2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题

（1）增长率问题

一月

a增长率为x 二月

a(1+x)增长率为x

三月

a(1+x)2

（2）利润问题

在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题

矩形面积=长×宽

材料总长a 矩形长

x

矩形宽

1(a-2x)

2

题型一二次函数的应用—销售问题

例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；

【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x

﹣12000，

即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；

（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5

又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．

∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，

答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．

变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．

（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬

衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？

（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；

（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；

【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，

∵20+2x≥44，

∴x≥12，

∵y随x的增大而减小，

∴当x＝12时，获利最大值1232；

答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一

天内售完，且获利最大1232元；

（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，

当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，

∴x＝10或x＝20，

∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，

当10≤x≤20时，y≥1200，

答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.

变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函

1

数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为

2

x

y=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．

2

（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；

1

（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．

【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：

（1）依题意

当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30

∴y 1＝30x

当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得

，解得

∴y 1＝20x+600

综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：

（2）总费用为：W ＝y 1+y 2

∴W＝

整理得

故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.

变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商

品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：

时间 t （天 ) 1 3 5 10 36

日销售量 m

94 90 86 76 24

（件 )

未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25

（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为

y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．

下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一

个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；

（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；

（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数

性质求最大值后比较得结论．

【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），

将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90

代入

，

解得

，

∴m＝﹣2t+96；

（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，

则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，

∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．

P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，

∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，

∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，

∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．

题型二 二次函数的应用—面积问题

例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB

（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；

（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？

【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；

（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；

（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．

【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，

∴BC＝（30﹣2x）m；

（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；

（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，

∴当x＝7.5时，S有最大值，S

＝112.5，

最大

此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．

答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．

变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？

【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；

（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．

【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，

∴BC×DF＝BC×FC，

∴2FC＝DC，

2BC+8FC＝120，

∴FC＝，

∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），

即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；

（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675

可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．

变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；

（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．

（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．

【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之

间的函数关系式；

（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为，进而可得：﹣2x2+8x+＝再解方程即可；

（3）根据二次函数的性质即可得到结论．

【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+，

故答案为：y＝﹣2x2+8x+；

（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+＝，

解得：x

1

＝4，x

2

＝0（不合题意，舍去），

答：BE的长为4米；

故答案为：y＝﹣2x2+8x+（0＜x＜8）；

（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，

所以当x＝2时，y有最大值，

∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．

变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．

（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；

（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？

【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；

（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．

【答案与解析】解：（1）由题意可得，

y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，

∵24﹣3x≤10，3x＜24，

解得，x≥

∴

且x＜8，

，

即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（

（2）当y＝45时，

45＝﹣3x2+24x，

解得，x

1

＝3（舍去），x

2

＝5，

答：AB的长应为5m．

题型三二次函数的应用—抛物线问题

）；

例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1

米比较即可得；

（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．

【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，

将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，

解得：a＝﹣，

∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；

由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，

故这次她可以拦网成功；

（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，

将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝

∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，

，

变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，

解得：h≥3.025，

答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．

17

52

已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．

（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？

（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？

【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；

（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．

【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），

∴球在空中运行的最大高度为m；

（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，

解得：x＝±1.5，

∵x＞0，

∴x＝1.5；

当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，

解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，

由1.5+2.5＝4（m），

故他距离篮筐中心的水平距离是4米．

变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数

表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-

1

24时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为

处时，乙扣球成功，求a的值．

12

5

m的Q

【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；

（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．

【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，

将点P（0，1）代入，得：﹣

解得：h＝；

×16+h＝1，

②把x＝5代入y＝﹣

∵1.625＞1.55，

∴此球能过网；

（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，

（2）把（0，1）、（7，

，

）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：

解得：，

∴a＝﹣．

变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面

20

m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并

9

在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距

离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求此抛物线对应的函数关系式；

（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？

（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？

【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球

出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；

（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．

【答案与解析】

（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，

将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，

解得a＝﹣，

∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；

（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝

∴抛物线不过点（8，3），

故不能正中篮筐中心；

≠3，

＝

∵抛物线过点（8，

），

∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投

篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．

（3）由（1）求得的函数解析式，

当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4

解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），

x 2＝1.3

∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．

题型四 二次函数与图形面积的综合

例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S

∆ABC

的值．

【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B

坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；

（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角

形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．

【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），

将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，

则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；

（2）过 C 作 CD⊥x 轴，

将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），

则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．

变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；

【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得

0＝a（2﹣1）2﹣3，

解得：a＝3，

∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；

（2）由题意，得

，

解得：．

∵交点不是原点，

∴B（3，9）．

如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得

，

△

+S，

△

+S△

+S

解得：，

∴y＝6x﹣9．

当y＝0时，y＝1.5．

∴E（1.5，0），

∴OE＝1.5，

△

∴S

AOB

＝S

A OE BOE

＝+，

＝9．

答：B（3，9），△AOB的面积为9；

变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求点A，点B和点C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；

（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．

【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．

（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C

＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S

四边形ABCM

△

＝S

AOM OCM BOC

构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，

∴A（﹣2，0），B（l，0），

由x＝0，得y＝﹣2，

∴C（0，﹣2）．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．

△+S + ＝

设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．

对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，

设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2

﹣x+2，

S

四边形 ABCM

△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2

＝﹣x 2﹣2x+3

＝﹣（x+1）2+4．

∵﹣1＜0，

∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．

变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．

（1）求 a ， b 的值；

（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边

形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．

△

＝

△

＝

△

＝

△+S△+S

【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；

（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．

【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，

得，解得：；

（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，

S

OAD

OD•AD＝×2×4＝4；

S

ACD

AD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；

S

BCD

BD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，

则S＝S

OAD ACD BCD

＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，

∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），

∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，

∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．