成都市2020届(2017级)高中毕业班摸底测试数学试题(文科) (解析版)

数学试题（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是  符合题目要求的．

1．复数为虚数单位的虚部是

 (A)    (B)     (C)      (D)

2．已知集合，，则

(A)    (B)    (C)     (D) 

3．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛    所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是D

(A)甲所得分数的极差为22        (B)乙所得分数的中位数为18    

(C)两人所得分数的众数相等      (D)甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

4．若实数，满足约束条件，则的最小值为

(A)0    (B)2    (C)4    (D)6

5．已知等比数列的各项均为正数，若，则

(A)l    (B)3    (C)6    (D)9

6．设函数的导函数为，若，则

 (A)    (B)    (C)    (D)

7．中，角的对边分别为．若向量，，  且，则角的大小为

 (A)   (B)  (C)    (D)

8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为

(A)5    (B)6    (C)7    (D)8

9．若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为

 (A)    (B)       (C)         (D) 

10．已知函数，则“在”是“函数在处取得极小值”的

 (A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件      (C)充要条件    (D)既不充分也不必要条件

11．已知双曲线，的左，右焦点分别为，，又点．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为

(A)  (B)     (C)         (D) 

12．若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为

 (A)0    (B)l    (C)2    (D)3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13．某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表：

14．已知曲线为参数)．若点在曲线上运动，点为直线上的动点，则的最小值为__         ．

15．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，

．则不等式的解集为___         ．

16．已知抛物线的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为_ ___．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、'证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数，其导函数的图象关于轴对称，．

(I)求实数，的值；(Ⅱ)若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．

18．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下类行业：85，82，77，78，83，87；     类行业：76，67，80，85，79，81；  

类行业：87，，76，86，75，84，90,82．

(I)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(Ⅱ)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．    

19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．    (I)证明：平面平面；

(Ⅱ)若，求三棱锥的体积．

20．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点．(I)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于，两点，记点关于轴对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．

21．（12分）已知函数，其中．(I)当时，求曲线在点处的切线方程；    (Ⅱ)若函数有唯一零点，求的值．

22（10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(I)求曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线与曲线相交于，两点，求的最小值．

成都市2017级高中毕业班摸底测试

数学试题（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。   

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是  符合题目要求的．

1．复数为虚数单位的虚部是A

  (A)    (B)     (C)      (D)

解：，复数为虚数单位)的虚部是，故选A 

2．已知集合，，则B

(A)    (B)    (C)     (D) 

解：，，故选B

3．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛    所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是D

(A)甲所得分数的极差为22        (B)乙所得分数的中位数为18    

(C)两人所得分数的众数相等      (D)甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

解：甲所得分数的极差为，A正确；乙所得分数的中位数为，B正确；

甲所得分数的众数为，乙所得分数的众数为，C正确，故选D

4．若实数，满足约束条件，则的最小值为A

    (A)0    (B)2    (C)4    (D)6

解：作出实数，满足表示的平面区域，如图所示．

由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越小．

作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．

由可得，此时，故选A

5．已知等比数列的各项均为正数，若，则D

(A)l    (B)3    (C)6    (D)9

解：因为等比数列的各项均为正数，且，即，所以，所以，所以，故选D

6．设函数的导函数为，若，则C

    (A)    (B)    (C)    (D)

解：，，选C

7．中，角的对边分别为．若向量，，  且，则角的大小为B

  (A)   (B)  (C)    (D)

解：由得，，

由正弦定理得，，化为，即，由于，所以，从而，故选B

8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为B

(A)5    (B)6    (C)7    (D)8

解：

9．若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为C

  (A)    (B)       (C)         (D) 

解：如图，设矩形的两邻边分别为，，则，且外接圆的半径．

由球的性质得，平面，所以球的半径．

由均值不等式得，，所以，

所以，当且仅当时，等号成立．

所以球的表面积的最小值为，选C

10．已知函数，则“在”是“函数在处取得极小值”的A

    (A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件      (C)充要条件    (D)既不充分也不必要条件

解法一：

当时，，由得，或，单调递增；由得，，单调递减．所以函数在处取得极小值，充分条件成立．

当函数在处取得极小值时，

若，由得，或，单调递增；由得，，单调递减．此时不成立

若，，则在上单调递增，不合题意，故必要条件不成立．故选A

解法二：

当时，，则在上单调递增，不合题意；

当时，由得，或，单调递增；由得，，单调递减．此时函数在处取得极小值．可见充分条件成立，而必要条件不成立，故选A

11．已知双曲线，的左，右焦点分别为，，又点．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为D

(A)  (B)     (C)         (D) 

解：由双曲线的定义可得，．

由题意，双曲线左支上的任意一点均满足，即双曲线左支上的任意一点均满足，而，从而，即，不整理得，，即，所以或．

又，所以或，故选D

12．若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为C

  (A)0    (B)l    (C)2    (D)3

解：关于的不等式在内恒成立，即关于的不等式在内恒成立，即函数的图象恒在直线的上方．

当直线与函数相切时，设切点为，则，由①②得，，把③代入得，化简得．由得，．又由③得．即相切时整数．因此函数的图象恒在直线的上方时，整数的最大值为，故选C

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13．某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表：

解；，，由归直线方程为过点得，，解得，填

14．已知曲线为参数)．若点在曲线上运动，点为直线上的动点，则的最小值为__．

解：设，则点到直线的距离

当时，，填

15．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，

．则不等式的解集为___．

解：令，则，所以在上为单调递增，且，所以，解得．

由是定义在上的奇函数得，在为偶函数，所以不等式的解集为，填

16．已知抛物线的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为_ ___．

解：法一(几何法)如图，设．过点B作与点，由抛物线的定义知，，．．

在中，，．

从而．

在中，，，所以．抛物线的标准方程为，填．

法二(代数法)直线的方程为，从而．

由消去，得，解得或(舍)，从而．

由得，，解得，抛物线的标准方程为，填．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、'证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数，其导函数的图象关于轴对称，．

(I)求实数，的值；

(Ⅱ)若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．

解：(I) ．    ……1分

函数的图象关于轴对称，．    ………2分

又，  解得．    ………3分

，．    …………4分

(Ⅱ)问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围．

由(I)，得．．    ………．．5分

令，解得．    …………6分

当或时，，在，上分别单调递增．……7分

又当时，，在上单调递减，    ．．8分

的极大值为，极小值为．    ………．．10分

实数的取值范围为．    ………．12分

18．（本小题满分12分）

为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下

类行业：85，82，77，78，83，87；  

类行业：76，67，80，85，79，81；  

类行业：87，，76，86，75，84，90,82．

(I)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；

(Ⅱ)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．    

解：（I）由题意，抽取的三类行业单位个数之比为．    …………1分

由分层抽样的定义，有

类行业单位个数为（个）；    ……．．2分

类行业单位个数为（个）；    ……．．3分

类行业单位个数为（个）．    ……．．4分

三类行业单位的个数分别为60，60，80.    ………．5分

(Ⅱ)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件

在类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．共20种．    …7分

这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有：，，，．共4种．    …………8分

这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种，    一9分

这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种．…………10分

所求概率．    …………12分

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．    

(I)证明：平面平面；

(Ⅱ)若，求三棱锥的体积．

解：(I)连接．，，为正三角形．

为的中点，．    …………1分

，，平面，．

又平面，平面，平面    ………．2分

，分别为，的中点，．

又平面，平面，平面．    ………3分

又，平面，，平面平面． …………5分

(Ⅱ)在(I)中已证．    ………6分

平面平面，平面，平面．    …………7分

又，，．    ……．．8分

，分别为，的中点，．

的面积．    ………．10分

三棱锥的体积．…………12分

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点．

(I)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于，两点，记点关于轴对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．

解：（I）由椭圆的定义，可知．    ………．1分

解得．    …………2分

又．    ……．．3分

椭圆的标准方程为．    …………4分

(Ⅱ)由题意，设直线的方程为．设，，则．

由，消去，可得．    ……．．5分

，．

，．    …………7分

．

直线的方程为．    …………8分

令，可得．    …………9分

．．    ……11分

直线经过轴上定点，其坐标为．    …．．12分

21．（本小题满分12分）

已知函数，其中．

(I)当时，求曲线在点处的切线方程；    

(Ⅱ)若函数有唯一零点，求的值．

解：(I)当时，，．    ……．．1分

．    …………2分

又．    …………3分

曲线在点处的切线方程为，即．    ………．4分

(Ⅱ)法一：问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．  …………5分

令，则．    ………．6分

令，则

在上单调递减．    …．．8分

又．

当时，，即，在上单调递增；

当时，，即，在上单调递减．…………9分

的极大值为．    ………10分

当时，；当时，．    …．．11分

又，当方程有唯一的解时，．

综上，当函数有唯一零点时，的值为．…………12分

法二：问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．

令，则．

问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．

令，则．

令，则．

在单调递减，而，当时，，当时，．

当时，，当时，．从而在单调递增，在单调递减．注意到：，当时，，当时，，的唯一极大值为．结合的图象知，或时，关于的方程有唯一的解，而，所以．

22（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(I)求曲线的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线与曲线相交于，两点，求的最小值．

解：(I)，．    ………1分

由直角坐标与极坐标的互化关系，．    …………2分

曲线的直角坐标方程为．    ……．4分

(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得．    ……．．5分

，可设，是方程的两个实数根，则

，．    …………6分

…………7分

，当时，等号成立．  …………9分

的最小值为．    ………10分