1998年全国高考数学理科试题

一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的

(1) sin600º(    )

(2) 函数y=a|x|(a＞1)的图像是    (    )

(3) 已知直线x=a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2=4相切，那么a的值是    (    )

A. 5；               B. 4；                 C. 3；                  D. 2。

(4) 两条直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是    (    )

A．            B．           C．        D． 

(5) 函数f(x)= ( x≠0)的反函数f－1(x)=     (    )

A． x(x≠0)            B．                C． -x(x≠0)         D． 

（6）、已知点在第一象限，则在内α的取值范围是

A．   B．    C．    D． 

(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为    (    )

A．120°               B．150°                  C．180°             D．240° 

(8) 复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是    (    )

A．           B．             C．         D． 

(9) 如果棱台的两底面积是S，S′，中截面的面积是S0，那么    (    )

A．   B．             C．       D． 

(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方

A.  6种；             B. 12种；                  C. 18种；             D. 24种。

(11) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是    (    )

(12) 椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是

     A. ±；           B. ±；                C . ±；          D. ±。

(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为    (    )

A．              B．                 C．2                  D． 

(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为    (    )

A．；        B．；            C．；         D．。 

(15) 等比数列{an}的公比为－，前n项的和Sn满足Sn=，那么的值为    (    )

     A.  ；          B.   ±；                  C.；           D.。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是        

(17) (x＋2)10(x2－1)的展开的x10系数为____________（用数字作答）

(18) 如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)

(19) 关于函数f (x)=4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题①y=f (x)的表达式可改写为y=4cos(2x－)；②y=f (x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f (x)的图像关于点对称；④y=f (x)的图像关于直线x=－对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．)

三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(20) (本小题满分10分)

设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．

(21) (本小题满分11分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=，求sinB的值．以下公式供解题时参考：

，

，

，

．

(22) (本小题满分12分)

如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

(23) (本小题满分12分)

已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C1．

(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

(Ⅱ)求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；

(Ⅲ)求侧棱B1B和侧面A1 ACC1的距离．

(24) (本小题满分12分) 

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．

(25) (本小题满分12分)

已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=100．

(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn；

(Ⅱ)设数列{an}的通项an =lg(1＋)，记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论．

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．

(1) D    (2) B    (3) C    (4) A    (5) B    (6) B    (7) C    (8) D    (9) A    (10) B    (11) B    (12) A    (13) B    (14) C    (15) D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

(16)      (17) －5120

(18) AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等

(19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．

三．解答题：

（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．

解：将原不等式化为

(a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，  移项，整理后得  (a－b)2(x2－x) ≤0，

∵ a≠b 即 (a－b)2＞0， ∴ x2－x≤0， 即 x(x－1) ≤0．  解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}．                       

(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．

解：由正弦定理和已知条件a＋c=2b得sinA＋sinC=2sinB．                          

由和差化积公式得． 

由A＋B＋C=π，得 =，

 又A－C=，得cos=sinB，∴ cos=2sincos． ∵ 0＜＜，≠0， 

∴sin=，从而cos==      

∴ sinB==          

(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．

解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．

所以 M (－，0)，N (，0)．      

由 |AM|=，|AN|=3得(xA＋)2＋2PxA=17，    ①

(xA－)2＋2PxA=9．     ②   

由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得或．

因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．∴ P=4，xA=1．

由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．

解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．

作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．

设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)．

依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|==2，由于△AMN为锐角三角形，故有

xN=|AE|+|EN|=4．=|ME|+=4

XB=|BF|=|BN|=6．    

设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．     

故曲线段C的方程y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．      

(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．

注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．

解：(Ⅰ)作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，

∴ ∠A1AD为A1A与面ABC所成的角． ∵ AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴ ∠A1AD=45º为所求．                 

(Ⅱ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．     

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2，

∴ DE=1，AD=A1D=，tgA1ED==．故∠A1ED=60º为所求．    

(Ⅲ) 作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．

∵ B1B∥面A1ACC1，∴ BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．

在Rt△ABC中，，∴为所求．

(24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小．

根据题设，有4b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)，   得  (0＜a＜30＝， ①

于是 

当a＋2=时取等号，y达最小值．     

这时a=6，a=－10(舍去)．将a=6代入①式得b=3．

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．

由题设知  4a＋2ab＋2a=60   (a＞0，b＞0)      

即    a＋2b＋ab=30  (a＞0，b＞0)．∵ a＋2b≥2，∴ 2＋ab≤30，

当且仅当a=2b时，上式取等号．

由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18．      

∴ 2b2=18．解得b=3，a=6．

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．

解：(Ⅰ)设数列工{bn}的公差为d，由题意得

b1=1，

10b1＋=100．

解得  b1=1，

d=2．

∴ bn=2n－1．    

(Ⅱ)由bn=2n－1，知

Sn=lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]， lgbn＋1=lg．

因此要比较Sn与lgbn＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与的大小．

取n=1有(1＋1)＞，

取n=2有(1＋1)(1＋)>

由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞．    ①    

若①式成立，则由对数函数性质可判定：Sn＞lgbn＋1．     

下面用数学归纳法证明①式．

(i)当n=1时已验证①式成立．

(ii)假设当n=k (k≥1)时，①式成立，即

(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 

那么，当n=k＋1时，(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞(1＋)

= (2k＋2)．

∵ [(2k＋2)]2－[]2==＞0，

∴  (2k＋2) ＞=．

因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞．

这就是说①式当n=k＋1时也成立．

由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．

由此证得：Sn>lgbn＋1．