蒙特卡罗模拟与欧式期权定价

    蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。9.2节中，在期权到期的T时刻，标的股票价格的随机方程为：

其中，随机变量服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量服从正态分布，其均值为，方差为，为股票的收益率，为股票的波动率。期权的收益依赖于在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率（）可以用无风险利率r减去连续红利收益率q代替，也就是（r-q）。于是风险中性定价的随机方程为：

其中服从标准正态分布。上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。

    蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值的样本值，即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后，就可以得到期权收益的分布，通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。

    图1中欧式期权的有效期是六个月，其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。表中有36个期权收益的模拟试验，用它们可以估计出期权收益期望值的折现。

Using Monte Carlo Simulation to Value BS Call Option：

利用蒙特卡罗模拟来为布莱克-舒尔斯看涨期权定价

图1 期权信息及5个（从36个模拟数据得到）期权收益模拟结果

每个模拟试验产生一个终值股价（的一个样本值）和一个期权收益值。在B列中用Excel的RAND函数来产生服从均匀分布的随机数，然后在C列用标准正态分布函数NORMSINV将其转换成随机样本。RAND函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。将其作为累积概率值（值在0到1之间），用NORMSINV即可得到服从标准正态分布的随机变量值，其结果大部分处在-3与3之间。例如，第一次模拟试验C22中的公式为：

=NORMSINV(B22)

其输入值为0.1032(大约10％)，产生的标准正态变量的值则为-1.2634。

    得到随机样本值（），就可以用下面公式计算期权到期日的股票价格：

为了将其转换为单元格公式的形式，有必要先计算出T时刻的风险中性漂移项和波动率，也就是和（分别处于B16和B17中）。因此，E22中的公式为：

=$B$4*EXP($B$16+C22*$B$17)

相应的期权收益为（H22）：

=MAX($E$4*(E22-$B$5),0)

E4中存放的是参数iopt，它用来区分看涨期权和看跌期权。

计算模拟出的36个期权收益的平均值，然后折现即可得到看涨期权价值的估计量（E9）。用于折现的风险中性因子（exp(-rT)）放在B18中。

    图1显示，期权价格的蒙特卡罗估计值（12.85）与布莱克-舒尔斯期权价格有较大的差异。E10中，期权价值估计值的标准差（模拟期权收益的标准差除以模拟次数的平方根）相对较大（这就是蒙特卡罗估计值与布莱克-舒尔斯期权价格有较大差异的原因）。为了提高蒙特卡罗估计的准确度，有必要增加模拟试验的次数。

    在Excel中按下F9，就可以产生另外36个模拟值，并得到一个不同的蒙特卡罗期权价格以及相应的估值标准差。对于看跌期权，单元格公式同样适用。将参数iopt（E4中）改为-1，就可以计算看跌期权的蒙特卡罗估计值，可将它与布莱克-舒尔斯期权价格作比较。