动力学问题解题方法

常兴艳

一. 正交分解法

将矢量分解到直角坐标系的两个轴上，再进行合成，运用牛顿第二定律解答。我们常见的是力的正交分解，但有些特殊情况下分解加速度更便于解题。

例1. 如图1—1所示，质量的小球穿在斜杆上，斜杆与水平方向成角，球与杆间的动摩擦因数为，小球受到竖直向上的拉力，则小球沿杆上滑的加速度为多少？（）

图1—1

解析：小球受四个力的作用（如图1—2所示），沿杆的方向和垂直于杆的方向分别为x、y轴（如图1—2所示），将各力分解到x、y轴上。

图1—2

x方向：

y方向：

解得

注意：正交分解时，直角坐标系选择哪两个方向，因题而异，但一般应选加速度a所在的直线为一坐标轴方向。

例2. 如图2所示，倾斜索道与水平面夹角为37°，当载人车厢沿钢索匀加速向上运动时，车厢中的人对厢底的压力为其体重的倍（车厢底始终保持水平），则车厢对人的摩擦力是人体重的（）：（ ）

A. ；    

C. ；    

图2

解析：将车厢的加速度a沿水平方向和竖直方向分解，如图2—1所示，分析人受力如图2—2所示，重力mg竖直向下，支持力竖直向上，静摩擦力水平向右，由牛顿第二定律得：

二. 整体法和隔离法

当我们所研究的问题是涉及多个物体组成的系统，系统中各物体的加速度相同时，可以把系统中的所有物体看成一个整体，用牛顿第二定律求加速度，这种思维方法叫整体法；为了研究问题方便，常把某个物体从系统中“隔离”出来，作为研究对象，分析受力情况，应用牛顿第二定律列出方程求出答案，这种思维方法叫做隔离法，整体法和隔离法在解决问题中是相辅相成的。

例3. 如图3所示，质量为的物体A，叠放在质量为的物体B上，A、B两物体保持相对静止，一起沿质量为，倾角的斜面体C下滑，已知B、C之间的动摩擦因数为，斜面体C相对地面静止，求：

（1）A、B之间的弹力和摩擦力；

（2）C与地面之间的弹力和摩擦力。（g取）

图3

解析：先用整体法，选A和B组成的系统为研究对象，其受力情况如图3—1所示，根据牛顿第二定律得：

图3—1

解得其下滑加速度为：

然后根据隔离法，选A为研究对象，其受力情况如图3—2所示，根据牛顿第二定律有：

图3—2

解得A、B之间的弹力和摩擦力分别为：

再用隔离法，选C为研究对象，其受力情况如图3—3所示，根据平衡条件得地面与C之间的弹力为：

图3—3

地面与C之间的摩擦力为：

三. 极限法

用极限法分析临界问题的基本思路：将有关条件推向相反的两个极端，从而暴露其间存在的临界状态分析得出临界条件进一步根据题目要求，通过计算，得出结论。

例4. 一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在底角为的斜面顶端，如图4—1所示，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以的加速度向右做加速运动，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力。

图4—1

解析：先分析物理现象，用极限法把加速度a推到两个极端来分析：当a较小（a0）时，小球受三个力（重力、绳拉力和斜面的支持力）作用，此时绳平行于斜面；当a较大（足够大）时，小球将“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角未知，那么向右时，究竟是上述两种情况中的哪一种？解题时必须先求出小球离开斜面的临界值然后才能确定。

令小球处在离开斜面的临界状态（刚好为零）时，斜面向右的加速度为，此时对小球：

所以

因为

所以小球离开斜面（如图4—2所示）向右加速运动。

图4—2

所以

四. 图象法

一个物理量随另一个物理量的变化关系，一般地说都可以画出相应的图象，在力学中我们已学过位移——时间图象和速度——时间图象，当然有时也会遇到力随时间变化的图象，在用图象分析问题时，首先要明确该图象的物理意义，横坐标代表什么量，纵坐标代表什么量，单位各是什么，图象的斜率是表示什么等，然后再把题目描述的物理过程与图象具体结合起来分析，按遵循的物理规律（或公式）列式求解或作出正确的判断。

例5. 图5是电梯竖上上升过程的速度——时间图象，若电梯质量为100kg，则承受电梯的钢绳所受到的拉力在0~2s之间为____________N；在2~6s之间为__________N；在6~9s之间为___________N。（）

图5

解析：图5是电梯竖直上升过程的速度——时间图象，横坐标t和纵坐标v分别代表时间和速度，单位都是国际单位制中的单位，电梯上升的过程从图象上可知共分三个阶段：0~2s间为匀加速运动，加速度等于图象的斜率，即为间为匀速直线运动，且速度v等于2s末的速度为；6~9s间为匀减速直线运动，初速度为6m/s，加速度的大小为，根据牛顿第二定律，在第一阶段有：

所以

在第二阶段有：

所以

在第三阶段有

所以

五. 程序法

按时间的先后顺序对题目给出的物体运动过程（或不同的状态）进行分析（包括列式计算）的解题方法叫做程序法。程序法解题的基本思路是：要正确划分出题目中有多少个不同过程或多少个不同状态，然后对各个过程或各个状态进行具体分析，得出正确的结果。程序法是解决物理问题的基本方法，在学习中要注意培养应用程序法解题的能力。

例6. 一身高，质量的同学，站立举手摸高（指手能触到的最大高度）。

（1）该同学用力蹬地，经过时间竖直地跳起，摸高为，假定他蹬地的力为恒力，求的大小；

（2）另一次该同学从所站的高度处自由下落，脚接地面后经过时间身体速度降为零，紧接着他用力蹬地跳起，摸高为，假定前后两个阶段该同学与地面的作用力分别都是恒力，求该同学蹬地的作用力。（取）

解析：（1）该同学的整个运动过程可分为两个阶段，先是做初速为零的匀加速运动，时间很短，仅为0.45s；然后是做竖直向上的匀减速运动，运动高度0.4m。对该同学在第二阶段中运用运动学公式，可求得两阶段交界时刻的速度

该同学在第一阶段中的加速度为：

设地面对该同学的支持力为，由牛顿第二定律有：

得

由牛顿第三定律知，他蹬地的力的大小：

（2）该问中的整体运动过程可分为四个阶段：第一阶段是下落高度为1.0m的自由下落阶段；第二阶段是减速时间为0.25s的匀减速至停下的缓冲阶段（此阶段人腿弯曲，重心下降）；第三阶段用力F2蹬地使身体由弯曲站直的匀加速上升阶段（此阶段重心升高的高度与第二阶段重心下降的高度相等）；第四阶段是离地后竖直向上的匀减速运动阶段，上升高度为0.5m。

第一阶段下落1.0m的末速度

第二阶段重心下落的高度

第三、四阶段交界时刻的速度

从而可计算出在第三阶段中身体重心上升的加速度：

设地面对该同学的支持力为，由牛顿第二定律有：

解得

由牛顿第三定律知，该同学蹬地的作用力的大小：