2022年四川省绵阳市高考文科数学二诊试卷及答案解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．4

2．（5分）下列函数既是奇函数又是增函数的是（　　）

A．y＝sinx B．y＝2x C．y＝log2x D．y＝x3

3．（5分）已知角α的终边过点，则sinα+tanα＝（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则E的方程为（　　）

A．x2﹣y2＝1 B．

C． D．

5．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（　　）

A．甲家庭用电量的中位数为33    

B．乙家庭用电量的极差为46    

C．甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差    

D．甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值

6．（5分）过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（　　）

A．2x+y﹣4＝0 B．x+2y﹣5＝0 C．x+3y﹣7＝0 D．3x+y﹣5＝0

7．（5分）已知平面向量，不共线，46，3，3，则（　　）

A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线    

C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线

8．（5分）已知直线x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝m相交于A，B两点，若，则m＝（　　）

A． B．5 C．3 D．4

9．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：

参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

附表：

B．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”    

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”    

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”

10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则（　　）

A．f（﹣1）＜f（﹣20.1）＜f（log25）    

B．

C．

D．f（﹣20.1）＜f（﹣1）＜f（log25）

11．（5分）若x＝2是函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x﹣4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣2，2）

12．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，E上存在两点A，B使得梯形AF1F2B的高为（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）设i是虚数单位，若复数z满足z•i＝z+6i，则复数z的虚部为 　   　．

14．（5分）函数，则f（f（2））＝　   　．

15．（5分）已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M（﹣1，2），若，则直线AB的方程为 　   　．

16．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是 　   　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知数列{an}为公差大于0的等差数列，a2•a3＝15，且a1，a4，a25成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，若，求m的值．

18．（12分）某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：

（1）根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；

（2）某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．

19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB．

（1）求角C的大小；

（2）若sinA•sinB，c＝2，求△ABC的面积．

20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+1﹣ax2（a∈R）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

21．（12分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的右焦点为F，点A，B分别为右顶点和上顶点，点O为坐标原点，，△OAB的面积为，其中e为E的离心率．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点O异于坐标轴的直线与E交于M，N两点，射线AM，AN分别与圆C：x2+y2＝4交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为k1，k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。[选修44：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若点A的坐标为（2，0），直线l与曲线C交于P，Q两点，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）当m＝2时，求函数f（x）的定义域；

（2）设函数f（x）的定义域为M，当时，，求实数m的取值范围．

2022年四川省绵阳市高考文科数学二诊试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．4

【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，

∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，0），（1，1）}，

∴A∩B的元素个数为2．

故选：C．

2．（5分）下列函数既是奇函数又是增函数的是（　　）

A．y＝sinx B．y＝2x C．y＝log2x D．y＝x3

【解答】解：y＝sinx为奇函数，在R上不单调，故A错误；y＝2x不为奇函数，故B错误；

y＝log2x为对数函数，故C错误；y＝x3既是奇函数又是增函数，故D正确．

故选：D．

3．（5分）已知角α的终边过点，则sinα+tanα＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵α的终边过点，

∴sinα，tanα，

则sinα+tanα，

故选：A．

4．（5分）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则E的方程为（　　）

A．x2﹣y2＝1 B．

C． D．

【解答】解：双曲线则双曲线的渐近线方程为y＝±x

∵两条渐近线互相垂直，

∴（）＝﹣1，

∴a2＝b2，

∵焦距为4，

∴2c＝4，

∴c＝2，

∴a2＝4﹣a2，

∴a2＝2，

∴则E的方程为：．

故选：B．

5．（5分）如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（　　）

A．甲家庭用电量的中位数为33    

B．乙家庭用电量的极差为46    

C．甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差    

D．甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值

【解答】解：A，由茎叶图可知甲家庭用电量的中位数为32，故A错误；

B，由茎叶图可知乙家庭用电量的极差为56﹣11＝45，故B错误；

C，x甲31，

x乙37，

故S[（12﹣31）2+（23﹣31）2+（24﹣31）2+（25﹣31）2+（32﹣31）2+（33﹣31）2+（37﹣31）2+（41﹣31）2+（50﹣31）2]≈121，

S[（11﹣37）2+（23﹣37）2+（34﹣37）2+（38﹣37）2+（39﹣37）2+（40﹣37）2+（42﹣37）2+（51﹣37）2+（56﹣37）2]≈1，

故甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；

D，由C选项可知甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，故D错误．

故选：C．

6．（5分）过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（　　）

A．2x+y﹣4＝0 B．x+2y﹣5＝0 C．x+3y﹣7＝0 D．3x+y﹣5＝0

【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，

因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为，

所以由点斜式方程得：y﹣2（x﹣1），

化简得：x+2y﹣5＝0，

故选：B．

7．（5分）已知平面向量，不共线，46，3，3，则（　　）

A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线    

C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线

【解答】解：因为46，3，3，

所以393（3）＝3，

所以与共线，即A、C、D三点共线．

故选：D．

8．（5分）已知直线x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝m相交于A，B两点，若，则m＝（　　）

A． B．5 C．3 D．4

【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝m的圆心为（2，1），半径为（m＞0），

圆心C到直线x+y﹣1＝0的距离d，

∵，∴（）2+（）2＝m，

∴m＝5，

故选：B．

9．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：

参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

附表：

B．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”    

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”    

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”

【解答】解：根据列联表中的数据，计算K28.129＞6.635，

所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关，

即有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”．

故选：A．

10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则（　　）

A．f（﹣1）＜f（﹣20.1）＜f（log25）    

B．

C．

D．f（﹣20.1）＜f（﹣1）＜f（log25）

【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），

f（﹣1）＝f（1），f（﹣20.1）＝f（20.1），

因为log25＞2，1＜20.1＜2，f（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以f（log25）＜f（20.1）＜f（1），

即为f（log25）＜f（﹣20.1）＜f（﹣1），

故选：C．

11．（5分）若x＝2是函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x﹣4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣2，2）

【解答】解：f′（x）＝2x+2（a﹣2），

当a≥0时，x+a＞0，

当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）单调递减，

当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增，

所以f（x）无极大值，不合题意，

当﹣2＜a＜0时，0＜﹣a＜2，

当x∈（0，﹣a），（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）极大值点为x＝﹣a，不符合题意，

当a＝﹣2时，f′（x）0，

所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，不符合题意，

当a＜﹣2时，﹣a＞2，

当x∈（0，2），（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）极大值点为x＝2，

综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）．

故选：A．

12．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，E上存在两点A，B使得梯形AF1F2B的高为（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵，∴AF1∥BF2，则AF1，BF2为梯形AF1F2B的两条底边，

作F2P⊥AF1垂足为P，则F2P⊥AF1，

∵梯形AF1F2B的高为，∴PF2，

在Rt△F1PF2中，F1F2＝2c，则PF1PF2，

∴∠AF1F2＝45°，

设AF1＝x，则AF2＝2a﹣x，

在△AF1F2中，由余弦定理得：，

∴，解得AF1＝x1，

同理，BF2＝x2，

∵，∴3，即2a＝2，∴e．

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）设i是虚数单位，若复数z满足z•i＝z+6i，则复数z的虚部为 　﹣3　．

【解答】解：∵z•i＝z+6i，

∴z（1﹣i）＝﹣6i，即，

∴复数z的虚部为﹣3．

故答案为：﹣3．

14．（5分）函数，则f（f（2））＝　﹣2　．

【解答】解：根据题意，，

则f（2）＝2﹣2，

则f（f（2））＝log22；，

故答案为：﹣2．

15．（5分）已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M（﹣1，2），若，则直线AB的方程为 　x+2y﹣3＝0　．

【解答】解：A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M（﹣1，2），，所以M是AB的中点，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

lAB：y﹣2＝kx+k与x2＝4y联立，消去y得x2﹣4kx﹣4k﹣8＝0，

x1+x2＝4k＝﹣2，解得k，

所以直线的方程y﹣2（x+1）．

故答案为：x+2y﹣3＝0．

16．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝m在上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是 　[，0）　．

【解答】解：当x∈R时，f（﹣x）＝sin|﹣x|cos（﹣x）＝sin|x|cosx＝f（x），故f（x）为偶函数，

当x≥0时，f（x）＝sinxcosx＝2sin（x），

画出，在上的图象如图所示，

要想保证方程f（x）＝m在上有三个不同的实根，则m∈[，0），

故答案为：∈[，0）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知数列{an}为公差大于0的等差数列，a2•a3＝15，且a1，a4，a25成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，若，求m的值．

【解答】解：（1）数列{an}为公差d大于0的等差数列，a2•a3＝15，且a1，a4，a25成等比数列，

所以，

解得，整理得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；

（2）由（1）得：；

所以：；

由于，

解得m＝20．

18．（12分）某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：

（1）根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；

（2）某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．

【解答】解：（1）依题意该商场销售一部手机的平均利润为：

（25×600+40×400+15×500+20×450）＝475元．

（2）消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，

所有不同结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个结果，

从这两部手机获得的利润不低于1000元的事件有：甲乙，甲丙，甲丁，共3个结果，

∴商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率为P．

19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB．

（1）求角C的大小；

（2）若sinA•sinB，c＝2，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵asinA﹣csinC＝（a﹣b）sinB，

∴由正弦定理可得a2﹣c2＝（a﹣b）b，

即a2+b2﹣c2ab，

∴cosC．

又∵C∈（0，π），∴C．

（2）∵C，∴4，

∴a＝4sinA，b＝4sinB＝，

又∵sinAsinB，故ab＝16sinAsinB，

所以S△ABCabsinC．

20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+1﹣ax2（a∈R）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝lnx+1﹣2x2的定义域为（0，+∞），求导得f′（x）4x，

当0＜x时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

所以函数f（x）的递增区间是（0， ），递减区间是（，+∞）．

（2）函数f（x）＝lnx+1﹣ax2（a∈R）的定义域为（0，+∞），则f（x）＝0⇔a，

令g（x），x＞0，求导得g′（x），由g′（x）＝0得x，

当0＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，

因此，g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

则当x时，g（x）max＝g（），且∀x∈（，+∞），g（x）＞0恒成立，函数y＝g（x）的图象如图，

函数f（x）有一个零点，当且仅当直线y＝a与函数y＝g（x）的图象只有一个公共点，

观察图象知，当a或a≤0时，直线y＝a与函数y＝g（x）的图象只有一个公共点，

所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪{}．

21．（12分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的右焦点为F，点A，B分别为右顶点和上顶点，点O为坐标原点，，△OAB的面积为，其中e为E的离心率．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点O异于坐标轴的直线与E交于M，N两点，射线AM，AN分别与圆C：x2+y2＝4交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为k1，k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）∵，∴，

，e，a2＝b2+c2，

联立可得a＝2，b，

∴椭圆E的方程为1．

（2）设点M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则点x0，﹣y0），

由题意得A（2，0），

∵M，N在椭圆E上，

∴1，则，

∴，

∴，

设直线AM的方程为x＝my+2，则直线AN的方程为xy+2，

联立，消x得（m2+2）y2+4my＝0，

由A、M在椭圆E上，

∴，∴，

∴k1，

联立，消x得（m2+1）y2+4my＝0，

由点A，P在圆C上，∴，∴，

同理，，

∴k2，

∴•，

∴为定值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。[选修44：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若点A的坐标为（2，0），直线l与曲线C交于P，Q两点，求的值．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5；

直线l的方程是，根据，转换为直角坐标方程为；

（2）把直线的方程转换为参数式为（t为参数），把参数的方程代入（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5；

得到t2﹣t﹣4＝0；

故t1+t2＝1；t1t2＝﹣4；

故．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）当m＝2时，求函数f（x）的定义域；

（2）设函数f（x）的定义域为M，当时，，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，若m＝2，则f（x），

必有|2x﹣1|﹣|x+2|﹣2≥0，即|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，

则有或或，

解可得x≤﹣1或x≥5，

即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）；

（2）根据题意，当时，，

则当x∈[﹣m，]时，有|2x﹣1|﹣|x+m|﹣m≥0恒成立，

此时1﹣2x﹣x﹣m﹣m≥0，变形可得2m≤﹣3x+1，

若∀x∈[﹣m，]，2m≤﹣3x+1成立，必有2m≤（﹣3+1）min，

设h（x）＝﹣3x+1，易得h（x）min，必有2m，解可得m，

又由m，则m的取值范围为（，]．