镇海中学2018学年第一学期期中考试 高三数学试题2018.11.16

高三年级数学试卷

第Ⅰ卷（选择题   共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合则集合=（ ▲ ）

A.                    B.  

C.                   D.  

2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ▲ ）

A．     B．     C．      D． 

3．记为等差数列的前n项和，若，则等于（ ▲ ）

A．     B．     C．     D． 

4．满足线性约束条件的目标函数的最大值是  （ ▲ ）

A. 1        B.      C. 2         D. 3

5. 已知函数，则函数的图象为（ ▲ ）

A．     B．     C．     D． 

6．若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ▲ ）

①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线．

②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．

③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线．

④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线．

    A．①③        B．②③      C．②④      D．①④

7．已知，那么（ ▲ ）

A．     B．    C．     D． 

8．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ▲ ）

A.       B.      C.     D.  

9．已知双曲线的左右焦点分别为，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P，Q均位于第一象限，且，则双曲线C的离心率为（ ▲ ）

A．      B．     C．      D． 

10.  如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为边长2的正三角形，B1在底面的射影为AC中点且B1到底面的距离为，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，记线段EF中点M的轨迹为L，则|L|等于（ ▲ ）.  （注：|L|表示L的测度，本题中若L分别为曲线、平面图形、空间几何体时，分别对应为其长度、面积、体积）

A．1    B．      C．   D． 

第Ⅱ卷（非选择题   共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人每月比前一月多入   ▲     贯,第12月营收贯数为   ▲    .  

12.  的最小正周期为   ▲     ，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左最小移动    ▲     个单位

13. 已知直线，其中，若,则a＝

   ▲  ,若,则a＝  ▲  . 

14．已知，且，则的最小值  ▲   ，此时x的值为  ▲  . 

15.已知两个不共线的非零向量满足，则向量夹角的最大值是  ▲  .

16．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，给出以下结论：

①；②最小；③；④，正确的有     ▲    . 

17．设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为     ▲    . 

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本小题满分14分）已知函数

(Ⅰ)求函数图象对称中心的坐标；

(Ⅱ)如果的三边满足，且边所对的角为，求的取值范围.  

19.（本小题满分15分）已知数列的前n项和为且，.  

（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）是否存在实数，对任意不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由.  

20．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，,，点是线段上靠近点的三等分点. 

（Ⅰ）求证:；

（Ⅱ）若是边长为的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.  

21．（本小题满分15分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．

（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求 抛物线C1的方程；

（Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．

22．（本小题满分15分）已知，函数在点处与轴相切．

（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

镇海中学2018学年第一学期期中考试

高三年级数学试卷答案

第Ⅰ卷（选择题   共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11.     5       ，      70         12.      π      ，                   

13.       0或-3      ，   -1或2        14.              ，                     

 15.                16.    ①③④          17.        （6,18）            

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.（本小题满分14分）已知函数

(Ⅰ)求函数图象对称中心的坐标；

(Ⅱ)如果的三边满足，且边所对的角为，求的取值范围.  

18．解：（Ⅰ） 

由=0即

即对称中心为. 

（Ⅱ）由已知b2=ac， 

即的范围是。

19.（本小题满分15分）已知数列的前n项和为且，.  

（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）是否存在实数，对任意不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由.  

19解：（1）.证明作差得

为首项为1，公比为2等比数列    

（2）代入得 

 所以的最小值为.又的最大值为1，

所以 

20．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，,，点是线段上靠近点的三等分点. 

（Ⅰ）求证:；

（Ⅱ）若是边长为的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.  

（Ⅰ）作于……①,连接，

∵平面平面，且，∴面. 

∵，∴,∴，

又∵，∴……②

又,由①②，得面，又面，∴. 

（Ⅱ）∵是边长为的等边三角形，

∴如图建立空间坐标系， 

  设面的法向量为，

，令，得

， 

，设与面所成角为

∴直线与平面所成角的正弦值.

21．（本小题满分15分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．

（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求 抛物线C1的方程；

（Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．

【解析】

试题解析：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，

因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0 --√2=0，解得p=2，

所以抛物线C1 的方程为x2=4y． 

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，

∴ OQ的方程为y=-x

根据切线与圆切，得d=r，即，化简得x04=4x02+4p2，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=

点F（0，）到切线PQ的距离是d=，

所以S1==，

S2=， 

而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，

所以

=

=+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，

即x02=4+2，此时，p=．

所以的最小值为2+3．

22．（本小题满分15分）已知，函数在点处与轴相切．

（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析（2）

（2）令，．则，

令，则，＆＆＆

（ⅰ）若，因为当时，，，所以，

所以即在上单调递增．又因为，

所以当时，，从而在上单调递增，

而，所以，即成立．

（ⅱ）若，可得在上单调递增．

因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，

又因为，所以当时，，从而在上单调递减，

而，所以当时，，即不成立．

综上所述，的取值范围是．