )

  A．必有内的奇函数         B．必为内的偶函数

  C．必为内的非奇非偶函数   D．可能为奇函数，也可能为偶函数

3．设()且，则在处 (  C  )

  A．令当时才可微 

  B．在任何条件下都可微      C．当且仅当时才可微 

D．因为在处无定义，所以不可微 

4．设，而在处连续但不可导，则在处 (  C  )

  A．连续但不可导         B．可能可导，也可能不可导

  C．仅有一阶导数         D．可能有二阶导数 

5．若为可微分函数，当时，则在点处的是关于的(  A  )

  A．高阶无穷小   B．等价无穷小  C．低价无穷小     D．不可比较

6．函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于0.8，则(  C  )

  A．4        B．0.16       C．4         D．1.6

7．，其中，则必有(  D  )

  A．    B．      C．      D．

8．设，则(  A  )

  A．，        B．，

  C．，        D．，

9．设则在点处的(  B  )

  A．左、右导数都存在              B．左导数存在，但右导数不存在

  C．左导数不存在，但右导数存在    D．左、右导数都不存在

10．设在内可导，且对任意，，当时，都有，则(  D  )

  A．对任意，       B．对任意，

  C．函数单调增加       D．函数单调增加

11．设可导，，若使在处可导，则必有(  A  )

  A．   B．   C．   D．

12．设当时，是比高阶的无穷小，则(  A   )

  A．，          B．，

  C．，          D．，

13．设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则是的(  C  )

  A．间断点                   B．连续而不可导点 

C．可导的点，且     D．可导的点，且

14．设时，与是同阶无穷小，则为(  C  )

  A．1       B．2        C．3       D．4

15．函数不可导点的个数是(  B  )

  A．3       B．2        C．1       D．0

16．已知函数在任意点处的增量且当时，是的高阶无穷小，，则(  D  )

  A．       B．        C．       D．

17．设其中是有界函数，则在处( D  )

  A．极限不存在                 B．极限存在，但不连续 

C．连续，但不可导             D．可导

18．在区间内，方程(  C  )

  A．无实根                 B．有且仅有一个实根

C．有且仅有两个实根       D．有无穷多个实根

19．，则，时，。

20．若是可导函数，且，，则的反函数为自变量取4时的导数值为。

21．若在点处且有连续的一阶导数，且，则    1    。

22．设，其中在点处连续，且，则    1996  。

23．设则当的值为  >0     时，在处连续，当的值为    >2    时，在可导。

24．已知则  24   ，    0    。

25．若，则 22940    。

26．，在上连续，则    -2    。

27．。 

28．设，则。

29．曲线在处的切线方程为。

30．设，则。

31．设，则。

32．设，则。

33．。

34．。

35．曲线在点(0,1)处的法线方程为。

36．设函数由方程确定，则  1 。

37．     3      。

38．设且存在，求。

解：，。

39．是由方程组所确定的隐函数，求。

解：，即两边对求导

    ，得：

    ，，（时）。

    ∴，

    。

40．设，其中具有二阶导数，且，求。

解：

    。

41．设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求。

解：对方程两边求导得：

∴，再求导

。

42．设，且，计算和。

解：，

    ，

43．设，求。

解：

       。

44．若，求。

解：两边对求导得：，解得：，再求导得，解得：(其中)

45．验证函数满足关系式。

证：∵

∴

46．设曲线的参数方程是，求曲线上对应于的点的切线方程。

解：时，，，

故切线的斜率，于是所求的切线方程为：。

47．设，为了使函数于点处连续而且可微，应当如何选取系数和？

解：由在点处连续可知，得，时，，由在点处可导得：，得，代入可得：，故，。

48．设，其中函数在为左方可微分的，应当如何选取系数和，使函数在点处连续且可微分。

解：由在点处连续可知，得，，由在为左方可微知存在。时，，从而使在点处可微，需，代入可得。

49．设，求。

解：

50．设，求，。

解：

51．求极限。

解：原式

52．设满足，其中、、都是常数，且

(3)证明

证：∵     ①

∴        ②

①×-②×得：

∴

显然有或

(4)求，

解：

53．设函数，

(3)写出的反函数的表达式；

(4)是否有间点、不可导点，若有指出这些点。

解：无间断点，但在点和处不可导。