2005年高考理科数学(浙江)卷

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

  一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1． ＝                                           (    )

(A) 2              (B) 4               (C)            (D)0

2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是                             (    )

(A)              (B)             (C)          (D) 

3．设f(x)＝，则f[f()]＝                       (    )

(A)              (B)             (C)－          (D) 

4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于                  (    )

(A) 第一象限        (B) 第二象限       (C) 第三象限     (D)第四象限

5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(    )

(A) 74              (B) 121            (C) －74         (D) －121

6．设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么         （    ）

(A) ①是真命题，②是假命题             (B) ①是假命题，②是真命题

(C) ①②都是真命题                     (D) ①②都是假命题

7．设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是                                                (    )

8．已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是             (    )

(A) 1              (B) －1             (C) 2k＋1          (D) －2k＋1

9．设f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记＝{n∈N|f(n)∈P}，＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(∩)∪(∩)＝          (    )

(A) {0，3}         (B){1，2}           (C) (3，4，5}     (D){1，2，6，7}

10．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则

(A)⊥         (B)⊥(－)    (C)⊥(－)   (D) (＋)⊥(－)

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置 

11．函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是_________．

12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

13．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．

14．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

  15．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．

   (Ⅰ) 求f()的值；

   (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

 16．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．

   (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

   (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若直线：x＝m(|m|＞1)，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

   (Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

   (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

  (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．

   (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

 20．设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：

   x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．

   (Ⅰ)求x2及C1的方程．

   (Ⅱ)证明{}是等差数列．

参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分

（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分

（11）；（12）；（13）2；（14）8424

三、解答题：

（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14分

解：（1），

（2）

，

解得

故

（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和推理能力满分14分

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解

当时，，解得

因此，原不等式的解集为

（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则

(Ⅱ) 设，

当时，；

当时，，

只需求的最大值即可

设直线的斜率，直线的斜率，

当且仅当时，最大，

（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分

解：方法一：

(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点， 

，

(Ⅱ) 

， 

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

(Ⅰ) D为PC的中点，

，

又，

(Ⅱ)，即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

（Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

（19）本题主要考查相互事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力满分14分

解：(Ⅰ)（i）

(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；

由n次重复试验概率公式，得

；

（或）

随机变量的分布列是

(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球

由，得

（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分

解：（Ⅰ）由题意得，

设点是上任意一点，

则

令

则

由题意得，

即

又在上， 

解得

故的方程为

(Ⅱ)设点是上任意一点，

则

令

则

由题意得

即

又，

，

即

下面用数学归纳法证明，

①当时，，等式成立；

②假设当时，等式成立，即，

则当时，由知，

又，，

即时，等式成立

由①②知，等式对成立，

故是等差数列