高中数学_余弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思

一、教学内容分析

人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修⑤》第1章《解三角形》第１节第２课《余弦定理》，改变了传统的证明方法，是利用向量的数量积来推导余弦定理的．要求学生正确掌握定理的结构特征，并能运用定理解三角形．在利用数量积证明余弦定理的过程中，体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用，余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量问题、判断三角形形状、证明三角形有关的等式与不等式提供了理论基础和操作工具，让学生进一步认识和体会数学知识之间的普遍联系与辨证统一（三角函数、向量、三角形）。

二、学情分析

学生在学习本课之前已经学习了三角函数、平面向量、三角恒等变换以及正弦定理等有关内容，对三角形中的边角关系有了初步的认识，已能解决一些简单的边角关系，在此基础上探求余弦定理，会激发学生的探究兴趣.余弦定理的推导有一定的难度，这要求教师要合理的设疑，正确的引导学生通过计算---归纳---推理余弦定理，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯。 

三、设计思想

为了充分调动学生的学习兴趣，发挥在教学中的主体性，本课的教学采用小组合作探究式的教学方式，即教学过程中教师以问题为导向设计问题情境，学生通过自主探究和合作交流,解决问题、总结经验、归纳规律,从而发现“余弦定理”、证明“余弦定理”．在此过程中，学生通过交流、讨论，互为取长补短，在知识形成发展过程中提高学生的数学思维能力，体会方程思想在解决数学问题中的应用，通过余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的实际问题，养成学以致用的品质。

四、教学目标

（一）培养数学抽象素养

创设现实情境，引导学生将其转化为已知三角形两边及其夹角，求第三边的问题。在综合情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达。

（二）培养逻辑推理素养

数学课程标准中提出：对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题，通过合情推理，大胆提出猜想，进而培养学生逻辑推理能力。利用向量法证明猜想，获得余弦定理。

 （三）培养数算素养

通过三角形函数、余弦定理、向量的运算等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，解决三角形有关问题。

五、教学重点与难点

   重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；基本掌握余弦定理的应用。

   难点：探究和证明余弦定理，利用向量法证明余弦定理。

六、教学过程

1.创设情景，引入新课

隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，如图所示：

在△ABC中AB＝6，AC＝8，∠BAC＝120°，你能求BC边长吗？

学生不难将这个实际问题转化到数学问题：已知三角形的两边和它们的夹角，去求三角形的另外一边这个问题难以使用正弦定理来求解．

设计意图：为了让学生体会数学源于生产生活，并激发学生的学习兴趣，采用测量中学生熟悉的问题引入，关注学生的最近发展区，学生思维产生“结点” ．

2.探索研究，合理猜想

引导学生也可能从一些特例出发，猜想一般结果．比如∠ACB=，， 极端化∠ACB=，；∠ACB=，或者∠ACB=，，，等情形下，尝试发现∠ACB变大，c的变化规律．

利用几何画板制作动画，帮助学生猜想：

设计意图：由特殊三角形入手，让学生发现余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，是学生理解两者间的联系，将新知识纳入已有知识结构中去，从而成功猜想定理．

3.合作探究，证明定理

教师引导学生从平面几何、向量知识、平面直角坐标系、三角函数等多方面进行分析，选择简洁的处理方法，引发学生的积极讨论．

探究1: 向量法证明余弦定理

问题:如何用向量的方法证明余弦定理？

在△ABC中，已知AB＝c，AC=b,边AB与边AC的夹角是A,求BC

证明：

同理可证　，。

设计意图：利用向量来证明定理,让学生体会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，激发学生兴趣，在此基础上，可以很简单的证明余弦定理，让学生切身体会到向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用．

4.总结定理，剖析定理

从以上的公式中解出,则可以得到余弦定理的另外一种形式：

，，

知三求一 : 

(1)已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；

(2)  已知三角形的三条边，求角。

 (3)已知三角形的两边和其中一边的对角，可求另一边；（方程的思想）

设计意图：知识归纳比较，发现特征，加强识记，同时加强学生对定理的理解，熟悉其应用范围．

5. 应用分析，发展思维

例1.在△ABC中，已知                  ，求 A,C和b.

例2. 在中，已知，，，解三角形。．

设计意图：应用数学知识求解问题,训练计算能力，同时，巩固好余弦定理知识，会用定理解决简单的解三角形问题，回归引例中提出问题，首尾呼应． 

6. 巩固提高，发展能力

(1)、在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　)

A．4  B.  C．7  D．5

（2）在△ABC中，已知，则角A为（  ）

A．            B．             C．           D．或

(3)、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于             

 (4)、在△ABC中，，判断△ABC的形状

设计意图：用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养，巩固知识，发展能力．

7. 课堂小结，完善认知

通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）

1、余弦定理的发现从直角三角形入手，分别讨论了锐角三角形和钝角的三角形情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；

2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；

3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决:

 (1)已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边。

(2)  已知三角形的三条边，求角。

 (3)已知三角形的两边和其中一边的对角，可求另一边。（方程的思想）

8. 布置课后作业

（1）若三角形ABC的三条边长分别为，，，

则                ．

(2)已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状（用两种不同的方法）．

(3)P10教材习题1.1  A组第3,4题．

学情分析

学生在学习本课之前已经学习了三角函数、平面向量、三角恒等变换以及正弦定理等有关内容，对三角形中的边角关系有了初步的认识，已能解决一些简单的边角关系，在此基础上探求余弦定理，会激发学生的探究兴趣.余弦定理的推导有一定的难度，这要求教师要合理的设疑，正确的引导学生通过计算---归纳---推理余弦定理，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯。 

效果分析

1、通过本节课的学习，学生学了用向量法探究解三角形问题。

2、学生掌握了余弦定理及其推论的不同形式，余弦定理的应用题型。

3、学生能灵活运用定理解决一些简单的实际问题。

4、学生对正弦定理与余弦定理的异同点有了清楚的认识为下一节，两个定理的综合应用奠定基础。

5、学生对两个定理应用熟练程度还不够，接下来的学习应加强针对性练习。

教材分析

人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修⑤》第1章《解三角形》第１节第２课《余弦定理》，改变了传统的证明方法，是利用向量的数量积来推导余弦定理的．要求学生正确掌握定理的结构特征，并能运用定理解三角形．在利用数量积证明余弦定理的过程中，体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用，余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量问题、判断三角形形状、证明三角形有关的等式与不等式提供了理论基础和操作工具，让学生进一步认识和体会数学知识之间的普遍联系与辨证统一（三角函数、向量、三角形）。

评测练习

1、在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　)

A．4  B.  C．7  D．5

2、在中，已知，则角为（    ）   

3、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)

A.   B.   C.   D.

4、在中，，则为（    ）

A、直角三角形   B、任意三角形   C、锐角三角形    D、钝角三角形

5、在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝________.

6、已知三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．

7、在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．

8、在△ABC中，，判断△ABC的形状

人教A版必修5第一章《余弦定理》课后反思

本节课主要考察学生对于公式的理解与应用的能力，在如何正确应用预选定理公式的问题上，一定要正确的类比公式，从而正确应用。

通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下通过向量法证明出余弦定理，能掌握余弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生根据公式解决问题的时候，往往容易忽略多解得问题,很多学生不能掌握余弦定理使用的条件：

1.知道三角形的三条边求三个角的问题。

2.知道两边及夹角求其他两个角及另一边的问题。

在练习时还发现学生不能将用大写字母表示的与小写字母表示的联系起来，导致做题速度较慢。

课标分析

  余弦定理是继正弦定理后又一定理揭示了关于一般三角形的边角关系。学生通过对具体问题的探究，认识学习解三角形的必要性，并用定理解决实际测量中的问题。

一、课程内容与学习目标

  本节中，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用定理可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二、课程特色

1、突出基础性，强化数学思想

解三角形是测量的基础，学习三角形的应用不仅完善了知识结构，而且通过对三角形边角之间的关系的探究，有利于让学生感受数学与日常生活的其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力，特别是培养抽象数学模型的能力。

将解三角形作为几何度量问题来处理，为学生理解数学的量化思想，进一步学习数学奠定基础。而具体解三角形时，教材突出了函数与方程的思想，将余弦定理视为方程，处理已知量与未知量的关系。从分析特殊三角形的边角关系到一般的边角关系，猜想这种关系也适用于一般三角形。

2、突出问题意识、应用意识与探究意识

余弦定理是从问题入手，展示了发现余弦定理的过程。还设计了不少供学生思考的问题，让学生主动建构知识。余弦定理的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动，教材选择了大量鲜活的现实情境，将知识返璞归真，体现了强烈的应用意识。