2020年江苏省八年级(下)月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在 ，中，分式的个数有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

2．把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

　 A． 扩大4倍 B． 扩大2倍 C． 不变 D． 缩小2倍

3．下列运算中，正确的是（　　）

　 A． =a B． =1

　 C． =4 D． 

4．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　）

　 A． 图象经过点（﹣2，1） B． 图象位于第二、第四象限

　 C． y随x的增大而减小 D． 当x＞1时，0＜y＜2

5．函数y=﹣kx+k与y=﹣（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是图中的（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

6．双曲线y=﹣上两点为（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2＜0，则下列说法正确的是（　　）

　 A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1=y2 D． 不能确定

7．若=1﹣x，则x取的值可以是（　　）

　 A． 0 B． 2 C． 3 D． 4

8．下列化简结果正确的是（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

9．八（3）班学生到距离学校12千米的烈士陵园扫墓，一部分骑自行车先走，20分钟后，其余的人乘汽车，结果乘汽车的人还早到10分钟，又知汽车的速度是骑车同学的速度的3倍，若同学骑车的速度为x千米/时，列出关于x的方程是（　　）

　 A． =20 B． =30 C．  D． 

10．如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=交于点A，B，则不等式组＜﹣x+b＜0的解集为（　　）

　 A． 0＜x＜2 B． x＜﹣1或0＜x＜2 C． ﹣1＜x＜2 D． 1＜x＜2

二、填空题（每小题2分，共20分）

11．计算：=　　　　　　．

12．当x=　　　　　　时，分式的值为0．

13．函数的自变量x取值范围是　　　　　　．

14．如果1≤a≤，则的值是　　　　　　．

15．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为　　　　　　．

16．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，则m的取值范围是　　　　　　．

17．下列函数中，y随x增大而减小的有　　　　　　（填序号）．

①y=﹣；②y=x﹣2；③y=﹣3x+1；④y=；⑤y=．

18．如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，则S△ACM=　　　　　　．

19．如图，OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，OB=，若将△OAB绕点O顺时针方向旋转90°，此时点B恰好落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则该反比例函数的函数关系式是　　　　　　．

20．如图，已知△ACO顶点A和C都在双曲线y=的一个分支上，延长AC交x轴于点B，过A作AE⊥OB于E，过C作CD⊥OB于D，当E恰为OD中点时，△AOC的面积为6，则k=　　　　　　．

三、解答题（共70分）

21．计算：

（1）﹣

（2）．

22．解下列方程：

（1）+=3

（2）．

23．先化简，再求值：（1﹣），其中x是不等式3（x+4）﹣6≥0的负整数解．

24．某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，两队合做2天后，其余工程再由乙队独做，正好按期完成．该工程的限期是多少天？

25．已知y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例．当x=1时，y=﹣1；x=3时，y=5．求：

（1）y与x的函数关系式；

（2）当x=﹣1时，y的值．

26．先阅读，后解答：

=

像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，

（1） 的有理化因式是　　　　　　；的有理化因式是　　　　　　．

（2）将下列式子进行分母有理化：

①=　　　　　　；         ②=　　　　　　．

③已知，，比较a与b的大小关系．

27．如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

28．（12分）（2015春•建湖县校级月考）如图，已知双曲线y=与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P，Q两点，且P的横坐标与Q的纵坐标都是，连接OP，OQ．

（1）则k=　　　　　　；

（2）求△POQ的面积；

（3）若C是线段OA上不与O，A重合的任意一点，CA=a（0＜a＜1），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．

①当CE=时，求a的值；

②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

 江苏省八年级（下）月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在 ，中，分式的个数有（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 分式的定义．  

分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

解答： 解：分式有：，，共有2个．

故选：B．

点评： 本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．

2．把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

　 A． 扩大4倍 B． 扩大2倍 C． 不变 D． 缩小2倍

考点： 分式的基本性质．  

分析： 解题时只需要将x，y用2x，2y代替原来的x，y即可解出本题．

解答： 解：∵=原式，

∴分式值不变．故选C．

点评： 此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．

3．下列运算中，正确的是（　　）

　 A． =a B． =1

　 C． =4 D． 

考点： 算术平方根；分式的基本性质．  

分析： 根据算术平方根的定义和分式的基本性质计算即可．

解答： 解：A、=|a|，故此选项错误；

B、=﹣=﹣1，故此选项错误；

C、=4，故此选项正确；

D、，故此选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了算术平方根的定义和分式的基本性质，熟记各性质是解题的关键．

4．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　）

　 A． 图象经过点（﹣2，1） B． 图象位于第二、第四象限

　 C． y随x的增大而减小 D． 当x＞1时，0＜y＜2

考点： 反比例函数的性质．  

分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特点可得A错误；根据反比例函数的性质可得B、C错误；根据反比例函数的性质可得当x＞1时，图象在第一象限，和图象可得x＞1时，0＜y＜2，进而可得D正确．

解答： 解：A、﹣2×1=﹣2≠2，故图象经过点（﹣2，1）错误；

B、k=2＞0，图象应在第一、三象限，故此选项错误；

C、k=2＞0，在图象的每一支上y随x的增大而增大，故此选项错误；

D、当x=1时，y=2，故当x＞1时，0＜y＜2说法正确．

故选：D．

点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．

5．函数y=﹣kx+k与y=﹣（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是图中的（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．  

分析： 根据一次函数和反比例函数的图象的性质分别判断后即可确定正确的选项．

解答： 解：A、反比例函数的图象位于二、四象限，则k＞0，得到直线应该交y轴的正半轴，错误；

B、反比例函数的图象位于二、四象限，则k＞0，得到直线应该交y轴的负半轴，正确；

C、反比例函数的图象位于二、四象限，则k＞0，得到直线应该呈下降趋势，错误；

D、反比例函数的图象位于一、三象限，则k＜0，得到直线应该交y轴的负半轴，错误；

故选B．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，主要理解一次函数和反比例函数y=中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

6．双曲线y=﹣上两点为（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2＜0，则下列说法正确的是（　　）

　 A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1=y2 D． 不能确定

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．  

分析： 先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0判断出各点所在的象限，进而可得出结论．

解答： 解：∵双曲线y=﹣中，k=﹣2＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．

∵x1＜x2＜0，

∴点（x1，y1）（x2，y2）位于第二象限，

∴y1＜y2．

故选B．

点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

7．若=1﹣x，则x取的值可以是（　　）

　 A． 0 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 二次根式的性质与化简．  

分析： 由已知可以得到1﹣x≥0，求得m的范围，据此即可判断．

解答： 解：根据题意得：1﹣x≥0，解得：x≤1，

则满足条件的四个选项只有0，

故选A．

点评： 本题考查了二次根式的性质，正确理解算术平方根的定义是关键．

8．下列化简结果正确的是（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 算术平方根．  

分析： 根据算术平方根，即可解答．

解答： 解：A、正确；

B、=6a，故错误；

C、，故错误；

D、=2，故错误；

故选：A．

点评： 本题考查了算术平方根，解决本题的根据是熟记算术平方根的定义．

9．八（3）班学生到距离学校12千米的烈士陵园扫墓，一部分骑自行车先走，20分钟后，其余的人乘汽车，结果乘汽车的人还早到10分钟，又知汽车的速度是骑车同学的速度的3倍，若同学骑车的速度为x千米/时，列出关于x的方程是（　　）

　 A． =20 B． =30 C．  D． 

考点： 由实际问题抽象出分式方程．  

专题： 行程问题．

分析： 由题意可知，乘汽车的人用的时间比骑自行车的人所用的时间少20+10=30分钟，即小时．那么等量关系为：骑自行车的人所用的时间﹣乘汽车的人用的时间=．

解答： 解：骑车的同学用的时间为，坐汽车的同学用的时间可表示为：．方程可列为：．故选D．

点评： 找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．本题要注意：时间的单位要和所设速度的单位相一致．

10．如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=交于点A，B，则不等式组＜﹣x+b＜0的解集为（　　）

　 A． 0＜x＜2 B． x＜﹣1或0＜x＜2 C． ﹣1＜x＜2 D． 1＜x＜2

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．  

分析： 由条件可知所求不等式的解集，即反比例函数值小于一次函数值，且在x轴下方时对应的x的取值范围，结合图象可得到答案．

解答： 解：∵＜﹣x+b＜0，

∴其该不等式的解集可以看成是反比例函数值小于一次函数值，且在x轴下方时对应的图象，

结合图象可知对应的x的范围为：1＜x＜2，

故选D．

点评： 本题主要考查函数与不等式的关系，掌握函数图象的高低是对应函数值的大小是解题的关键，注意数形结合思想的应用．

二、填空题（每小题2分，共20分）

11．计算：=　3　．

考点： 二次根式的乘除法．  

分析： 直接利用二次根式乘法运算法则进而化简求出即可．

解答： 解：==3．

故答案为：3．

点评： 此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

12．当x=　﹣2　时，分式的值为0．

考点： 分式的值为零的条件．  

专题： 计算题．

分析： 分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

解答： 解：∵=0，

∴x=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．

13．函数的自变量x取值范围是　x≥1，且x≠3　．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．  

分析： 本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x﹣1≥0；根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，则函数的自变量x取值范围就可以求出．

解答： 解：根据题意得：

解得x≥1，且x≠3，

即：自变量x取值范围是x≥1，且x≠3．

点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

14．如果1≤a≤，则的值是　1　．

考点： 二次根式的性质与化简．  

专题： 应用题．

分析： 根据a的取值范围化简根式以及绝对值，即可得出结果．

解答： 解：∵1≤a≤，

∴==a﹣1，

|a﹣2|=2﹣a，

∴原式=a﹣1+2﹣a=1，

故答案为1．

点评： 本题主要考查了二次根式的化简以及绝对值的性质，难度适中．

15．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为　m＞﹣3且m≠﹣2　．

考点： 分式方程的解．  

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解是正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答： 解：分式方程去分母得：2x+m=3x﹣3，

解得：x=m+3，

由投影仪得：m+3＞0，且m+3≠1，

解得：m＞﹣3且m≠﹣2．

故答案为：m＞﹣3且m≠﹣2

点评： 此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．

16．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，则m的取值范围是　m＞3　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．  

分析： 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出3﹣m的符号，进而可得出结论．

解答： 解：∵A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，

∴3﹣m＜0，解得m＞3．

故答案为：m＞3．

点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

17．下列函数中，y随x增大而减小的有　③⑤　（填序号）．

①y=﹣；②y=x﹣2；③y=﹣3x+1；④y=；⑤y=．

考点： 反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．  

分析： 根据一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；反比例函数y=的性质：（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．

解答： 解：①y=﹣，k=﹣1＜0，y随x增大而增大；

②y=x﹣2，k=1＞0，y随x增大而增大；

③y=﹣3x+1，k=﹣3＜0，y随x增大而减小；

④y=，k=5＞0，在每一个象限内y随x增大而减小；

⑤y=，k=2＞0，x＜0在每第三象限内y随x增大而减小，

故答案为：③⑤．

点评： 此题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，关键是熟记两个函数的性质．

18．如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，则S△ACM=　2　．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．  

专题： 计算题．

分析： 先根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△AOM=|2|=1，然后根据三角形面积公式，由OM=MN=NC即可得到S△ACM=2S△AOM=2．

解答： 解：∵AM⊥x轴，

∴S△AOM=|2|=1，

∵OM=MN=NC，

∴S△ACM=2S△AOM=2．

故答案为2．

点评： 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

19．如图，OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，OB=，若将△OAB绕点O顺时针方向旋转90°，此时点B恰好落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则该反比例函数的函数关系式是　y=﹣　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．  

分析： 利用勾股定理求出AB的长，作出图形，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，可得OA′=OA，A′B′=AB，然后写出点B′的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答．

解答： 解：在Rt△OAB中，∵OA=2，OB=，

∴AB==1，

∵△OA′B′是Rt△OAB绕点O顺时针方向旋转90°得到，

∴OA′=OA=2，A′B′=AB=1，

∴点B′（2，﹣1），

∵点B′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴=﹣1，

解得k=﹣2．

故答案为：y=﹣．

点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求反比例函数解析式，利用旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，求出旋转后的点B的对应点的坐标是解题的关键．

20．如图，已知△ACO顶点A和C都在双曲线y=的一个分支上，延长AC交x轴于点B，过A作AE⊥OB于E，过C作CD⊥OB于D，当E恰为OD中点时，△AOC的面积为6，则k=　8　．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．  

专题： 计算题．

分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A（a，），则C（2a，），利用S△AOE+S梯形AEDC=S△AOC+S△COD和S△AOE=S△COD可得S梯形AEDC=S△AOC，然后利用梯形得面积公式得到关于k的方程，再解方程即可得到k的值．

解答： 解：设A（a，），则C（2a，），

∵S△AOE+S梯形AEDC=S△AOC+S△COD，

而S△AOE=S△COD，

∴S梯形AEDC=S△AOC，

即（+）•（2a﹣a）=6，

∴k=8．

故答案为8．

点评： 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

三、解答题（共70分）

21．计算：

（1）﹣

（2）．

考点： 分式的混合运算．  

专题： 计算题．

分析： （1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；

（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．

解答： 解：（1）原式=﹣••=﹣；

（2）原式==．

点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．解下列方程：

（1）+=3

（2）．

考点： 解分式方程．  

专题： 计算题．

分析： （1）最简公分母是2（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解；

（2）最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．

解答： 解：（1）方程两边都乘2（x﹣1），

得：3﹣2=3×2（x﹣1），

解得：x=，

经检验：x=是原方程的解；

（2）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），

得：x（x﹣2）﹣（x+2）2=8，

解得x=﹣2，

经检验x=﹣2不是原方程的根，

∴原方程无解．

点评： 分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．

23．先化简，再求值：（1﹣），其中x是不等式3（x+4）﹣6≥0的负整数解．

考点： 分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．  

分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的取值范围，选取合适的x的值代入进行计算即可．

解答： 解：原式=•

=﹣，

解不等式3（x+4）﹣6≥0得，x≥﹣2，

∵x是不等式3（x+4）﹣6≥0的负整数解，

∴当x=﹣2时，原式=﹣=﹣．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

24．某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，两队合做2天后，其余工程再由乙队独做，正好按期完成．该工程的限期是多少天？

考点： 分式方程的应用．  

分析： 设工程的限期是x天，则甲队正好干x天完成任务，则乙队需（x+3）天完成任务，由题意得：甲干2天的工作量+乙干x天的工作量=1，再根据等量关系列出方程，解方程即可．

解答： 解：设工程的限期是x天，由题意得；

+=1，

解得：x=6，

经检验：x=6是分式方程的解，

答：工程的限期是6天．

点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，此题所用的公式是：工作量=工作效率×工作时间．

25．已知y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例．当x=1时，y=﹣1；x=3时，y=5．求：

（1）y与x的函数关系式；

（2）当x=﹣1时，y的值．

考点： 待定系数法求反比例函数解析式．  

分析： （1）根据题意分别设出y1，y2，代入y=y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式；

（2）将x=﹣1代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）根据题意设y1=，y2=b（x﹣2），即y=y1+y2=+b（x﹣2），

将x=3时，y=5；x=1时，y=﹣1分别代入得：，

解得：k=3，b=4，

则y=+4（x﹣2），

（2）当x=﹣1时，y=﹣3﹣12=﹣15．

点评： 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

26．先阅读，后解答：

=

像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，

（1） 的有理化因式是　　；的有理化因式是　﹣2　．

（2）将下列式子进行分母有理化：

①=　　；         ②=　3﹣　．

③已知，，比较a与b的大小关系．

考点： 分母有理化．  

专题： 阅读型．

分析： （1）的有理化因式是它本身，+2的有理化因式符合平方差公式的特点的式子．据此作答；

（2）①分子、分母同乘以最简公分母即可；②分子、分母同乘以最简公分母3﹣，再化简即可；③把a的值通过分母有理化化简，再比较．

解答： 解：（1）根据与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，

 的有理化因式是：，的有理化因式是：﹣2，

故答案为：，﹣2；

（2）①==，

②==3﹣；

③∵a===2﹣，b=2﹣，

∴a=b．

点评： 此题考查二次根式的分母有理化，单项二次根式：利用×=a来确定；利用平方差公式确定：如（+）（﹣）=a﹣b，则互为有理化因式，确定最简公分母是关键．

27．如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

考点： 反比例函数综合题．  

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；

（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答： 解：（1）∵双曲线y=经过点D（6，1），

∴=1，

解得k=6；

（2）设点C到BD的距离为h，

∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，

∴BD=6，

∴S△BCD=×6•h=12，

解得h=4，

∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，

∴点C的纵坐标为1﹣4=﹣3，

∴=﹣3，

解得x=﹣2，

∴点C的坐标为（﹣2，﹣3），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

所以，直线CD的解析式为y=x﹣2；

（3）AB∥CD．

理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，），点D的坐标为（6，1），

∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），

设直线AB的解析式为y=mx+n，

则，

解得，

所以，直线AB的解析式为y=﹣x+1，

设直线CD的解析式为y=ex+f，

则，

解得，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+，

∵AB、CD的解析式k都等于﹣，

∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．

点评： 本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．

28．（12分）（2015春•建湖县校级月考）如图，已知双曲线y=与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P，Q两点，且P的横坐标与Q的纵坐标都是，连接OP，OQ．

（1）则k=　　；

（2）求△POQ的面积；

（3）若C是线段OA上不与O，A重合的任意一点，CA=a（0＜a＜1），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．

①当CE=时，求a的值；

②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题．  

分析： （1）先用待定系数法求出直线AB的解析式，设P（，c），Q（d，）．利用双曲线与直线AB的交点坐标的求法得到点P、Q的坐标，易得k的值；

（2）根据勾股定理求出线段AB的长，过点O作OF⊥AB于点F，利用三角形的面积公式求出OF的长，进而可得出△OPQ的面积；

（3）①过点D作DM⊥x轴于点M，由于OA=1，CA=a，故OC=1﹣a，由CD⊥AB，∠OAB=45°可知△ADC是等腰直角三角形，故DM=CM=CA=，再根据DE⊥y轴可知四边形DEOM是矩形，故OE=DM=，在Rt△OEC中利用勾股定理即可求出a的值；

②由①可知，OC=1﹣a，OE=，由于OA=OB，所以若CE∥AB，则OC=OE，故可得出a的值．

解答： 解：（1）设过A、B两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），

∵点A（1，0）、B（0，1），

∴，解得，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+1，

设P（，c），Q（d，）．

∵点P、Q都在直线AB上，

∴c=﹣+1=，d=1﹣=，

∴P（，），Q（，）；

又∵点P、Q都在双曲线y=上，

∴k=xy=×=，

故该双曲线的解析式为：y=；

（2）过点O作OF⊥AB于点F，

∵点A（1，0）、B（0，1），

∴OA=OB=1，AB=，

∴AB•OF=OB•OA，OF=1，解得OF=，

∵P（，） Q（，），

∴PQ==，

∴S△OPQ=PQ•OF=××=；

（3）①过点D作DM⊥x轴于点M，

∵OA=1，CA=a，

∴OC=1﹣a，

∵CD⊥AB，∠OAB=45°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴DM=CM=CA=，

∵DE⊥y轴，

∴四边形DEOM是矩形，

∴OE=DM=，

在Rt△OEC中，

∵CE=，OC=1﹣a，OE=，

∴CE2=OC2+OE2，即（）2=（1﹣a）2+（）2，

解得a=；

②存在．理由如下：

由①可知，OC=1﹣a，OE=，

∵OA=OB，CE∥AB，

∴OC=OE，即1﹣a=，

解得a=，

∴1﹣a=1﹣=，

∴C（，0）．

点评： 本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识．利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．