高一数学 向量及其线性运算

学生姓名：         授课教师：            授课时间：               

1.向量

（1）概念：既有大小、又有方向的量叫向量

（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素：起点、方向、长度；

（3）记法：记为或者；

（4）模：向量的长度叫做向量的模，记作|a|或||

2. 两类特殊向量

（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的。

（2）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量

3. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。

4.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③ 平行向量无传递性！（因为有)；

④三点共线共线；

5.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。零向量的相反向量时零向量。

6.向量的线性运算

（1）向量的加法：

① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

特殊情况：

对于零向量与任一向量，有+=+=

② 法则：三角形法则；平行四边形法则

③ 运算律：， 

(2)向量的减法：

① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

7. 三角形三边关系的向量表达方式

8.实数与向量的积

（1）定义： ①时，与同向；时，与反向；时， 

（2）运算律：①；         ②；

③； ④

（3）有且只有一个实数，使

第二部分   例题解析

考点1  向量的概念与表示

例1、一辆汽车从点出发向西行驶了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，又改变方向，向东行驶了到达点。

① 作出向量，，；

求；

考点2  相等向量与共线向量

例2、如图是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形。在图中所示的向量中：

（1）分别写出与，相等的向量；

（2）写出与共线的向量；

（3）写出与的模相等的向量；

（4）向量与是否相等？

变式练习 1. 给出命题：向量和是共线向量，则、、、四点必在同一直线上； 若，则； 若，则;  共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； 若，，则。其中正确命题的序号是_______________

小结：判断一组向量是否相等，关键是看向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点位置无关。

考点3  向量的加法运算

例3、求作向量

 变式练习 2.若向量满足=8， =12，则的最小值是_________

         3.化简向量表达式：.

考点3 向量的减法运算

例4、如图，求作向量

变式练习 4.已知，求的取值范围。

         5.化简：

考点4 向量的数乘运算

例5、已知是两个非零向量，判断下列说法是否正确：

     的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍；

     的方向与的方向相反，且的模式的模的3倍

   与是一对相反向量；  若不共线，则与不共线

例6、化简下列各式：

考点5  共线定理的应用

例7、设是两个不共线的非零向量，如果，

，求证：、、三点共线。

变式练习 6.已知平面内共线三点、B、C，点O为不同于、、的任意一点，求证存在实数，使得，且。

考点6  如何进行向量的线性运算

例8、如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：

(1)用、表示；  （2）用、表示. 

变式练习  7.在中，交于，边上的中线交与，设，，用表示向量 

第三部分  巩固练习

一、选择题

 1. 下列物理量中， 不能称为向量的是                                     （     ）

A．距离   B．加速度   C．力    D．位移

 2. 下列四个命题正确的是                                                （     ）

A．两个单位向量一定相等    B．若与不共线，则与都是非零向量

C．共线的单位向量必相等    D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

 3. 下列说法错误的是                                                    （     ）

A．向量的长度与向量的长度相等  B．零向量与任意非零向量平行

C．长度相等方向相反的向量共线          D．方向相反的向量可能相等

 4. 对于以下命题：（1）平行向量一定相等；  （2）不相等的向量一定不平行；

（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。其中真命题的个数是      （     ）

A．0个      B．1个   C．2个        D．3个

 5. 在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则                          （     ）

A.与共线  B.与共线  C.与相等 D.与相等

 6. 命题“若∥，∥，则∥”                                  （      ）

  A.总成立      B.当≠时成立    C.当≠时成立     D.当≠时成立

 7. 下列四式不能化简为的是                              （      ）

   A.（+）+                 B.（+）+（+）

   C. +                   D. +

 8. M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是                     （      ）

  A. + +  B.3+  C. ++  D. + +

2、填空题

1.是的___      __条件。

2. 已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出____个互不相等的非零向量。

3. 已知平面上不共线的四点满足，则以下四个命题：

（1）ABCD是平行四边形；（2）ACBD是平行四边形；（3）ADBC是平行四边形；

（4）ACDB是平行四边形。则所有正确命题的序号是___     ___。

4. 已知=， =，且||=||=4，∠AOB=600，则|+|=      ，||=      ；

  +与的夹角是       ； 与的夹角是       ；△AOB的面积是       。

5. 不共线向量，满足              时，使得+平分，间的夹角。

6. 已知向量||=2,| |=8,则|+|的最大值是        ，||的最小值是          。

三、解答题

1、在直角坐标系xOy中，用有向线段表示下列向量：

（1），，；

（2），，；

2. 化简（1）；（2）（－）－（－）。

3. 如图在正六边形ABCDEF中，已知： =,  =,试用、表示向量, ,， 

4. 在正五边形ABCDE中，若，求作向量