2018-2019学年湖北省武汉市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　）

A．3x2+1＝6x    B．3x2﹣1＝6x    C．3x2+6x＝1    D．3x2﹣6x＝1

2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）

A．y＝（x﹣1）2+2    B．y＝（x+1）2+2    C．y＝（x﹣1）2﹣2    D．y＝（x+1）2﹣2

4．（3分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　）

A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1    

B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1    

C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12    

D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12

5．（3分）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．无法确定

6．（3分）如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　）

A．12.5寸    B．13寸    C．25寸    D．26寸

7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（3分）如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣    D．﹣

9．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长    B．AD的长    C．BC的长    D．CD的长

10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．若于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）已知3是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是　   　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称点的坐标是　   　．

13．（3分）一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是　   　．

14．（3分）第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉矩形，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片．如图，该照片（中间的矩形）长29cm、宽为20cm，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分），且镜框所占面积为照片面积的．为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为　   　．

15．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加　   　m．

16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是　   　．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣3x﹣1＝0．

18．（8分）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．

19．（8分）武汉的早点种类丰富，品种繁多，某早餐店供应甲类食品有：“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）；乙类食品有：“米粑粑”、“烧梅”、“欢喜坨”、“发糕”（分别记为E、F、G、H），共八种美食．小童和小郑同时去品尝美食，小童准备在“热干面”、“面窝”、“米粑粑”、“烧梅”（即A、B、E、F）这四种美食中选择一种，小郑准备在“生煎包”、“锅贴饺”、“欢喜坨”、“发糕”（即C、D、G、H）这四种美食中选择一种，用列举法求小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率．

20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，A（1，7）、B（5，5）、C（7，5）、D（5，1）．

（1）将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE．当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；

（2）线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．

（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；

（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．

①求证：AG＝BG；

②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．

22．（10分）某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝25时，y＝550；当x＝30时，y＝500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

（3）直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润．

23．（10分）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD

（1）为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；

（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C

（1）如图1，m＝3．

①直接写出A、B、C三点的坐标．

②若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．

（2）如图2，过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，求证：OM•ON是一个定值．

2018-2019学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．【解答】解：3x2﹣6x+1＝0，

其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1，

故选：A．

2．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：C．

3．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．

故选：A．

4．【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；

B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；

C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；

D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；

故选：D．

5．【解答】解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，

即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，

∴直线l和⊙O相离，

∴直线l与⊙O没有公共点．

故选：A．

6．【解答】解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，

∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，

∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，

连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，

解得x＝13，

CD＝2x＝2×13＝26（寸）．

故选：D．

7．【解答】解：画树状图，如图所示：

所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，

则P＝．

故选：B．

8．【解答】解：如图，连接OD．

由题意：OA＝OD＝AD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠ADO＝∠AOD＝60°，

∵∠ADC＝∠AOB＝120°，

∴∠ADO+∠ADC＝180°，

∴O，D，C共线，

∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB＝×1×﹣＝﹣，

故选：B．

9．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，

设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，

整理得：x2+ax＝b2，

则该方程的一个正根是AD的长，

故选：B．

10．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1

∴﹣＝﹣1，解得b＝2a．

又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．

把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c

解得，c＝﹣8a．

∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）

对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a

如图所示，

顶点坐标为（﹣1，﹣9a）

令ax2+2ax﹣8a＝0

即x+2x﹣8＝0

解得x＝﹣4或x＝2

∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0）

∴ax2+bx+c＝p

即常函数直线y＝p，由p＞0

∴0＜y≤﹣9a

由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1

∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个．

又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称

当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．

所以p值可以有3个．

故选：B．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．【解答】解：把x＝3代入x2＝p，得p＝32＝9．

则原方程为x2＝9，即x2﹣9＝0．

设方程的另一根为x，则3x＝﹣9．

所以x＝﹣3．

故答案是：﹣3．

12．【解答】解：点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（1，2）．

故答案为：（1，2）．

13．【解答】解：3÷＝12（个）．

故答案为：12．

14．【解答】解：根据题意可得：2（29+2x）•x+20x•2＝20×29×，

整理得：4x2+98x﹣145＝0．

故答案是：4x2+98x﹣145＝0．

15．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），

到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：

﹣2.5＝﹣0.5x2+2，

解得：x＝±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了6﹣4＝2米，

故答案为：2．

16．【解答】解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．

当CF与圆相切时，AF最大．

此时FA＝FG，BC＝CG．

设AF＝x，则DF＝4﹣x，FC＝4+x，

在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：

42+（4﹣x）2＝（4+x）2，

解得x＝1．

故答案为1．

三、解答题（共8题，共72分）

17．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，

∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，

∴x1＝，x2＝．

18．【解答】证明：∵AD＝CB，

∴＝，

∴+＝+，

即＝，

∴AB＝CD．

19．【解答】解：根据题意画树状图如下：

由树状图可知，所有可能出现的结果共有16种，并且这些结果出现的可能性相等，小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的结果共有4种，

则小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率是＝．

20．【解答】解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为＝；

（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．

21．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．

在△OAC和△OAB中，，

∴△OAC≌△OAB（SSS），

∴∠OAC＝∠OAB，

∴AO平分∠BAC，

∴AO⊥BC．

又∵AD∥BC，

∴AD⊥AO，

∴AD是⊙O的切线．

（2）①证明：如图2，连接AE．

∵∠BCE＝90°，

∴∠BAE＝90°．

又∵AF⊥BE，

∴∠AFB＝90°．

∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，

∴∠BAG＝∠AEB．

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，

∴∠BAG＝∠ABC，

∴AG＝BG．

②解：在△ADC和△AFB中，，

∴△ADC≌△AFB（AAS），

∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．

设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，

∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，

∴x＝，

∴FG＝．

22．【解答】解：（1）设y＝kx+b，

根据题意可得，

解得：，

则y＝﹣10x+800；

（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，

整理，得：x2﹣100x+2400＝0，

解得：x1＝40，x2＝60，

∵销售单价最高不能超过48元/件，

∴x＝40，

答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；

（3）利润w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣80）（x﹣20），

∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝50时，w最大值为9000．

23．【解答】解：（1）如图2中，

由题意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°，

∴AD＝2PD．

（2）结论成立．

理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．

∵BP＝EP，DE＝DF，

∴BF＝2PD，BF∥PD，

∵∠EDC＝120°，

∴∠FDC＝60°，∵DF＝DE＝DC，

∴△DFC是等边三角形，

∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCF＝∠ACD，

∵CF＝CD，

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴BF＝AD，

∴AD＝2PD．

（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，

∴∠AGB＝∠ACB＝60°，

∵DP∥BG，

∴∠ADP＝∠AGB＝60°，

如图3中，作DM⊥AC于M，PN∠AD于N．

在等腰△CDE中，∵CE＝2，∠CDE＝120°，

∴CD＝DE＝2，

∵∠ACD＝45°，

∴CM＝DM＝2．AM＝2﹣2，

在Rt△ADM中，AD2＝（2﹣2）2+22＝32﹣8．

在Rt△PAD中，S△PAD＝•AD•PN＝AD2＝4﹣3．

24．【解答】解：（1）①当m＝3时，y＝x2﹣2x﹣3，

当x＝0时，y＝﹣3，

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

②如图1，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，

∵∠ACD＝45°，

∴AC＝AK，

∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，

∴△OAC≌△HKA（AAS），

∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，

∴K（2，1），

设直线CD的解析式为y＝kx﹣3

∴2k﹣3＝1，

∴k＝2，

∴设直线CD的解析式为y＝2x﹣3，

联立，解得x＝0（舍去），或x＝4，

∴D（4，5）

（2）∵y＝x2+（1﹣m）x﹣m，

当y＝0时，x2+（1﹣m）x﹣m＝0，

解得x＝﹣1或x＝m，

∴A（﹣1，0），B（m，0），

∵过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，

设直线PQ的解析式为y＝ax+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴2＝am+b，b＝2﹣am，

∴直线PQ的解析式为y＝ax+2﹣am，

联立，

消去 y，得：x2+（1﹣m﹣a）x+am﹣m+2＝0，

∴x1+x2＝a+m﹣1，x1•x2＝am﹣m﹣2，

如图2，作PS⊥x轴于点S，作QT⊥x轴于点T，

则△AMO∽△APS，

∴，即

∴OM＝x1﹣m，

同理，ON＝﹣（x2﹣m），

∴OM•ON＝﹣（x1﹣m）（x2﹣m）＝＝﹣[am﹣m﹣2﹣m（a+m﹣1）+m2]＝2，为定值．