线段的垂直平分线及其应用

一、基础知识归纳

1  线段的垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.

2  线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；

（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；取AB的中点C，证明PC⊥AB；作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.

3  三角形的三边的垂直平分线

定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；

（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；

（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．

二、典型例题剖析

典例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，

AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.

求证：CM=2BM.

图1

【研析】：由于MN为线段AB的垂直平分线，所以如果连接MA，就可以得到MA=MB，然后通过△MAC把CM和MA联系起来。

证明：连接AM，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵MN垂直平分AB，

∴MB=MA，∴∠B=∠MAB=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=CM，

∴CM=2BM

典例2：城A和城B相距24千米，如今为便利两城居民生活，

图2

决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的

仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置惟一吗？

若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？ 

【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不惟一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以MC=9，所以仓库可以修建在点M的位置，同理也可以修建在点N的位置，故仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置也惟一。

典例3： 已知：三个村庄分别是A、B、C，其位置如图所示，现在三个村庄联合打一机井向三个村庄供水，从各自的利益考虑，都为了使机井到自己的村庄的距离最近，请你帮助他们设计一个方案.

【研析】：这是一个实际问题，它的本质就是寻求一个点

到A、B、C三个点的距离都最小，实际就是找一个点P到

A、B、C三个点的距离相等,因此，可以作三边的垂直平分线，

相交于点P.

图3

典例4。(1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，

交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；

  (2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．

  (3)你发现了什么样的规律?试证明之；

  (4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．

【研析】由(1)、(2)不难认识到之BMN的大小是∠A的一半，但也容易认为点M一定在BC的延长线上，通过(4)也就是让△ABC保持AB＝AC的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了．

 (1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB(等边对等角)．

    ∴∠B＝(180°-∠A)＝(180°-40°)＝70°．

    ∵∠BNM＝90°，

图4

    ∴∠M＝90°-∠B=90°-70°＝20°[如图(1)]．

    (2)如图(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．

    (3)如图(3)，∠NMB的大小为∠A的一半．

证明：设∠A＝α． ∵AB＝AC,∴∠B=∠C(等边对等角)． ∴∠B= (180°-α)．

 ∵∠BNM＝90°，∴∠BMN=90°-∠B=90°- (180°-α)=α，

 即∠BMN等于顶角的一半．

(4)完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．