初中数学综合与实践-池塘里有多少条鱼教学设计

一、学情及背景分析

本节课是北师大版数学九年级上册综合与实践内容，教材在一开始就提出了一个颇具现实意义的问题：如何得知池塘里有多少条鱼？类似的问题不仅是出现在生活中，养鱼的人需要估计鱼塘里鱼的数量，在科学研究的范畴内，生物学家也经常需要利用统计与概率学的相关知识去估计某野生物群的数量。通过对本节课的探究，学生不仅可以巩固已学知识，更能从具体的事例中发现问题的本质，并可以将这些经验运用于解决更多的问题。

在七年级上册的学习中，学生掌握了利用抽样调查中样本的情况来估计总体的情况；在七年级下册的学习中，学生学会了在试验中利用频率来估计事件发生的概率；在八年级上册的学习中，学生学习了平均数等相关概念。这些知识都为解决本课中出现的实际问题奠定了基础。九年级的学生具有活跃的思维和较高的动手操作能力，有强烈的自我表达意识，大部分学生都乐于积极参与课堂，虽然提出问题的能力时有欠缺，但具有较强的好奇心，；乐于从问题中去思考发现事物的本质规律。

二、教学目标

1、经历将实际问题数学化，并建立数学模型解决问题的过程，积累数学活动经验。

2、在具体情境中，通过试验活动感受统计推断的合理性，体会统计与概率之间的内在联系，能用频率估计随机事件发生的概率，能用抽样统计中的样本来估计总体情况。

3、经历对问题的交流、探索过程，激发学生的好奇心和学习兴趣，在活动中形成解决问题的策略和方法，提高数学应用意识。

4、通过小组合作发展学生在团队中的协调统一性。

三、教学过程

第一环节：创设情境，引入课题

问题1：怎么知道一个鱼缸里有多少条鱼？

预期回答：只要数一数就可以了

问题2：若要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？

预期回答：有的学生会认为可以捞出来数一数，有的学生则认为不行，鱼可能会死，而且也不能确定池塘里的鱼是否全部捞出。

此时教师应引导学生思考捞出来数的现实可行性是否成立，比如捞出来的鱼放到哪里？你能确定捞完了吗？若将池子里的水抽干可行吗？通过思考，发现方案不具备现实意义，进而激发学生探索解决此问题的兴趣，进入今天的课题：在不能全部捞出的情况下，怎么估计池塘里有多少条鱼。

第二环节：寻找方向，唤醒认知

问题1：在统计与概率领域，你解决过类似的实际问题吗？

向学生展示初中阶段已经学习过的关于统计与概率的内容：

七年级上册：数据的收集与整理

七年级下册：概率初步

八年级上册：数据的分析

问题2：你玩过摸球游戏吗？

一个盒子中装有30个红球、70个黄球，这些球除颜色外都相同，从盒子中随机摸出一个，摸到红球的概率是多少？

若从盒子中任意摸出20个球，则摸出的这20个球中可能有多少个红球？

预期回答：摸到红球的概率是3

；摸到的20个球中红球可能有6个红球。

问题3：一个口袋中有8个红球和若干个黄球，如果不许将球倒出来数，你能估计出其中的黄球数吗？请设计一种方案，小组讨论。

预期回答：

方案一：利用频率估计概率的方法，从口袋中随机摸出一个球，放回摇匀，一共摸100次，记录红球出现的次数，就可以算出摸到红球的频率。这个频率可以估计为摸到红球的概率，用8除以红球的概率，得到总的球数，再用总球数减去红球个数，计算出黄球的个数。

方案二：利用样本估计总体。从口袋中随机摸出20个球，记录其中红球的个数，算出摸到红球的频率，进而估计出总体中摸到红球的概率，再计算黄球的个数。

在学生得到上述方案后，教师应引导学生关注细节：

①这两种方案是否合理，它们有什么理论依据？

预期回答：方案一是利用频率估计概率，且必须在试验次数足够多的情况下，频率才能用于估计概率。方案二是用样本估计总体，样本要具有代表性。

②这两种方案试验计算出的结果一定就是口袋中黄球的个数吗？

预期回答：不一定，因为试验有误差，算出来的值都是近似值。

③怎样才能减小误差，获得较为准确的估计值呢？

预期回答：1、一定要有摇匀的步骤，摇匀是为了让摸到每个球都是随机的，都是具有等可能性的。2、在频率估计概率的方案中，让摸球次数尽可能的多。3、在样本估计总体的方案中中，一个样本算出的频率可能误差较大，若能选取多个样本，利用多个样本

问题4：一个口袋中有8个红球和若干个黄球，如果不许将球倒出来数，你能估计出其中的黄球数吗？

方案一：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀。不断重复上述过程.共摸了400次，其中有107次摸到红球,因此我估计口袋中大约共有____个球，大约有_____个黄球。

方案二：从口袋中一次随机摸出20个球，记录其中红球的个数，放回摇匀，作为一次操作。某同学操作了4次，每次摸到的红球的频率分别为0.25、0.26、0.23、0.26，则摸到红球的平均频率是_____,因此可以估计口袋中大约有______个黄球。

预期回答：

方案一：解：设口袋中大约有x 个球。

1078400x

= 解得：30x ≈ 则口袋中大约共有30个球，大约有22个黄球。

方案二：解：摸到红球的平均频率：()0.250.260.230.20.25+++÷=

设口袋中大约有x 个黄球。

80.258x

=+ 解得：24x =

第三环节：分组实验，统计分析

1、分组活动：

①以4人为小组，利用方案一或方案二，收集相应数据，并估算出口袋中的黄球数。 ②试验完成后，打开口袋，数一数黄球的个数，并计算试验与实际的黄球的差值。 注意：试验频率保留两位小数。

（3）你能谈一谈这两种方法的优缺点吗？

预期回答：

从理论上讲，如果试验总次数足够大那么方法一应当是比较准确的，但这种方法比较费时，且现实意义一般不大。

相比较而言，方法二的方法更具有现实意义。但是当总数较小时，用方法二估计其精确度可能较差。不过对于许多实际问题(其总数往往较大)，这种精确度是允许的。并

第四环节：形成经验，发展经验

问题1：当袋子里有8个红球和若干个黄球，我们是如何估计口袋中有多少黄球的？预期回答：方法一：一个一个摸（用实验频率估计理论概率）

方法二：抓出一把数（用样本估计总体）

问题2：如果口袋中只有若干个黄球，没有其它颜色的球，而且不允许将球倒出来数，那么你如何估计出其中的黄球数呢？

预期回答：我们可以将这个问题转化为刚才的问题：

方法一：向口袋中另外放几个红球，搅拌均匀。

方法二：从口袋中取出几个黄球，做上记号，放回搅匀。

这样就可以利用之前的方法解决这个问题。

这里教师可以适当引导学生：我们刚刚已经学会了当袋子中有两种颜色的球，并且已知其中一种球的数量，就可以通过实验求得另一种球的数量。那么若袋子里只有一种

第五环节：迁移经验，解决问题

问题1：要想知道一筐红豆有多少粒，你有什么办法？

预期回答：加入500粒绿豆。

问题2：球，是一个符号，可以代表豆子、棋子，还可以表示什么呢？球能表示鱼吗？

盒子，也是一个符号，可以代表……

预期回答：球可以表示鱼，盒子就代表鱼塘。

问题3：若要估计一个鱼塘里有多少条鱼，怎么办?

预期回答：可以先捞出若干条鱼，将他们做上标记，然后再放回鱼塘。经过一段时间后，

第六环节：活学活用，拓展练习

完成下列练习：

为了估计巴音布鲁克草原天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉20只，分别作上记号后放飞；待它们完全混合于天鹅群后，重新捕捉48只天鹅，发现其中有3只有标记，据此可估算出该地区大约有天鹅________只。

预期回答： 解：设该地区大约有天鹅x 只。

20348

x = 解得：320x =

第七环节：体会与收获

让学生们畅所欲言，可以归纳总结出：

1、本节课学会了利用不同的方法得到频率，并由此估计某件事件的理论概率。

2、在实验过程中，细节决定成败，成功的实验离不开认真、严谨的实验操作。

3、在实际生活中，往往用样本估计总体更具有现实意义。

4、解决此类问题的方法步骤：①设计合理的实验求得频率；②利用频率估计理论概率；③列出方程求解相关问题。

四、教学反思

本节课从贴近生活的现实问题出发，引导学生发现生活中的问题，简化问题，通过实验探究，构建相应的数学模型解决问题，这样的流程能激发学生的学习兴趣及求知欲，让学生积极参与课堂，主动思考，获得数学活动经验，寓教于乐。在实验过程当中，教师要引导学生关注实验细节，使实验结果更准确，并且在处理数据的时候，注意对比分析，找出不合理的部分进行纠正，发展思维的逻辑性与严密性。学生是学习的主体，留足够的时间和空间给学生思考，让他们发表不同的意见，会使课堂更加活跃，百花齐放，才能碰撞出思维的火花。