江苏省宿迁市钟吾初级中学2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷

一、单选题（共8题；共16分）

1.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（   ）            

A.                        B.                        C.                        D. 

2.估计  的值在（   ）            

A. 1和2之间                           B. 2和3之间                           C. 3和4之间                           D. 4和5之间

3.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ）            

A. 3，4，5                           B. 2，3，4                           C. 4，6，7                           D. 5，11，12

4.若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为(     )            

A. 7                                        B. 7或8                                        C. 8                                        D. 9或7

5.如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（   ）

A. ∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC                                   B. ∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BAC

C. BD＝AC，∠BAD＝∠ABC                                   D. AD＝BC，BD＝AC

6.如图，小敏用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，其作图原理是：△OMP≌△ONP，这样就有∠AOP＝∠BOP，则说明这两个三角形全等的依据是（    ）  

A. SAS                                      B. ASA                                      C. AAS                                      D. HL

7.在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(   )            

A. 1                                         B.                                          C. 2                                         D. 

8.如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为(   ) 

A.                                           B. 1                                          C.                                           D. 2

二、填空题（共10题；共15分）

9.实数8的立方根是________．

10.如果等腰三角形有一个内角为110°，则其底角的度数是________.    

11.若直角三角形斜边上的中线为10 cm，则它的斜边长是________cm.    

12.已知等腰ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则ΔABC的面积为________.    

13.如图，线段AB//CD，且CE＝BF，请添加一个适当的条件________使ΔABF≌ΔDCE.（只填一个即可）  

14.如图，在等边  中，D、E分别是边AB、AC上的点，且  ，则  ________    

15.已知  ，则  ________.    

16.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于________. 

17.如图，已知ΔABC中，PM、QN分别是AB，AC边上的垂直平分线，∠BAC＝100°，AB＞AC，则∠PAQ的度数是________.  

18.如图，已知点B在数轴负半轴上，O为原点，点A在过O且垂直于数轴的直线上，∠BAO＝60°，AB＝4，点C在数轴上，当ΔABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C表示的数为________. 

三、解答题（共10题；共77分）

19.计算：    

（1）    

（2）    

20.解方程：    

（1）    

（2）    

21.已知  的算术平方根是3，  的算术平方根是4，c是  的整数部分，求  的立方根.    

22.如图，已知CD⊥AB，CD＝2，BD＝4，AD＝1，求证：∠ACB是直角.  

23.已知点C和点F在线段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于点G. 

（1）求证：△ABC≌△DEF；    

（2）当∠AGF＝120°，猜想△GFC的形状，并说明理由.    

24.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格纸中，格线与格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，ΔABC就是一个格点三角形.  

（ 1 ）请画出ΔABC关于直线  对称的格点ΔA1B1C1； 

（ 2 ）请用无刻度的直尺，借助网格作出ΔABC的AC边上的中线；

（ 3 ）将线段AC向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后得到的线段A2C2  ， 并以它为一边作格点ΔA2B2C2  ， 使得A2B2＝C2B2  ， 满足条件的格点B2共有________个.

25.如图①，ΔABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF//BC分别交AB、AC于E，F.  

（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系.并说明理由.    

（2）如图②，若ΔABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F.这时图中EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由.    

26.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：  

直线  同旁有两个定点A、B，在直线  上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线  的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线  的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.

请利用上述模型解决下列问题；

（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；    

（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.    

27.已知，如图，在ΔABC与ΔADE中，AB=AC，AD=AE，    

（1）如图①，连接CD、BE， 交于G点，若∠BAC=∠DAE=  ，求∠BGC度数. 

（2）如图②，连接CE、BD，若P为BD中点，且∠EAC=∠ABD＋∠ADB，试探究AP与CE的数量关系，并说明理由.

28.（数学实验）小明在学习轴对称一章角平分线一节后，做了一个实验： 

第一步：如图1在一张纸上画了一个平角∠AOB；

第二步：如图2在平角∠AOB内画一条射线，沿着射线将平角∠AOB裁开；

第三步：如图3将∠AO'C'放在∠COB内部，使两边分别与OB、OC相交，且O'A＝O'C'；

第四步：连接OO'， 测量∠COB度数和∠COO'度数.

（数学发现与证明）通过以上实验，小明发现OO'平分∠COB. 你能根据小明的实验给出的条件：

（1）∠AO'C'与∠COB的关系是________；    

（2）线段O'A与O'C'的关系是 ▲  . 

请您结合图3将小明的实验条件和发现结论完成下面“已知”“求证”，并给出证明.

已知：

求证：

证明：

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B   

2.【答案】 B   

3.【答案】 A   

4.【答案】 B   

5.【答案】 C   

6.【答案】 D   

7.【答案】 B   

8.【答案】 B   

二、填空题

9.【答案】 2   

10.【答案】 35°   

11.【答案】 20   

12.【答案】 12   

13.【答案】 CD=AB或∠D=∠A或∠CED=∠AFB   

14.【答案】 180   

15.【答案】 1   

16.【答案】 2   

17.【答案】 20°   

18.【答案】  或4-或    

三、解答题

19.【答案】 （1）解：      

 ；

（2）解：     

 .

20.【答案】 （1）解：  ，   

移项得：  ，

方程两边同时除以4，得：  ，

解得：  ；

（2）解：  ，   

方程两边同时除以8，得：  ，

∴  ，

解得：  .

21.【答案】 解：∵  的算术平方根是3，   

∴  ，解得  ；

∵  的算术平方根是4，

∴  ，解得：  ；

∵  ，

∴  ，

∵c是  的整数部分，即  ，

∴  ，

∵  ，

∴  的立方根为4.

22.【答案】 解：∵CD⊥AB交AB于点D，  

∴由勾股定理得：

AC2=AD2+CD2=12+22=5，

BC2=CD2+BD2=22+42=20；

而AB2=(4+1)2=25，

∴AB2=AC2+BC2  ， 

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB是直角.

23.【答案】 （1）证明：∵AB=DE，且∠B=∠E，BC=EF， 

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

（2）解：△GFC是等边三角形，  

理由如下：∵△ABC≌△DEF，

∴∠GFC=∠GCF，

∵∠AGF=∠GFC+∠GCF =120°，

∴∠GFC=∠GCF =60°，

∴△GFC是等边三角形.

24.【答案】 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）连接BD，交AC于E，则BE即为△ABC的AC边上的中线； （ 3 ）4   

25.【答案】 （1）解：EF=BE+CF，  

理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE+OF=BE+CF；

（2）解：EF=BE-CF，理由如下：  

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCD，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCD，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE-OF=BE-CF.

26.【答案】 （1）解：作点A关于直线BC的对称点  ，连接  ，交BC于P，   

如图所示，点P即为所求；

（2）解：作点P关于直线OA的对称点  ，作点这P关于直线OB的对称点  ，连接  ，分别交OA、OB于M、N，如图：   

根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为  ，

由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，

∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30  ，OP= 5，

∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2  ，OF=OG=5，

∴△FOG为边长为5的等边三角形，

 ，

答：ΔPMN的周长的最小值为  .

27.【答案】 （1）解：∵∠BAC=∠DAE， 

∴∠BAC+∠CAE =∠DAE+∠CAE，

∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

 ，

∴△BAE  △CAD(SAS)，

∴∠ABE=∠ACD，

∵∠ABE+∠1+∠BAC=∠ACD+∠2+∠BGC，

且∠1=∠2，∠BAC=  ，

∴∠BGC=∠BAC=  ；

（2）解：CE=2AP，理由如下： 

延长DA至O，使OA=DA，连接OB，如图：

∵AD=AE，

∴OA=DA=AE，

∵∠EAC=∠ABD+∠ADB，

又∠BAO是△ABD的外角，

则∠BAO =∠ABD+∠ADB，

∴∠BAO=∠EAC，

在△BAO和△CAE中，

 ，

∴△BAO  △CAE(SAS)，

∴BO = CE，

∵P为BD中点， A为OD的中点 ，

∴BO=2AP，

∴CE=2AP.

28.【答案】 （1）互补

（2）证明：过  作  ⊥OC于  ，  ⊥OB于  ， 

 ∴∠O'DO=∠O'EO=90°，

 ∴∠DO'E+∠COB=180°，

 又∵ ∠  +∠COB=180°，

 ∴∠DO'E= ∠   ， 即∠AO'D+∠DO'C'=∠DO'C'+∠C'O'E，

 ∴∠AO'D=∠C'O'E，

 ∵O'A=O'C'，

 ∴△  △  （AAS），

 ∴  ，

 ∵  ⊥OC，  ⊥OB，

 ∴  平分∠COB.