中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

2

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

2

（x﹣6）（x+2）=﹣

1

2

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

660b k b =⎧⎨+=⎩

， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩

， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN

=12PN•AG+12

PN•BM =12PN•（AG+BM ） =

12

PN•OB =12×（﹣12

t 2+3t ）×6 =﹣32

t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；

（3）如图2，

∵PH ⊥OB 于H ，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH ∥AO ，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE 为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，

则当y=6时，﹣12

x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4，

即点P （4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2

y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．

【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.

（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②线段QD 长度的最大值为

94

. 【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．

②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.

【详解】

解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0

=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.

∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=

⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=

⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴

3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，

∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：

3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩

，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.

∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).

又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).

∴()

22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-

∴线段QD 长度的最大值为94

.

3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9

4

；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣

3）．

【解析】

试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），

∴

930

10

b c

b c

++=

⎧

⎨

++=

⎩

，解得

4

3

b

c

=-

⎧

⎨

=

⎩

，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣

（x﹣3

2

）2+

9

4

．∵a=﹣1＜0，∴当x=

3

2

时，线段PD的长度有最大值

9

4

；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．

综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；

（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析

式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩

，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．

4．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；

（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或

（5±0）或（9710，0）；（3）752

【解析】 【分析】

（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b

a

=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；

（3）由S △PAB 1

2

=•PH •x B ，即可求解． 【详解】

（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b

a

=-

=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=

，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=

x 248

5

-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-

，即顶点D 的坐标为（2，63

5

-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：

①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：

（，0）或（﹣，0）；

②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为

（5+，0）或（5﹣0）；

③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =97

10

，则点C 坐标为（

97

10

，0）．

综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（

97

10

，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=

，故函数的表达式为：y 12

5

=

x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 5

2

=（125-

m 2+12m ）=－6m 2+30m =2575

6()22m --+，当m =52

时，S △PAB 取得最大值为：752

．

答：△PAB 的面积最大值为

752

．

【点睛】

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

5．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；

（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭

. 【解析】 【分析】

()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐

标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的

坐标；

()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=

-+-，

()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分

AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】

解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2

y x bx c =-++中，

得：{

10

3b c c --+==，解得：{

2

3b c ==，

∴抛物线的解析式为223y x x =-++．

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．

当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，

∴点B 的坐标为()3,0．

抛物线的解析式为2

2

23(1)4y x x x =-++=--+，

∴抛物线的对称轴为直线1x =．

设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{

30

3k d d +==，解得：{

1

3k d =-=，

∴直线BC 的解析式为3y x =-+．

当1x =时，32y x =-+=，

∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．

()3设点M 的坐标为()1,m ，

则22(10)(3)CM m =-+-，()2

2

[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-

分三种情况考虑：

①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，

解得：11m =，22m =，

∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；

②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，

解得：83

m =

， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫

⎪⎝⎭

；

③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，

解得：23

m =-

， ∴点M 的坐标为21,.3⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫

⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭

【点睛】

本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．

6． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在

x 轴和y 轴上，抛物线21

()4

y x m n =

-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；

（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；

（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？

【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21

(2)34

y x =-+；（3）抛物923-23

12距离，其顶点落在OP 上． 【解析】

试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；

（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；

（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为

21()4y x m n =-+，∴21

()14

y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方

形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21

(2)24

y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；

∴D （2，3），∴抛物线解析式为21

(2)34

y x =

-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：

根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN=

3=

23

3

，∴抛物线需要向下平移的距离=

23

3

3

-=

923

3

-

．

②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=22

43

-=7，∴A′F=4﹣7，设P（4，c）（c＞0），在Rt△A′FP中，（4﹣

7）2+（3﹣c）2=c2，∴c=17

-

，∴P（4，

17

-

），∴直线OP解析式为

y=47

-

x，∴N（2，

827

-

），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣

827 -

=127

+

．

综上所述：抛物线向下平移923

3

-

或

127

3

+

距离，其顶点落在OP上．

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94

），见解析. 【解析】

【分析】 （1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．

（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ．

【详解】

（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得 93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩

，

解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩

，

所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．

（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，

∵A （﹣3，0），C （0，3），

∴直线AC 解析式为y ＝x+3，

设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3），

∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ．

∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()

213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．

当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），

当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），

综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，

∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点，

∴D 点坐标为（﹣1，4），

又∵A （﹣3，0），

∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，

∵B （1，0），C （0，3）

∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC

＝

310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，

∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯

＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝

2AE CE =， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2，

∴∠ACB ＝∠PAB ，

∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ，

即OM 为y ＝﹣x ，

设OM 与AD 的交点M （x ，y ）

依题意得：3y x y x =-⎧⎨=+⎩

， 解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， 即M 点为（32-，32

）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ，

∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．

∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则

3

3 y x

y x

=-

⎧

⎨

=+

⎩

，

解得

3

4

9

4 x

y

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

，

即M点为（

3

4

-，

9

4

），

综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为

（

3

2

-，

3

2

）或（

3

4

-，

9

4

）．

【点睛】

本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

8．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点

D，已知A(1，4)，B(3，0)．

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M 是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；

(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若

点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(12

2

x x

+

，12

2

y y

+

)．

【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；

(3)点N(

4

3

，﹣

7

3

)．

【解析】【分析】

(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；

(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；

(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．

【详解】

(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，

将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，

解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；

(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：

如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，

S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，

∴S△OME＝S△OBM，

∴S四边形OMAD＝S△OBM；

(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，

解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；

如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

由(2)知：点N是PQ的中点，

设直线PC的解析式为y=kx+b，

将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：

45

k b

k b

-+=

⎧

⎨

+=-

⎩

，

解得：

1

1 k

b

=-

⎧

⎨

=-

⎩

，

所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，

同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，

直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，

同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣4

3

，即点Q(﹣

4

3

，

1

3

)，

∵点N是PQ的中点，

由中点公式得：点N(4

3

，﹣

7

3

)．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．

9．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．

【解析】

试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．

试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，

∴x1+x2=8，

由．

解得：．

∴B（2，0）、C（6，0）

则4m﹣16m+4m+2=0，

解得：m=，

∴该抛物线解析式为：y=；．

（2）可求得A（0，3）

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∵

∴

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，

要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：

当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

=

=

=，

此时最大值为：，

②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，

∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=

=

=，

当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；

（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），

①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，

若：△AOB∽△AQP，则：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=2（舍），

②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，

若：△AOB∽△AQP，则：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=14，

∴t=或t=或t=14．

考点：二次函数综合题．

10．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．

【解析】

试题分析：（1）在中，令y=0，得到，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令

，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标

为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以

，解得；

（3）令，即，解得，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．

试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，∴，令

，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为

4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，

S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝

＝＝，

∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；

（3）令，即，解得，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），

①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，

∴，∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，

∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．

考点：二次函数综合题．