植树问题案例

 教学内容：

义务教育课程标准实验教科书/小学数学/四年级下册/数学广角/植树问题

教学目标：

1．经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，掌握种树棵数与间隔数之间的关系。

2．让学生在自主探究的过程中，将复杂的问题简单化，发现规律，解决问题。会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

3．感悟构建数学模型是解决实际问题的重要方法之一。

教学重点：

理解种树棵树与间隔数之间的关系，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。

教学难点：

应用植树问题的模型灵活解决一些相关的实际问题。

教学准备：

课件、小棒

教学过程：

一．导入新课。（5分钟）

师：每个人都有一双巧巧手，现在请你伸出一只手，你能用数学的眼光去观察你的这只手吗？

谁来说说看，你观察到了什么？（5根手指）

师：老师从我们的一只手上还观察到了4呢！你知道老师观察的这个“4”指的是什么吗？

师：对了，指的是手指间的空格，在数学上我们把这样的空格叫做间隔。我们手上每两个手指之间有一个间隔，大家仔细观察老师的手，5个手指，有几个间隔，4个手指的时候有几个间隔呢？3个手指，2个手指呢？

师：你们发现手指数与间隔数的关系了吗？谁能说一说？

手指数总比间隔数多1.

师：其实这个手指数与间隔数的关系同属于我们数学上非常有名的“植树问题”，今天这节课我们就来探讨植树问题。

板书课题：植树问题。

【这儿让学生从熟悉的手开始探究手指数与间隔数的关系，创设情境引入新课，为研究后面的植树问题做好铺垫，让学生感受到数学知识来源于生活。激发学生的学习兴趣，调动学生学习的主动性。】

二、探究规律，解决问题。（20分钟）

1、课件出示：

学校要在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽）。一共需要多少棵树苗？

指名读题。

指名交流，从题目中得到的信息。

学情预设：

学生读题后，可能会说，小路的长是100米，只在小路的一边栽，每隔5米栽一棵，而且两端都栽。

师板书：每5米栽一棵（间隔）、两端都栽、100米长、一边。

师： 5米指的是什么？（距离、间隔）

强调：树与树之间间隔的距离要一样长，都是5米。

师：你能说说两端都栽是什么意思吗？给比划比划。

师：一共需要多少棵树苗，你能帮忙算出来吗？开始算吧！

学生计算。

指名将自己的答案写在黑板上。

学情预设：

估计学生在这里会出现不同的答案，可能有的学生不假思索的得出需要20棵树苗的结论，也可能有的学生想到有20个间隔；开头一棵没算，所以再加上1棵，得出21棵的结论；也有可能会有学生想到20个间隔就是20棵，在加上两端的2棵，一共需要22棵。当然也有可能还有学生感到无从下手。

【教学中把学生置于主体地位，根据学生认知新事物大都由猜而起、由想而入的规律，让学生先思考，尝试解答，然后在让学生探究验证，这样学生在讨论时就有话可说，交流的效率就会大大提高。】

师：那究竟是20棵、21棵，还是22棵呢？

现在请同学们分小组来探讨这个问题。可以画一画、摆一摆、也可以模拟种一种。

学生探究。▲

汇报交流。

对于21棵这个结果大家同意吗？那你们组是怎样探究出来的呢？

学情预设：

估计学生在这里会用不同的方式得出一共需要21棵小树苗这个结论，有的可能画线段，数出来，得出21棵的结论；有的学生可能在画或者摆的过程中，慢慢的发现规律，需要的棵树总是比间隔数多1，从而推论得出：100÷5=20(个)，用20个间隔加上1，得出需要21棵树苗；还可能有的学生根据前面在手上发现的规律直接运用，得出结果。

【学生思维层次不同，看问题的角度也不同，所以选择的探究方法也不尽相同。但是每个学生都根据自己的认识程度参与了知识的探究过程，所以不同层次的学生都有自己的收获。】

汇报交流。

生1：画线段。

师：谁来评价一下？你还有其他更简单的方法吗？

生：摆小棒。

指名演示。

那么20个间隔就栽20棵树，为什么还要加上1棵呢？

生：因为开头的一棵没算。

师：看来加上1棵太重要了，不加上1棵就不符合两端都栽这个要求了。

所以在求两端都栽时需要的树苗棵数，要用间隔数加上1

板书：棵数

师：这位同学你真棒！把这么复杂的问题简单化了，这种数学思想太可贵了！有其他小组也是这样探讨的吗？

请把掌声送给爱动脑筋的同学们。

我们再一起来看看这个规律的发现过程。

课件演示。

生1：画线段。

指名交流。

师：谁来评价一下？

是啊，他的方法很清楚的证实了需要21棵树苗这个答案是正确的。

师：你还有其他更简单的方法吗？

生2：我先只在10米的小路上栽，再到15米的小路上栽，然后在到20米的小路上栽….我发现……

生3：摆小棒。

指名演示。

先摆一根，再摆一根，现在是2根小棒，1个间隔，再摆一根，3根2个间隔…..那么100米除以5就有20个间隔，再加上开始的1棵，就是21棵树。

师：你是说你只模拟栽了6棵树就发现了一个很重要的规律，是什么规律？（树的棵数总比间隔数多1）

所以说100除以5等于20，是20个间隔，再加上1就求出了需要的树苗棵数。

生4：我是根据手指数与间隔数之间的关系直接算出来的。

同学们，在这几种方法中，你最喜欢哪种方法？

其实后面的这几种方法都有一个共同的特点，都是从简单的问题入手，找到规律，从而解决了难题！这种数学思想和探究方法太难能可贵了。哪个组也是这样从简单的问题入手进行探究的？

请把掌声送给爱动脑筋的同学们。

我们再一起来看看这个规律的发现过程。

课件演示。

师：在两端都栽的情况下，棵数与间隔数有什么关系？谁再来说说看！

学情预设：

通过再现植树问题中规律的发现过程，估计学生通过栽2棵树有1个间隔，栽3棵树有2个间隔………很容易发现“棵数都比间隔数多一个”的规律。

板书：棵数都比间隔数多一个。（间隔数都比棵数少1）

师：你能把我们发现的规律用一个等式的形式表示出来吗？

板书：两端都栽：间隔数=棵数-1，棵数=间隔数+1.

师：在两端都栽的情况下，知道了间隔数，怎样求树的棵数？为什么要加1啊？ 

生：因为两端都要栽，所以还要加上开头的一棵。

看来加1太重要了，你明白吗？

知道了棵数，怎样求间隔数呢？

师：数学家总结出来的规律，我们也能发现。多棒啊。刚才，摆出这两种算式的同学是不是很想上来改改啊？

【通过规律发现过程的再现，让不同层次的学生都能明确遇到复杂的问题时，可以从简单的问题入手进行探究发现规律，并运用规律来将复杂的问题解决掉，渗透了由简单到复杂的数学思想和探究方法。】

看到你们由不明白都明白，由不会到会，老师感到由衷的欣慰。

三、练一练。（5分钟）

1、如果还是这条小路，要每隔4米栽一棵，还是两端都栽，需要多少棵树苗？口答。（26棵）

怎样列式计算？（100÷4+1）

2、假如这条小路延长到1000米，还是每隔5米栽一棵，两端都栽，需要多少棵树苗？

生：1000÷5+1=201（棵）

师：同意吗？非常正确！

3、如果栽了5棵树，每隔5米栽一棵，从第一棵到最后一棵，全长多少米呢？

生1：5×5=25米

生2：5×4=20米

师：4怎么来的？

生：5-1

师：4求的是什么？（间隔数）

四、拓展练习。（7分钟）

师：看，我们刚探讨出来的规律，就用的这么好。真佩服大家，运用植树问题的规律，不仅能够解决植树的问题，还能解决生活中的实际问题。你比如说：安装路灯

1、在全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一盏，一共要安装多少盏路灯？

2、园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？

3、车站的大钟5时敲响5下，敲响第一下到第五下用了8秒，12时敲响12下，需要多长时间？

【紧紧围绕本节课的教学目标，设计一些基础练习和提高练习，通过解决实际问题，使学生进一步巩固和深化知识，对植树问题的规律由感性上升到理性，同时提高学生灵活运用知识解决实际问题的能力。】

五、课堂总结。（3分钟）

师：这节课上，同学们个个表现的都很棒！积极思考，踊跃回答问题，学习热情不但高涨，和你们一起学习，很开心，你们开心吗？那你们有什么收获呢？说说看。

生：我知道了怎样求植树问题。

生：解决了不会的问题。

师：看样子，大家的收获还真不少。但是植树的问题还有很多，比如说：在路上栽树，一头栽，一头不栽，两头都不栽等等，我们在下节课上再探讨吧！