2020-2021学年云南省曲靖市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（共8小题）.

1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．＝±2    B．3＝3    C．    D．

3．某校九年级（1）班全体学生2021年初中学业水平体育考试成绩统计如表：

A．该班一共有50名学生    

B．该班学生这次考试成绩的众数是45分    

C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分    

D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分

4．已知一次函数y＝（k﹣2）x+b的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（　　）

A．k≥2    B．k≤2    C．k＞2    D．k＜2

5．如图，在▱ABCD中，连接AC，若∠ABC＝∠CAD＝60°，AB＝3，则AD的长是（　　）

A．3    B．6    C．9    D．18

6．已知点A（﹣2，y1）和点B（4，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2    B．y1＜y2    C．y1＝y2    D．不能确定

7．按一定规律排列的单项式a，﹣2a2，3a3，﹣8a4，…，第n（n为正整数）个单项式是（　　）

A．（﹣1）nnan    B．（﹣1）n+1nan    

C．（﹣1）n（n+1）an    D．（﹣1）n+1（n+1）an

8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（　　）

A．    B．5﹣    C．    D．5﹣2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

9．在函数，自变量x的取值范围是　    　．

10．甲、乙两名射击手的40次测试的平均成绩都是8环，方差分别是S甲2＝0.2，S乙2＝1.0，则成绩比较稳定的是 　 　（填“甲”或“乙”）．

11．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的值为 　            　．

12．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为 　               　．

13．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点的坐标为 　       　．

14．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC边上，连接AD，若AD＝，则线段BD的长为 　    　．

三、解答题（本大题共9个小题，共70分）

15．计算：（﹣1）（+1）+（﹣1）2+﹣（3﹣π）0．

16．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD上两点，AE＝CF，连接DE、BF．

求证：四边形DEBF为平行四边形．

17．2021年4月29日，在我国海南文昌航天发射场，长征五号B遥二运载火箭搭载“天和”核心舱发射升空，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，∠ADB＝30°；当火箭到达C点时，测得∠ADC＝45°，求火箭从B点上升到C点的高度BC．（结果保留根号）

18．阅读材料：像（+2）（﹣2）＝1，×＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．

例如：＝＝；＝＝3+2．

解答下列问题：

（1）的有理化因式是 　           　，+2的有理化因式是 　           　．

（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝　           　．

，，…

（3）利用上面的方法，请化简：…+．

19．某中学为了丰富学生课余生活，现欲开展学校社团活动，准备组建国学、篮球、摄影、编程四个社团，全校学生共有1800名，每位学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计参加各个社团的人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完整的统计图．

根据图中的信息，完成下列问题：

（1）本次调查的学生数为 　    　人，并补全条形统计图；

（2）求m的值和“摄影”所在扇形圆心角的度数；

（3）请你估计全校有多少名学生参加编程社团活动．

20．近几年，曲靖市的特色水果种植发展势头良好．尤其是车厘子与蓝莓深受广大市民喜爱．某水果商看到商机，以车厘子每千克45元，蓝莓每千克20元的价格，购进两种水果共计120千克，并以车厘子每千克52元，蓝莓每千克30元全部售出（不计损耗），设购进车厘子x千克，售出两种水果的利润为y元．

（1）求y与x之间的关系式；

（2）若蓝莓的进货量不超过车厘子进货量的3倍，如何进货才能使水果商获得的利润最大，最大利润是多少？

21．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，过点A作AE⊥BC，交CB延长线于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F．

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．

22．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，3）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣1，m）．

（1）求一次函数的解析式；

（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；

（3）点D是一次函数图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标．

23．如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．

（1）求证：AE＝BG；

（2）如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；

（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′＝1，正方形的边长为3，求线段OF的长．

参

一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）

1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】利用最简二次根式定义判断即可．

解：A、是最简二次根式，符合题意；

B、＝2，不满足题意；

C、＝2，不满足题意；

D、＝，不满足题意．

故选：A．

2．下列计算正确的是（　　）

A．＝±2    B．3＝3    C．    D．

【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．

解：A．原式＝2，所以A选项不符合题意；

B．原式＝2，所以B选项不符合题意；

C．原式＝＝，所以C选项符合题意；

D．与不能合并，所以D选项不符合题意．

故选：C．

3．某校九年级（1）班全体学生2021年初中学业水平体育考试成绩统计如表：

A．该班一共有50名学生    

B．该班学生这次考试成绩的众数是45分    

C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分    

D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分

【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．

解：A、该班一共有3+6+7+7+10+8+9＝50（名）学生，正确，故不符合题意；

B、该班学生这次考试成绩的众数是45分，正确，故不符合题意；

C、该班学生这次考试成绩的中位数是＝45（分），正确，故不符合题意；

D、该班学生这次考试成绩的平均数是×（35×3+39×6+42×67+44×7+45×10+48×8+50×9）＝44.5（分），错误，符合题意；

故选：D．

4．已知一次函数y＝（k﹣2）x+b的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（　　）

A．k≥2    B．k≤2    C．k＞2    D．k＜2

【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．

解：由一次函数y＝（k﹣2）x+b的图象经过第一、三、四象限，知

k﹣2＞0，

解得k＞2．

故选：C．

5．如图，在▱ABCD中，连接AC，若∠ABC＝∠CAD＝60°，AB＝3，则AD的长是（　　）

A．3    B．6    C．9    D．18

【分析】根据题意得到△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得结论．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，∠ABC＝60°，

∴∠ABC＝∠ADC＝60°，CD＝AB＝3，

∵∠ABC＝∠CAD＝60°，

∴∠ADC＝∠DAC＝60°，

∴△ADC是等边三角形，

∴AD＝CD＝3，

故选：A．

6．已知点A（﹣2，y1）和点B（4，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2    B．y1＜y2    C．y1＝y2    D．不能确定

【分析】由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，二者进行比较后即可得出结论．

解：∵点（﹣2，y1）、（4，y2）在直线y＝﹣x+3上，

∴y1＝﹣×（﹣2）+3＝4，y2＝﹣×4+3＝1，

∵4＞1，

∴y1＞y2．

故选：A．

7．按一定规律排列的单项式a，﹣2a2，3a3，﹣8a4，…，第n（n为正整数）个单项式是（　　）

A．（﹣1）nnan    B．（﹣1）n+1nan    

C．（﹣1）n（n+1）an    D．（﹣1）n+1（n+1）an

【分析】根据每一项的系数、字母指数的变化规律得出答案．

解：a＝（﹣1）2×1×a1，

﹣2a2＝（﹣1）3×2×a2，

3a3＝（﹣1）4×3×a3，

﹣8a4＝（﹣1）5×4×a4，

…，

第n（n为正整数）为（﹣1）n+1nan，

故选：B．

8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（　　）

A．    B．5﹣    C．    D．5﹣2

【分析】用三角函数先求C′E，再求BE，最后求梯形D′EBA面积，最后求阴影部分的面积．

解：设BC与C′D′交点为E，

则BE⊥C′D′，因此C′E＝BC′•cosC′，

∵四边形ABC′D′为菱形，则∠C′＝∠D′AB＝45°，

∴C′E＝BC′•cosC′＝2×＝，

同理BE＝BC′•sinC′＝，

∴D′E＝2﹣，BE＝，

∴梯形D′EBA面积为：

S′＝（D′E+AB）×BE×＝2﹣1，

阴影面积为：S＝SSABCD﹣S′

＝2×2﹣（2﹣1）

＝5﹣2．

故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

9．在函数，自变量x的取值范围是　x≥5　．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．

解：根据题意得：x﹣5≥0，

解得：x≥5．

故答案为x≥5．

10．甲、乙两名射击手的40次测试的平均成绩都是8环，方差分别是S甲2＝0.2，S乙2＝1.0，则成绩比较稳定的是 　甲　（填“甲”或“乙”）．

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．

解：∵S甲2＝0.2，S乙2＝1.0，

∴S甲2＜S乙2，

∴甲的成绩比较稳定，

故答案为：甲．

11．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的值为 　5　．

【分析】利用数值运算程序得到x＝时，输出的值为×+，再利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．

解：当x＝时，

x+＝×+2

＝+2

＝3+2

＝5．

故答案为5．

12．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为 　　．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积解答即可．

解：设菱形的高为h，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，

∴△AOB是直角三角形，

∴AB＝，

∴菱形的面积＝，

即，

∴菱形的高h＝．

故答案为：．

13．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点的坐标为 　（﹣2，0）　．

【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与x轴交点的坐标．

解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为y＝2x+4．

令y＝0，则x＝﹣2，

即平移后的图象与x轴交点的坐标为（﹣2，0）．

故答案是：（﹣2，0）．

14．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC边上，连接AD，若AD＝，则线段BD的长为 　7或9　．

【分析】过点A作AH⊥BC于H，分D点在线段BH或线段CH上，利用勾股定理分别求出BH和DH的长度即可．

解：过点A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，BC＝16，

∴BH＝BC＝8，

在Rt△ABH中，由勾股定理得：

AH＝＝，

当D在线段BH上时，

在Rt△ADH中，由勾股定理得：

DH＝，

∴BD＝BH﹣DH＝8﹣1＝7；

同理可得：当D'在线段CH上时，DH＝D'H，

BD'＝BH+D'H＝8+1＝9，

故答案为：7或9．

三、解答题（本大题共9个小题，共70分）

15．计算：（﹣1）（+1）+（﹣1）2+﹣（3﹣π）0．

【分析】根据平方差公式解答即可．

解：原式＝（）2﹣1+（）2﹣2+1+2﹣1

＝2﹣1+3﹣2+2

＝4．

16．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD上两点，AE＝CF，连接DE、BF．

求证：四边形DEBF为平行四边形．

【分析】要证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE＝DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．

【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∵AE＝CF，

∴BE＝DF，BE∥DF．

∴四边形DEBF是平行四边形．

17．2021年4月29日，在我国海南文昌航天发射场，长征五号B遥二运载火箭搭载“天和”核心舱发射升空，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，∠ADB＝30°；当火箭到达C点时，测得∠ADC＝45°，求火箭从B点上升到C点的高度BC．（结果保留根号）

【分析】在Rt△ABD中，根据直角三角形的性质得到AB＝BD＝×4＝2（km）；根据勾股定理得到AD＝＝2，根据线段的和差即可得到结论．

解：在Rt△ABD中，∠BDA＝30°，

∴AB＝BD＝×4＝2（km）；

∴AD＝＝2，

∵∠CAD＝90°，∠ADC＝45°，

∴∠C＝45°，

∴∠C＝∠ADC，

∴，

∴BC＝AC﹣AB＝（2）（km），

答：火箭从B点上升到C点的高度BC为＝（2）km．

18．阅读材料：像（+2）（﹣2）＝1，×＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．

例如：＝＝；＝＝3+2．

解答下列问题：

（1）的有理化因式是 　　，+2的有理化因式是 　　．

（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝　　．

，，…

（3）利用上面的方法，请化简：…+．

【分析】（1）利用二次根式的性质和平方差公式确定有理化因式；

（2）通过观察等式发现数字的变化规律，从而求解；

（3）利用（2）中所得规律进行分母有理化，然后合并同类二次根式进行化简．

解：（1）∵＝7，（）（）＝5﹣4＝1，

故答案为：，﹣2；

（2）通过观察，可得，

故答案为：；

（3）利用（2）中的规律，可得：

原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣

＝﹣1．

19．某中学为了丰富学生课余生活，现欲开展学校社团活动，准备组建国学、篮球、摄影、编程四个社团，全校学生共有1800名，每位学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计参加各个社团的人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完整的统计图．

根据图中的信息，完成下列问题：

（1）本次调查的学生数为 　100　人，并补全条形统计图；

（2）求m的值和“摄影”所在扇形圆心角的度数；

（3）请你估计全校有多少名学生参加编程社团活动．

【分析】（1）根据报篮球的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生数，然后根据条形统计图中的数据，即可计算出报国学的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出m的值和“摄影”所在扇形圆心角的度数；

（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出全校有多少名学生参加编程社团活动．

解：（1）本次调查的学生有25÷25%＝100（人），

报国学的学生有100﹣10﹣25﹣25﹣20＝20（人），

补全的条形统计图如右图所示，

故答案为：100；

（2）m%＝×100%＝10%，

即m的值是10；

“摄影”所在扇形圆心角的度数是360°×10%＝36°；

（3）1800×＝450（名），

答：估计全校有450名学生参加编程社团活动．

20．近几年，曲靖市的特色水果种植发展势头良好．尤其是车厘子与蓝莓深受广大市民喜爱．某水果商看到商机，以车厘子每千克45元，蓝莓每千克20元的价格，购进两种水果共计120千克，并以车厘子每千克52元，蓝莓每千克30元全部售出（不计损耗），设购进车厘子x千克，售出两种水果的利润为y元．

（1）求y与x之间的关系式；

（2）若蓝莓的进货量不超过车厘子进货量的3倍，如何进货才能使水果商获得的利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据“总利润＝车厘子每千克的利润×车厘子数量+蓝莓每千克的利润×蓝莓数量”可得函数解析式；

（2）根据“蓝莓的进货量不超过车厘子进货量的3倍”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得．

解：（1）根据题意得：

y＝（52﹣45）x+（30﹣20）（120﹣x）＝﹣3x+1200；

（2）根据题意，得：

120﹣x≤3x，

解得x≥30，

在y＝﹣3x+1200中，

∵﹣3＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝30时，y有最大值，y最大＝﹣3×30+1200＝1110，

120﹣30＝90（千克），

答：购进车厘子30千克，蓝莓90千克，能使水果商获得的利润最大，最大利润是1110元．

21．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，过点A作AE⊥BC，交CB延长线于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F．

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，求得∠OEC＝∠OCE，根据矩形的性质得到∠AEC＝90°，根据勾股定理得到BE＝3，进而解答即可．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，

在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，

∴∠OEC＝∠OCE，

由（1）知，四边形AECF为矩形；

∴∠AEC＝90°，

∵AE＝4，

∴BE＝＝3，

∴CE＝3+5＝8，

在Rt△AEC中，AE＝4，CE＝8，

∴AC＝，

∵AO＝CO，

∴OE＝AC＝2．

22．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，3）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣1，m）．

（1）求一次函数的解析式；

（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；

（3）点D是一次函数图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标．

【分析】（1）因一次函数与正比例函数交于点B（﹣1，m），可以将x＝﹣1代入y＝x+3，求出m为2，再将点B（﹣1，2）代入正比例函数y＝kx即可求出．

（2）当x＞﹣1时，直线y1＝kx+b（k≠0）在直线y2＝﹣2x的上方；

（3）利用若S△OCD＝2S△OCB根据三角形面积公式即可求出|yD|＝4，得出D的纵坐标，代入y＝x+3即可求得横坐标．

解：（1）把B（﹣1，m）代入y＝﹣2x中得m＝2，

∴B（﹣1，2），

把A（0，3）、B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，

解得，

∴一次函数的解析式y＝x+3；

（2）观察图象可知，当y1＞y2时，x＞﹣1；

（3）由S△OCD＝OC•yD＝×OC×|yD|，S△OCB＝×OC×2，

∵S△OCD＝2S△OCB，

∴|yD|＝4，

∴yD＝±4，

代入y＝x+3得到D点的坐标为（1，4）或（﹣7，﹣4）．

23．如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．

（1）求证：AE＝BG；

（2）如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；

（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′＝1，正方形的边长为3，求线段OF的长．

【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出∠BAE＝∠GBC，证明△ABE≌△BCG（ASA），由全等三角形的性质得出结论；

（2）由三角形中位线定理可得出MN＝PQ，MQ＝NP，由平行四边形的判定可得出四边形MNPQ为平行四边形，证出MN＝MQ，MN⊥MG，则可得出结论；

（3）延长AO交BC于S，由勾股定理求出AO的长，设AF＝x，则BF＝B'F＝3﹣x，由勾股定理可得出12+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，则可得出答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴∠ABG+∠CBG＝90°，

∵BG⊥AE，

∴∠BAE+∠ABG＝90°，

∴∠BAE＝∠GBC，

在△ABE和△BCG中，

，

∴△ABE≌△BCG（ASA），

∴AE＝BG；

（2）解：四边形MNPQ为正方形，

理由如下：∵M，N为AB，AG的中点，

∴MN为△ABG的中位线，

∴MN∥BG，MN＝BG，

同理可得PQ∥BG，PQ＝BG，MQ∥AE，MQ＝AE，NP∥AE，NP＝AE，

∴MN＝PQ，MQ＝NP，

∴四边形MNPQ为平行四边形，

∵AE＝BG，

∴MN＝MQ，

∴四边形MNPQ为菱形，

∵BG⊥AE，MQ∥AE，

∴MQ⊥BG，

∵MN∥BG，

∴MN⊥MG，

∴四边形MNPQ为正方形；

（3）延长AO交BC于S，

由对称性可知BF＝B'F，AB'＝BS＝1，AO＝SO，

∴AS＝＝，

∴AO＝AS＝，

设AF＝x，则BF＝B'F＝3﹣x，

在Rt△AB'F中，12+（3﹣x）2＝x2，

∴x＝，

∴AF＝，

∴OF＝＝＝．