初一数学绝对值难点突破(含答案)

1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．

2．阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数

式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：

（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；

（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；

（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．

综上讨论，原式=

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；

（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；

（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．

4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．

（3）如果|x﹣2|=5，则x=．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．

（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

5．认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．

（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．

（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．

（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．

6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么+++的所有可能的值为．

7．已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求a﹣b的值．

8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B两点间的距离表示为AB，则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB=；

（2）若点A表示﹣2，AC=4，则点C表示的数是；

（3）若|x﹣3|=4，求x的值．

9．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：

（1）求|5﹣（﹣2）|=；

（2）|5+3|表示的意义是；

（3）|x﹣1|=5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．

10．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．

（1）比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c的大小关系．

（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|．

参与试题解析

1．【分析】根据x的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算．

【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；

当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；

当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．

综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．

故答案为：．

2．【分析】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；

（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；

（3）根据（2）中的化简结果判断即可．

【解答】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，

解得：x=5和x=4，

故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；

（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；

当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；

当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．

综上讨论，原式=．

（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；

当4≤x＜5时，原式=1；

当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．

故代数式的最小值是1．

3．【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案．【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是﹣1≤x≤3，最小值是14．

4．【分析】（1）根据距离公式即可解答；

（2）利用距离公式求解即可；

（3）利用绝对值求解即可；

（4）利用绝对值及数轴求解即可；

（5）根据数轴及绝对值，即可解答．

【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；

（3）∵|x﹣2|=5，

∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，

解得：x=7或x=﹣3，

故答案为：7或﹣3；

（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，

∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，

故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；

（5）有最小值是3．

5．【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案；

（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；

（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；

（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．

【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4，

②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2；

（3）由分析可知，

当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；

（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）

要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；

方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．

故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．6．【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0∴a、b、c只能为两正一负或一正两负．

①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负，

原式=1+1+（﹣1）+（﹣1）=0，

②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负

原式1+（﹣1）+（﹣1）+1=0，

综上，的值为0，

故答案为：0．

7．【分析】根据绝对值的概念可得a=±5，b=±6，然后分类讨论，就可求出符合条件“|a+b|=a+b”时的a﹣b的值．

【解答】解：∵|a|=5，|b|=6，

∴a=±5，b=±6．

①当a=5，b=6时，a+b=11，

满足|a+b|=a+b，

此时a﹣b=5﹣6=﹣1；②当a=5，b=﹣6时，a+b=﹣1，

不满足|a+b|=a+b，故舍去；

③当a=﹣5，b=6时，a+b=1，

满足|a+b|=a+b，

此时a﹣b=﹣5﹣6=﹣11；

④当a=﹣5，b=﹣6时，a+b=﹣11，

不满足|a+b|=a+b，故舍去．

综上所述：a﹣b的值为﹣1或﹣11．

8．【分析】（1）根据题中的方法确定出AB的长即可；

（2）根据A表示的数字，以及AC的长，确定出C表示的数即可；

（3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出x的值．

【解答】解：（1）根据题意得：AB=|﹣2﹣1|=3；

（2）根据题意得：|x﹣（﹣2）|=4，即|x+2|=4，

可得x+2=4或x+2=﹣4，

解得：x=2或﹣6；

（3）∵|x﹣3|=4，

∴x﹣3=4或x﹣3=﹣4，

解得：x=7或﹣1．

故答案为：（1）3；（2）2或﹣6

9．【分析】（1）根据5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）把|5+3|变形为|5﹣（﹣3）|，而|5﹣（﹣3）|表示5与﹣3之差的绝对值；（3）根据绝对值的性质可求x在数轴上表示的点对应的有理数．

【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|7|=7．

（2）|5+3|表示的意义是点5与﹣3的点之间的距离．

（3）|x﹣1|=5，

x﹣1=﹣5，x﹣1=5，

解得x=﹣4或x=6．

则x在数轴上表示的点对应的有理数是﹣4或x=6．

故答案为：7；点5与﹣3的点之间的距离；﹣4或6．10．【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出﹣a，﹣b，﹣c的对应点，依据a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c在数轴上的位置比较大小．在此基础上化简给出的式子．

【解答】解：（1）解法一：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的关系，分别找出﹣a，﹣b，﹣c对应的点如图所示，由图上的位置关系可知﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．

解法二：由图知，a＞0，b＜0，c＜0且|a|=|c|=|b|，∴﹣b＞a=﹣c＞﹣a=c＞b．（2）∵a＞0，b＜0，c＜0，且|a|=|c|＜|b|，

∴a+b＜0，a﹣b＞0，b﹣c＜0，a+c=0，

∴|a+b|﹣|a﹣b|+|b+（﹣c）|+|a+c|

=﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）+0=﹣a﹣b﹣a+b﹣b+c=﹣2a﹣b+c．