第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．复数的值是（ ）
A．4i B．－4i C．4 D．－4
2．已知命题：，命题： 。
若命题是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线是曲线在处的切线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b，m为正整数，若a和b除以m的余数相同，则称a和b对m同余． 记作，已知，则b的值可以是 （ ）
A． 1012 B．2009 C．3003 D．6001
5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象如下图，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）
A． B．
C． D．
8．设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
10．设定义域为R的函数满足下列条件：①对任意；②对任意，当时，有则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案写在答题卡的相应位置上。
11．求曲线所围成图形的面积___________________。
12．给出一个算法：
根据以上算法，可求得的值为 ．
13．某单位购买6张北京奥运会某场比赛门票，其中有2张甲票，其余为乙票，三名职工从中各抽一张，至少有一人抽到甲票的抽法为 ．
14. 函数的图象在上恰好有两个点的纵坐标为1，则实数的取值范围是 ．
15．圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本题满分13分）
在△中，已知·=9，sin=cossin，面积S＝6．
（Ⅰ）求△的三边的长；
（Ⅱ）设是△（含边界）内一点，到三边，，的距离分别为x，y和z，求x＋y＋z的取值范围．
17．（本题满分13分）
某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：
（Ⅰ）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；
（Ⅱ）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。
18．（本题满分13分）
如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，
∠A1AC=60°。
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。
19．（本题满分13分）
已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．
（Ⅰ）求动点所在的曲线方程；
（Ⅱ）若存在点，使，试求的取值范围；
（Ⅲ）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．
20. （本题满分14分）
已知函数,不等式对恒成立,数列满足:, , 数列满足:;
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）设数列的前和为,前的积为,求的值.
21．选考题：从以下3题中选择2题做答，每题7分，若3题全做，则按前2题给分。
(1)（选修4—2 矩阵与变换）（本题满分7分）
变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点。
（Ⅰ）求变换的矩阵；
（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？
(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本题满分7分）
在极坐标系下，已知圆O：和直线，
（Ⅰ）求圆O和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.
(3)（选修4—5 不等式证明选讲）（本题满分7分）
对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
参 考 答 案
一、选择题：
1-10 CABBC ADAAC
二、填空题：
11． 12．－8 13. 16 14. 15．6
三、解答题：
16.解：设．
（Ⅰ），，，，
，由，用余弦定理得 …………7分
（Ⅱ）
设，由线性规划得．
∴．…………13分
17.解：（Ⅰ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，
则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：； …………2分
获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，
其概率为：； …………5分
设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：
P（A）=； …………6分
（Ⅱ）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,
…………7分
| ξ | 30-a | -70 | 0 | 30 |
| p |
则：Eξ=； ………12分
由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。 ………13分
18．解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），
D（－，0，0），A1（0，0，） ………2分
（Ⅰ）由于,,
则 ∴BD⊥AA1 ………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C ∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D,则
得到 ………6分
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是 ………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1
设,则
得 ………9分
设,则设
得到 ………10分
又因为平面DA1C1 ,则·
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP ………13分
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD
……………………4分
（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE
则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角 ………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO= DE=
∴cos∠DEO=∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是 ………9分
（Ⅲ）存在这样的点P,连接B1C，因为A1B1ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP ………11分
因B1BCC1， ………12分
∴BB1CP ∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 ………13分
19．解：（Ⅰ）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系
若，即，动点所在的曲线不存在；
若，即，动点所在的曲线方程为；
若，即，动点所在的曲线方程为.
………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要存在点，使， 则以为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点。故，所以
所以的取值范围是. …………8分
（Ⅲ）当时，其曲线方程为椭圆
由条件知两点均在椭圆上，且
设，，的斜率为，则的方程为，
的方程为
解方程组得，
同理可求得， …………10分
面积= …………11分
令则
令
所以，即 …………13分
20.解：（1）方程有两实根或 …………1分
由题意知:当时,，
又∵ ∴ …………3分
∴是的一个零点，同理，也是的一个零点， …………4分
∴，即，，
显然，对恒成立。
∴， …………6分
（Ⅱ）∵，，
∴， …………7分
∴，，，
∴， …………9分
…………10分
又∵ …………12分
∴
…………13分
∴，∴为定值。 …………14分
21.解： (1)（选修4—2 矩阵与变换）（本题满分7分）
（Ⅰ）由已知得
变化T的矩阵是 …………3分
（Ⅱ）由，得：，
代入方程，得：
∴圆C：在变化T的作用下变成了椭圆 …………7分
(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本题满分7分）
解：（Ⅰ）圆O：，即
圆O的直角坐标方程为：，即 …………3分
直线，即
则直线的直角坐标方程为：，即 …………5分
（Ⅱ）由得
故直线与圆O公共点的一个极坐标为 …………7分
(3)（选修4—5 不等式证明选讲）（本题满分7分）
解：由题知，恒成立，
故不大于的最小值 …………3分
∵，当且仅当时取等号
∴的最小值等于2. …………6分
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得 ………7分
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