全等三角形的证明初级训练

一．解答题（共30小题）

1．如图：AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON．

求证：PM=PN．

2．如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数．

3．如图，已知△ABC≌△DEF，AB=6cm，AD=10cm，CF=5cm，求线段DE与AC的长．

4．如图，△ABC≌△EBD．

求证：∠1=∠2．

5．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：△ABC≌△CDA．

6．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．

7．如图，AB=AC，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD，

（1）你添加的条件是　   　；

（2）根据上述添加的条件证明△ABE≌△ACD．

8．如图，AB=AD，CB=CD，求证：△ABC≌△ADC．

9．将下面证明中每一步的理由写在横线上：

已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：∠A=∠D．

证明：∵AB∥DE　   　

∴∠B=∠DEF　   　

∵BE=CF　   　

∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF

在△ABC和△DEC中，AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF

∴△ABC≌△DEF　   　

∴　   　　   　．

10．如图，已知BC=DE、BC∥DE，点A、D、B、F在一条直线上，且AD=FB．求证：AC∥EF．

11．已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F．求证：BE=CF．

12．如图，A、D、B、E在同一直线上，AC=EF，AD=BE，BC=DF，求证：∠C=∠F．

13．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由．

解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （　   　）

所以∠AED=90°，∠AFD=90°（　   　）

所以∠AED=∠AFD （　   　）

因为AD是△ABC的角平分线 （　   　）

所以∠DAE=∠DAF （　   　）

在△ADE与△ADF中

∠AED=∠AFD、∠DAE=∠DAF（　   　）

所以△ADE≌△ADF （　   　）．

14．在△ABC中，D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，F在AD的延长线上．说明CE=BF的理由．

15．如图，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，AD=BC，AE=CF

（1）图有几对全等三角形？请分别写出来；

（2）选择其中一对全等的三角形加以证明．

16．已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD．

17．已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D．求证：△ADC≌△CBA．

18．已知：在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，证明：DH=DC．

19．如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB．求证：CD=AD+BC．

20．如图，在一个四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．E、F分别是AB、AD的中点，连接CE、CF，证明：CE=CF．

21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，求证：AE=EF+BF．

22．如图，已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3，AB=AD．求证：DC=BE．

23．如图，AB=DC，AC=DB，AC与BD交于点O，求证：

（1）△ABC≌△DCB；

（2）OA=OD；

（3）∠ABD=∠DCA．

24．在△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD与高BE的交点．

（1）求证：△ADC≌△BDF．

（2）连接CF，若CD=4，求CF的长．

25．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，E是BC延长线上的一点，D为AC边上一点，AE=BD，且BC=AC，求证：CE=CD．

26．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

27．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．

28．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

（1）求证：△AOD≌△BOC；

（2）求证：AD∥BC．

29．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．

（1）求证：AC∥DE；

（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

30．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．

全等三角形的证明初级训练

参与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016春•府谷县期末）如图：AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON．

求证：PM=PN．

【分析】首先证明△BOM≌△AON可得BO=AO，∠A=∠B，进而得到BN=AM，再证明△BNP≌△AMP可得PM=PN．

【解答】证明：∵AN⊥OB，BM⊥OA，

∴∠ONA=∠OMB=90°，

在△OBM和△OAN中，

，

∴△BOM≌△AON（ASA），

∴BO=AO，∠A=∠B，

∴BO﹣ON=AO﹣OM，

即BN=AM，

在△BNP和△AMP中，

，

∴△BNP≌△AMP（AAS），

∴PM=PN．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等是证明角相等和线段相等的重要手段．

2．（2016秋•滨州月考）如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数．

【分析】根据△ABC≌△ADE、∠D=25°，即可得出∠B=∠D=25°、∠EAD=∠CAB，再根据∠EAB=120°、∠CAD=10°通过角的计算可得出∠FAB=65°，由外角的性质即可得出∠DFB的度数，此题得解．

【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D=25°，

∴∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB．

∵∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°，∠CAD=10°，

∴∠CAB=（120°﹣10°）÷2=55°，

∴∠FAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°=65°．

又∵∠DFB是△ABF的外角，

∴∠DFB=∠B+∠FAB，

∴∠DFB=25°+65°=90°．

【点评】本题考查了全等三角形的性质以及外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

3．如图，已知△ABC≌△DEF，AB=6cm，AD=10cm，CF=5cm，求线段DE与AC的长．

【分析】由全等三角形的性质可知DE=AB=6cm，AC=DF，在AD中，AC和DF重合FC，可知AF=DC，借助AD=10cm，CF=5cm，可求出CD的长度，再利用AD﹣CD即可求出结论．

【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且AB=6cm，

∴DE=AB=6cm，AC=DF，

∵AC=AF+FC，DF=DC+CF，

∴AF=DC，

又∵AD=AF+FC+CD=FC+2CD，且AD=10cm，CF=5cm，

∴CD==2.5cm，

∴AC=AD﹣CD=10﹣2.5=7.5cm．

答：线段DE的长为6cm，线段AC的长为7.5cm．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是：牢记全等三角形对应边相等，再借助题中给定的边与边的关系即可求出结论．

4．（2012秋•长海县期中）如图，△ABC≌△EBD．

求证：∠1=∠2．

【分析】首先由“已知全等三角形的对应角相等”推知∠A=∠E；然后根据对顶角相等证得∠AOD=∠BOE；最后利用三角形内角和定理证得结论．

【解答】解：∵△ABC≌△EBD．

∴∠A=∠E．

又∵∠AOD=∠BOE，

∴∠A+∠AOD+∠1=∠E+∠BOE+∠2=180°，

∴∠1=∠2．

【点评】本题考查了全等三角形的性质．

性质1：全等三角形的对应边相等；

性质2：全等三角形的对应角相等．

5．（2015秋•铜山县校级月考）已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：△ABC≌△CDA．

【分析】根据“SSS”可判断△ABC≌△CDA．

【解答】证明：在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（SSS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．

6．（2014•丰台区一模）已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．

【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．

【解答】证明：∵AB∥DF，

∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，

∵∠E=∠CPD．

∴∠E=∠B，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7．（2013秋•江干区期末）如图，AB=AC，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD，

（1）你添加的条件是　AD=AE或∠B=∠C（答案不唯一）　；

（2）根据上述添加的条件证明△ABE≌△ACD．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得出结论；

（2）若添加∠B=∠C，根据ASA定理即可得出结论．

【解答】解：（1）添加的条件是∠B=∠C或AE=AD．

故答案为：AD=AE或∠B=∠C（答案不唯一）；

（2）若添加∠B=∠C，

在△ABE和△ACD中

∵，

∴△ACD≌△ABE（ASA）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

8．（2014秋•长春期中）如图，AB=AD，CB=CD，求证：△ABC≌△ADC．

【分析】已知隐含条件AC=AC，根据SSS推出两三角形全等即可．

【解答】证明：∵在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

9．（2013秋•南海区校级月考）将下面证明中每一步的理由写在横线上：

已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：∠A=∠D．

证明：∵AB∥DE　（已知）　

∴∠B=∠DEF　（两直线平行，同位角相等）　

∵BE=CF　（已知）　

∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF

在△ABC和△DEC中，AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF

∴△ABC≌△DEF　（SAS）　

∴　∠A　　=∠D　．

【分析】根据全等三角形的判定方法以及性质填空即可．

【解答】证明：∵AB∥DE （已知）

∴∠B=∠DEF （两直线平行，同位角相等）

∵BE=CF （已知）

∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF

在△ABC和△DEC中，AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF

∴△ABC≌△DEF （SAS）

∴∠A=∠D．

故答案为：（已知），（两直线平行，同位角相等），（已知），（SAS），∠A=∠D．

【点评】本题考查三角形全等的性质和判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

10．（2013秋•海安县期中）如图，已知BC=DE、BC∥DE，点A、D、B、F在一条直线上，且AD=FB．求证：AC∥EF．

【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△FDE；然后由全等三角形的对应角相等以及利用平行线的判定得出即可．

【解答】证明：∵BC∥DE（已知），

∴∠CBA=∠FDE（两直线平行，内错角相等）；

又∵AD=BF，

∴AD+DB=BF+DB，即AB=DF；

则在△ABC和△FDE中，

，

∴△ABC≌△FDE（SAS），

∴∠A=∠F，

∴AC∥EF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

11．（2013秋•东台市校级期中）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F．求证：BE=CF．

【分析】首先根据平行线的性质可得∠A=∠D，∠BEO=∠CFO，进而得到∠AEB=∠DFC，然后根据AAS定理判定△ABE≌△DCF，再根据全等三角形的性质可得EB=CF．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠A=∠D，

∵BE∥CF，

∴∠BEO=∠CFO，

∴∠AEB=∠DFC，

在△EBA和△FCD中，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．

∴EB=CF．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

12．（2013秋•慈溪市校级期中）如图，A、D、B、E在同一直线上，AC=EF，AD=BE，BC=DF，求证：∠C=∠F．

【分析】若要证明：∠C=∠F，问题可转化为证明△ABC≌△DEF，再由全等三角形的性质即可得到∠C=∠F．

【解答】证明：∵AD=BE

∴AD+DB=BE+DB，即：AB=DE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠C=∠F．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

13．（2012春•金山区校级期末）已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由．

解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （　已知　）

所以∠AED=90°，∠AFD=90°（　垂直定义　）

所以∠AED=∠AFD （　等量代换　）

因为AD是△ABC的角平分线 （　已知　）

所以∠DAE=∠DAF （　角平分线定义　）

在△ADE与△ADF中

∠AED=∠AFD、∠DAE=∠DAF（　已证　）

所以△ADE≌△ADF （　AAS　）．

【分析】求出∠AED=∠AFD，∠DAE=∠DAF，根据AAS推出两三角形全等即可．

【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），

∴∠AED=90°，∠AFD=90°（垂直定义），

∴∠AED=∠AFD（等量代换），

∵AD是△ABC的角平分线（已知），

∴∠DAE=∠DAF（角平分线定义），

在△ADE和△ADF中

∠AED=∠AFD，∠DAE=∠DAF（已证），AD=AD，

∴△ADE≌△ADF（AAS），

故答案为：已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线定义，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

14．（2012春•金山区校级期末）在△ABC中，D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，F在AD的延长线上．说明CE=BF的理由．

【分析】通过全等三角形的判定定理AAS证得△CDE≌△BDF，则全等三角形的对应边相等：CE=BF．

【解答】证明：如图，∵在△ABC中，D是BC的中点，

∴CD=BD．

又∵CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，

∴∠CED=∠BFD=90°，

∴在△CDE与△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（AAS），

∴CE=BF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．注意充分利用图中的隐含条件：对顶角相等．

15．（2010秋•江岸区期中）如图，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，AD=BC，AE=CF

（1）图有几对全等三角形？请分别写出来；

（2）选择其中一对全等的三角形加以证明．

【分析】（1）根据已知可以直接得出全等的三角形；

（2）根据HL定理得出Rt△CBE≌Rt△ADF即可．

【解答】（1）解：图有3对全等三角形，

分别是：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA，△CBE≌△ADF，

（2）证明：∵DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴在Rt△CBE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△CBE≌Rt△ADF（HL）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及HL定理的判定应用，根据已知得出Rt△CBE≌Rt△ADF是解题关键．

16．（1997•福州）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD．

【分析】求出∠B=∠D，根据AAS证△ABC≌△ADC，即可推出结论．

【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°，

∵在△ABC和△ADC中

∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴AB=AD．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

17．已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D．求证：△ADC≌△CBA．

【分析】在△ADC与△CBA中，AC边公共，根据平行线的性质可得∠ACB=∠DAC，再根据AAS即可证明△ADC≌△CBA．

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

在△ADC与△CBA中，

，

∴△ADC≌△CBA（AAS）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

18．已知：在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，证明：DH=DC．

【分析】根据垂直的定义，可得∠BEC与∠ADC的大小，根据对顶角的性质，可得∠BHD与∠AHE的关系，根据等角的余角相等，可得∠DBH与∠DAC的关系，根据AAS，可得两三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论．

【解答】证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，

∴∠BDH=∠ADC=90°．

∠DBH+∠DHB=90°，∠DAC+∠AHE=90°，

∵∠BHD=∠AHE（对顶角相等），

∴∠DBH=DAC（等角的余角相等），

在△BHD和△ACD中，

，

∴△BHD≌△ACD（AAS）

∴DH=DC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了垂直的定义，全等三角形的判定与性质．

19．如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB．求证：CD=AD+BC．

【分析】延长DE交CB的延长线于M，根据平行线的性质和已知求出∠CDE=∠M，推出CD=CM，根据等腰三角形性质求出DE=EM，证△ADE∽△BME，得出=，推出AD=BM即可．

【解答】证明：延长DE交CB的延长线于M，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠M，

∵∠ADE=∠CDE，

∴∠CDE=∠M，

∴CD=CM，

∵∠DCE=∠ECB，

∴DE=EM，

∵AD∥CB，

∴△ADE∽△BME，

∴=，

∴AD=BM，

即CD=CM=AD+BC．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．

20．如图，在一个四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．E、F分别是AB、AD的中点，连接CE、CF，证明：CE=CF．

【分析】如图，连接AC．根据已知条件判定四边形ABCD的筝形，则AC平分∠BAD，通过证△AEC≌△AFC（SAS）证得结论．

【解答】证明：如图，连接AC．

∵在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，

∴∠BAC=∠DAC．

又∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴AE=AB，AF=AD，

∴AE=AF．

在△AEC与△AFC中，

，

∴△AEC≌△AFC（SAS），

∴CE=CF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，求证：AE=EF+BF．

【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠CAE=∠BCF，又因为AC=BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，根据AAS证明△ACE≌△CBF，根据全等三角形的性质与等量关系即可得出结论．

【解答】证明：∵AE⊥CD，

∴∠AEC=90°，

∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AEC=∠BFC=90°，

在△ACE与△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴AE=CF，CE=BF，

∴AE=EF+BF．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，难度适中．

22．如图，已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3，AB=AD．求证：DC=BE．

【分析】若要证明DC=BE，可证明以上两条线段所在的三角形全等即可．

【解答】证明：∵∠ADB=∠1+∠C，∠ADB=∠3+∠E，

又∵∠1=∠3，

∴∠C=∠E，

在△ABE和△ADC中，

，

∴△ABE≌△ADC（AAS），

∴DC=BE．

【点评】本题主要考查全等三角形的性质，三角形全等的判定 等考点的理解，属于基础性题目．

23．如图，AB=DC，AC=DB，AC与BD交于点O，求证：

（1）△ABC≌△DCB；

（2）OA=OD；

（3）∠ABD=∠DCA．

【分析】（1）根据SSS，可得证明结论；

（2）根据全等三角形的性质，可得对应边相等，对应角相等，根据AAS，可得△OAB与△ODC的关系，根据全等三角形的性质，可得证明的结论；

（3）根据△ABO≌△DCO，△证明结论．

【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（SSS）；

（2）∵△ABC≌△DCB，

∴∠A=∠D，AB=DC．

∵∠AOB与∠DOC是对顶角，

∴∠AOB=∠DOC．

在△ABO和△DCO中，

，

∴△AOB≌△DOC（AAS）

AO=DO；

（3）∵△AOB≌△DOC，

∴∠ABD=∠DCA．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了SSS、AAS证明三角形全等，利用了全等三角形的对应边相等、对应角相等．

24．在△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD与高BE的交点．

（1）求证：△ADC≌△BDF．

（2）连接CF，若CD=4，求CF的长．

【分析】（1）先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC；

（2）利用全等三角形对应边相等得出DF=CD=4，根据勾股定理求出CF即可．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，

∴∠FDB=∠ADC=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°=∠ABD，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF=∠FDB=90°，

∵∠AFE=∠BFD，

∴由三角形内角和定理得：∠CAD=∠FBD，

在△ADC和△BDE中

∴△ADC≌△BDE（ASA）；

（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD=4，

∴DF=CD=4，

在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF===4．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理得应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．

25．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，E是BC延长线上的一点，D为AC边上一点，AE=BD，且BC=AC，求证：CE=CD．

【分析】根据∠ACB=90°就可以得出∠ACE=90°，就可以得出△ACE与△BCD是直角三角形，由HL就可以得出△ACE≌△BCD，进而得出结论．

【解答】证明：∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BE，

∴∠ACE=90°，

∴△ACE与△BC都是直角三角形．

在Rt△ACE与Rt△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（HL），

∴CE=CD．

【点评】本题考查了直角三角形的判定的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

26．（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．

【解答】证明：∵∠1=∠2，

∴∠CAB=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，，

∴△BAC≌△DAE（SAS），

∴BC=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

27．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．

【分析】根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．

【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△AEC中，

，

∴△ABD≌△AEC（SAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．

28．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

（1）求证：△AOD≌△BOC；

（2）求证：AD∥BC．

【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；

（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．

【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，

∴AO=BO，CO=DO．

在△AOD和△BOC中，有，

∴△AOD≌△BOC（SAS）．

（2）∵△AOD≌△BOC，

∴∠A=∠B，

∴AD∥BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．

29．（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．

（1）求证：AC∥DE；

（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；

（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．

【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE（SAS），

∴∠ACE=∠DEF，

∴AC∥DE；

（2）解：∵△ABC≌△DFE，

∴BC=EF，

∴CB﹣EC=EF﹣EC，

∴EB=CF，

∵BF=13，EC=5，

∴EB==4，

∴CB=4+5=9．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

30．（2015•重庆）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．

【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF．

【解答】证明：∵AB∥EF，

∴∠A=∠E，

在△ABC和△EFD中

∴△ABC≌△EFD（SAS）

∴BC=FD．

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．