上海大学2012-2013高数期末模拟试题及答案

期末考试模拟试卷及解答

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)  

1. 设，

则三重积分_8____.

2. 交换二次积分的顺序= _________.

3. 函数的极大值为__8____.

4. 将展开成的幂级数为________.    

5. 点到平面

的距离为__________.         

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 函数的定义域是（ c   ）

（A）；                  

（B）；  

（C）；  

（D）.

2.设为由曲面及平面所围成的立体

的表面，则曲面积分= （     　）

（A）； （B）； （C）；  （D）0.

3.级数发散，则（ a ）

（A）；（B）；（C）；（D）.

4.设函数  ,

则在点（0，0）处  （       ）

（A）连续且偏导数存在；   （B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。

5.设是常系数线性非齐次方程

的三个线性无关的解，则

的通解为  （       ）

（A）；    （B）；

（C）；（D）.

三、计算题(共24分，每小题8分)

1、设，求和.

2、判断级数的敛散性.

3、求微分方程的通解

四、解答题（一）(共24分，每小题8分)

1、设方程可确定是的函数，

且具有连续偏导数，求.

2、计算曲线积分，

其中L为由点到的左半圆周.

3、求级数的收敛域与和函数.

五、解答题（二）(共16分，每小题8分)

1、求椭球面上点（1，1，1 ）

处的切平面方程和法线方程.

2、利用高斯公式计算曲面积分

,

其中为平面

所围成的立体的表面的外侧.

六、证明题(本题满分6分)

设数列单调减少，（）

且发散，

证明收敛.

答案           

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设，

则三重积分.

2. 交换二次积分的顺序=

.

3. 函数的极大值为.

4. 将展开成的幂级数为

.

 5. 点到平面的距离为.         

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 函数的定义域是（  C  ）

（A）；                  

（B）；  

（C）；  

（D）.

2.设为由曲面及平面所围成的立体

的表面，则曲面积分= （   B  　）

（A）； （B）； （C）；  （D）0.

3.级数发散，则（A ）

（A）；（B）；（C）；（D）.

4.设函数  ,

则在点（0，0）处  （   C    ）

（A）连续且偏导数存在；   （B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。5.设是常系数线性非齐次方程

的三个线性无关的解，则

的通解为  （   D    ）

（A）；    （B）；

（C）；（D）.

三、计算题(共24分，每小题8分)

1、设，求和.

解:   ，

 2、判断级数的敛散性.

解: 

     所以该级数收敛               

3、求微分方程的通解

解:  对应齐次方程的通解

特征方程为

解得

所以的通解为

由题意可设的特解为

代入原方程可得

所以原方程的通解为

四、解答题（一）(共24分，每小题8分)

1、设方程可确定是的函数，

且具有连续偏导数，求.

解: 

，，

，

2、计算曲线积分，

其中L为由点到的左半圆周.

解:  添加辅助有向线段，

它与左半圆周组成闭区域记为，由格林公式可得

=

==

 ==

=

3、求级数的收敛域与和函数.

解:，

所以收敛半径为2

当时，原级数化为，收敛

当时，原级数化为，发散

所以收敛域为

设和函数为，则

， 

==， 

五、解答题（二）(共16分，每小题8分)

1、求椭球面上点（1，1，1 ）

处的切平面方程和法线方程.

解: 令，

则

点（1，1，1 ）处的切平面方程的法向量

所求切平面方程为

即

所求法线方程为

2、利用高斯公式计算曲面积分

,

其中为平面

所围成的立体的表面的外侧.

解:，

则，

记边界曲面： 

所围成的立体为

由高斯公式可得

六、证明题(本题满分6分)

设数列单调减少，（）

且发散，

证明收敛.

证明: 

方法一：

数列单调减少有下界，故存在，

不妨设，则，若，

则由莱布尼兹定理知收敛，

与题设矛盾，故

又，

由比值判别法知原级数收敛。

方法二：

数列单调减少有下界，故存在，

不妨设，则，

若，则由莱布尼兹定理知收敛，

与题设矛盾，故

于是，

从而，

又收敛，

由比较判别法知原级数收敛。