高中数学_数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

（一）教学目标

1. 知识与技能    

（1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。

（2）使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．

（4）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

2. 过程与方法

（1）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们分析问题、解决问题的能力.

3. 情感态度价值观

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）培养学生进行归纳的严谨作风，从而形成事实求是、力戒浮夸的思维习惯．

（二）教学重点和难点

1.重点

（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

 2.难点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

（三）教学方法

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发，进行启发、诱导、探索，运用分组讨论方法、引导探究法等，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用，引导学生在自主学习与分组讨论交流中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力，培养团队合作精神.

本节课为数学归纳法的第一节课.在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段.但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法.数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材.

学生通过推理与证明前两节的学习，已基本掌握归纳推理，且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力.通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯了对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯仍需进一步强化.

学生可能遇到的困难:

(1)对数学归纳法产生的源头及所要证明的问题的特征规律分析不到位;

(2)形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的递推过程用有限的、一般的步骤来代替会有困难;

(3)数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生难以理解;

(4)由于数学思想的形成需要经历一定的过程，因此学生难以在一两节课内深刻理解数学归纳法的精神实质;

(5)学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而忽略了第一步归纳奠基．数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程序与步骤，揭示数学归纳法的本质是难点．

效果分析

（一）基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点．任何思想方法都有产生的源头，人的思维发展、数学概念与思想也是如此．数学教学应引导学生经历知识的形成过程．数学归纳法的源头在于如何证明由猜想得到的、具有内在规律性和递推关系的与正整数有关的命题，如何把等差数列通项公式等结论的推导严谨化，如何把模糊的、经验型的证明方法上升到理性的、普遍适用的数学方法。而数学归纳法的实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程用有限的步骤和具有高度代表性、概括性的“真”来代替．我们紧紧抓住这一实质，有效地突破学生理解和运用数学归纳法的难点．

（二）学生头脑中的数学归纳法的“生长点”和“固着点”在于数自然数，找一列数的规律，以及在归纳、分析、推理的基础上得到与正整数有关的结论，如等差数列的通项公式等．教学时注意挖掘学生头脑中相关的、原始的、朴素的、有用的东西，并使之明朗化、清晰化．为了帮助学生突破用有限来代替无限这一思维难点，教学设计时一方面让学生认识到所要解决问题的特征，

（三）强化数学归纳法思想的形成过程，加深概念的理解．注意用典型例子来支撑抽象的原理。增强学习的探究性。除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分．突破学生对归纳假设理解上的难点．阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法．

（四）强化了运用数学归纳法必须同时具备两个条件：一是与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系．

（五）注意把握教师引导与学生自主探究的“度”．一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，如三个引例共同特征的概括、用一般化的递推来代替无穷的递推、完整数学归纳法原理的形成都是学生自己在教师的启发下完成的．整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”．

教材分析

一、地位和作用

数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题.人教B版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本节课为数学归纳法的第一节课.

数学中许多与正整数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，用完全归纳法证明又是不可能的，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生.所以数学归纳法是一种十分严谨而又重要的方法，也是历年高考中比较常考的证明方法.它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学命题，也可以通过“有限”来解决某些“无限”问题.

通过本节的学习，有助于发展学生的思维能力，提高学生的数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神.

二、重点和难点

1.重点

（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

 2.难点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

评测练习

(时间：45分钟　满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是                                                                         (　　)

A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是                                             (　　)

A．2k－1       B．2k－1      C．2k       D．2k＋1

3．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法                                   (　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

4．用数学归纳法证明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开                                                          (　　)

A．(k＋3)3      B．(k＋2)3      C．(k＋1)3        D．(k＋1)3＋(k＋2)3

5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到

n＝k＋1时不等式左边                                                        (　　)

A．增加了一项  

B．增加了两项、

C．增加了B中两项但减少了一项

D．以上各种情况均不对

二、填空题(每小题5分，共10分)

6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．

7．观察不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．

三、解答题(共2小题，共25分)

8. 用数学归纳法证明：．

9. 是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论．

答案及解析

1. 解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案：D

2. 解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.

答案：C

3. 解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

答案：D

4. 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k2＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

答案：A

5. 解析：∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋

＋＋，

∴增加了两项、，少了一项.

答案：C

6. 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，

∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；

∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.

答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

7. 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>.

答案：1＋＋＋…＋>

8. 证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

．

那么当n=k+1时，有：

当n=k+1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

9. 解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

，

解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．

证明：等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

（1）当n=1时，左边= a1=6，右边=6，

∴左边=右边，即等式成立

（2）假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)

那么当n=k+1时，     

a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1

= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]

=(k+1)(k2+2k+3k+6)

=(k+1)(k+2)(k+3)

=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

∴当n=k+1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，

使得等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

课后反思

数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数，平面几何等。通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的是引导发现和合作探究进行教学。

对数学归纳法的教学，我主要从以下几个方面进行设计：

（1）为什么要使用数学归纳法？

（2）什么是数学归纳法？

（3）怎样正确使用数学归纳法？

注意把握教师引导与学生自主探究的“度”．一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，如用一般化的递推来代替无穷的递推、完整数学归纳法原理的形成都是学生自己在教师的启发下完成的．整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”．

我这样做的目的是希望学生经过这堂课的学习，对数学归纳法原理和实质究竟有怎样的认识，哪些是正确的，哪些是错误的，还有哪些是需要接下来课程中补足的。对错误的认识，我会立即帮助纠正。而对正确的，即便现在还很朦胧我也并不急于点破主题，让学生在接下来的“数学归纳法的应用”的课上再加深认识，进行自我完善。我相信：已经除去杂草的庄稼，必定会茁壮成长的。 

然而，从这堂课的实践结果上看，这个环节并不是想象中这样理想，原因有两方面，一个使我有些急，怕时间不够而没有放开让学生发表意见，越俎代庖。另外一个就是学生也拘泥于是一堂录像课，吃不准的观点便不像平时那样毫无顾忌的说出来。这也是促使我着急的一个原因。

课标分析

数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程，根据推理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，因此，理解数学归纳法对学生有一定的困难.

根据教学内容特点和教学大纲、结合本校学生实际制订以下教学目标：

1. 知识与技能    

（1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。

（2）使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．

（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．

（4）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

2. 过程与方法

（1）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们分析问题、解决问题的能力.

3. 情感态度价值观

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）培养学生进行归纳的严谨作风，从而形成事实求是、力戒浮夸的思维习惯．