《线性代数、概率统计》期末试卷答案 一

一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题3分，共36分）：

1．在n阶行列式G中，Aij是元素aij的代数余子式，则a1jA1k+ a2jA2k+…+anjAnk--------A-------;

(A) =G (j=k=1,2,…,n时) ；           (B) =G（j, k =1,2,…,n ; jk，时) ；      

(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ；           (D) G（j, k=1,2,…,n ;jk时) 。   

2．若A是n n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；

(A) A*=AA-1 ；    (B) A-1=AA* ；   (C) A*=AA-1 ；    (D) A-1=AA* 。

3．若A,B分别是m个含有n个未知数的线性方程的方程组的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组有无穷多组解的充分必要条件是--------------D------------------；

(A) R(A)=R(B) ；                (B) R(A)=R(B)=n ；

(C) R(A)=R(B)=m n ；           (D) R(A)=R(B) n ；

4．若U是正交矩阵，则在下列中错误的是---------C----------；

(A) U是正交矩阵；               (B) U-1是正交矩阵；   

(C) U-1不是正交矩阵；            (D) U是可逆矩阵 。

5．n级方阵A可对角化，则------------A--------------------

(A) A有n个线性无关的特征向量； (B) A有n个互异特征值；

(C) A有n个互异的特征向量；     (D) A非退化。

6．下列二次型中，属于正定二次型的是----------------C-----------------；

(A) 1(x,y,z)=x2+y2+2yz+z2 ；         (B) 2(x,y,z)=x2+y2+2yz-z2 ；

(C) 3(x,y,z)=x2+y2+2yz+2z2 ；        (D) 4(x,y,z)=x2+y2+2yz-2z2 ；

7. 设A,B为随机事件, 若P(A∪B)=P(A)+P(B), 且P(A)>P(B)>0, 则------D------------ ;

(A)A,B互不相容;  (B) A,B非互不相容;  (C) A,B相互;  (D) A,B相互不;

8. 已知100件产品中有2件次品, 作5次无放回的抽样检查, 每次从中任意取出1件, 则恰好取到1件次品的概率是----------B--------- ;  

(A);      (B);    (C);    (D) 

9. 设随机变量X的分布列为： 则----D---- ;

(A);            (B);          (C);              (D);

10. 函数(x)=---------------C-------------可看作某一随机变量X的概率分布密度函数; 

(A) 1+x2 ;          (B);      (C);       (D);

11. 己知随机变量X服从正态分布N(0,1), φ(x)为其分布函数，则p(X2<4)=-------A---------- ;

(A) 2φ(2)-1 ;        (B) 1-2φ(2);       (C) 2φ(4)-1;         (D)1- 2φ(4);

12. 己知随机变量X服从二项分布B(n, p), 则--------------D------------------- ;

(A) E(2X-1)=2np ;              (B) E(2X+1)=4np +1;     

(C) D(2X-1)=4np(1-p)-1 ;        (D) D(2X+1)=4np(1-p) ;

二、解答题(每小题8分，共48分)

1．计算行列试： 

解：   (4分)

(8分)

    另解： = (2分)

    =-60+51-100= -109       (8分)

2. 解非齐次线性方程组   .  

解： 

            (4分)

原方程组可化为                (6分)

令x1=c1, x2=c2得（其中c1,c2为任意常数）(8分)

3. 求矩阵的特征值和特征向量:

解：E-A==(-1)(-2)=0,      (3分)

得A的特征值 1=1, 2=2                   (4分) 

对1=1，解齐次线性方程组 (E-A)X=0, 得对应的特征向量 X=k, (k0) (6分)

对1=2，解齐次线性方程组 (2E-A)X=0, 得对应的特征向量 X=k, (k0) (8分)

4. 在四次试验中，事件A至少出现一次的概率为0.5904, 求在四次试验中，A出现一次的概率。

解：设A k表示“四次试验中，事件A出现k次”事件, (k=0,1,2,3,4), P(A)=p, 则

0.5904=    (4分)

∴  p=0.2.                                                 (5分)

在三次试验中，A出现一次的概率：

                             (8分)

5. 设随机变量X的概率密度函数:

求: (1) 随机变量X的分布函数F(x); 

(2)，

   解：(1) 随机变量ξ的分布函数:

∴                  (4分)

   (2) 

                   =2×1.2-0.5×1.22-1-0.5×0.22=0.66.       (8分)

或      (8分)

6. 设随机变量X具有概率分布：P(X=k)=0.2, k=1,2,3,4,5, 

试求:：E(X),  及D(X).  

解：E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3 ;     (4分)

D(X)= E(X-3)2=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2.

                                                      (8分)

[或E(X2)= 12×0.2+22×0.2+32×0.2+42×0.2+52×0.2=11      (6分)

   D(X)=E(X2)-[E(X)]2=11-32=2                           (8分) ]

三、证明题(每小题8分，共16分)

1．设为数域P上的n级矩阵，, 证明：

是数域P上的n元二次型。其矩阵为。

证：设, , 则 

是数域P上的n元二次型。(3分) 

∵                                 (4分)

∴          (6分)

又 =，即是对称阵,

∴   二次型的矩阵为。                              (8分)

2．设事件A、B相互，证明：也相互，

证：事件A、B相互，则              (2分)

  (7分)

∴也相互，                                     (8分)