北师大版八年级下册数学第一章《三角形的证明》练习题精选汇编(含答案...

一、单选题

1．若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（    ）

A．8    B．10    C．12    D．8或10

2．在中，若，则下列说法正确的是（    ）

A．是锐角三角形    B．是直角三角形且

C．是钝角三角形    D．是直角三角形且

3．如图，用尺规作斜边的垂直平分线，其中，现有以下结论：

①；②；③；④．其中正确的是（    ）

A．①②    B．①②③    C．①③④    D．①④

4．如图所示，O为直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE=90°，则①∠AOD与∠BOE互为余角；②OD平分∠COA；③若∠BOE=56°40'，则∠COE=61°40'；④∠BOE=2∠COD．结论正确的个数为（　　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

5．如图，中，，，与的平分线交于点D，，，则（    ）．

A．9cm    B．6cm    C．5cm    D．4cm

6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（     ）．  

A．在 AC、BC 两边高线的交点处    B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处

C．在 AC、BC 两边中线的交点处    D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处

7．如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，且∠DAE＝20°，则∠BAC＝（　　）

A．100°    B．120°    C．150°    D．160°

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC=2，AD⊥BC于D，点F是AB的中点，点E在AD边上，则BE+EF的最小值是(    )

A．1    B．    C．2    D．

9．如图，在等腰Rt△ABC，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为（　　　）

A．10    B．16    C．40    D．80

10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（    ）

A．①③⑤    B．①②③④    C．①③④⑤    D．①②③④⑤

二、填空题

11．若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,则S△ABD=______．

13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BD的垂直平分线交AB于点F，并且恰好经过点C，则∠A＝_____°．

14．如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝7，DE＝16，则FG＝_____．

15．如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____．

16．如图，直线分别交轴、轴于、两点，点在轴上，点在轴上运动，则的最小值为_________．

三、解答题

17．如图：线段AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：OA=OB．

18．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点 D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和 BD 相交于点 O．

（1）求证：△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝36°，求∠BDE 的度数．

19．如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村、、的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．

求证：(1)DE=DF；

(2)∠EDF=90°．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在线段BC(不含端点B、C上运动)，连接AD，作∠ADE=40°，DE与线段AC相交于点E．

(1)当∠BDA=120°时，求∠DEC的度数；

(2)当CD=BA时，说明△ABD≌△DCE；

(3)在运动变化过程中，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形，若存在，请求出∠BDA的度数；若不存在，说明理由．

22．如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且．

（1）求的面积．

（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．

①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当时，求t的值．

②M为线段BA延长线上一点，且，在直线AC上是否存在点N，使得是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

23．已知：直线，点A，B分别是直线m，n上任意两点，在直线m上取一点C，使，连接，在直线上任取一点E，作，交直线n于点F．

（1）如图，当点E在线段上，目时，求的度数．

（2）若点E是线段上任意一点，求证：．

（3）如图，当点E在线段的延长线上时，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由．

参

1．B

解：当腰为4时，周长＝4＋4＋2＝10；

当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；

∴这个三角形的周长是 10．

2．D

∵，，

∴，

∴△ABC是直角三角形，且∠B=90．

3．D

∵MN是BC的垂直平分线，

∴BD=CD

∵BD+AD=AB

∴CD+AD=AB

故①正确；

∵在三角形ADC与三角形EDC中，

已知：CD=CD，，条件不足，无法证明全等，

故②错误；

∵②中无法证明全等，

∴

故③错误，

∵，BD=CD

∴

∴

故④正确，

4．B

解：，

，

，

故①正确；

平分，

；

，

，

，，

故②不正确，④正确；

若，

，

．

故③正确；

①③④正确．

5．B

，，

，，

平分，CD平分，

，，

，，

，，

．

6．B

解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，

可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，

故选：B．

7．A

解：∵DM是线段AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠DAB，

同理∠C＝∠EAC，

∵∠B＋∠DAB＋∠C＋∠EAC＋∠DAE＝180°，

∴∠DAB＋∠EAC＝80°，

∴∠BAC＝100°，

故选：A．

8．B

解：连接CE，

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=2，

∵AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC，

∴CE=BE，

根据两点之间线段最短，BE+EF=CE+EF的最小值为CF，

连接CF，∵点F是AB的中点，

∴CF⊥AB，BF=AF=1，

在Rt△CFB中，由勾股定理得：

CF= ，

即BE+EF的最小值为，

故选：B．

．

9．C

解：如图，连结OO′．

∵△CBO≌△ABO′，

∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，

∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，

∴∠O′BO=90°，

∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=，

∴O′O=8．

在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，

∴OA2+O′O2=O′A2，

∴∠AOO′=90°，

∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40．

10．C

∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD，

∴，则BP=AD，故①正确；

由得∠PBC=∠DAC，则，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAF=∠PAF，

，

假设，

在和中，，

，

，

，

，

在中，，

又，

，与相矛盾，

则假设不成立，②错误；

在与中，，

∴，

，

即，故③正确；

由得BF=PF，

则，故⑤正确；

，AD平分∠BAC，

AF为BP的垂直平分线，

OB=OP，

为等腰三角形，

，

，

又AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

，

，

∴，

为等腰直角三角形，且，

即，故④正确；

综上，①③④⑤正确，

11．22

解：当为腰长时，三角形三边为、和，

∵4+4＜9，

所以不构成三角形，舍去；

当为腰长时，三角形三边为、和，

∵9+4＞9，

所以可以构成三角形，周长为9+9+4=22cm，

故答案为：22．

12．15cm2

解：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB

∴DE=DC，

∵BC＝8cm，BD＝5cm，

∴DE=DC=3cm，

∴S△ABD=·AB·DE=×10×3=15(cm2)，

故答案为：15cm2．

13．36

解：连接CD，

∵DE和CF分别是AC和BD的垂直平分线，

∴DA＝DC＝BC，

∴∠DCA＝∠A，∠CDB＝∠B，

∵∠CDB＝∠DCA+∠A＝2∠A，

∴∠B＝2∠A，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B＝2∠A，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠A+2∠A+2∠A＝180°

∴∠A＝36°，

故答案为：36．

14．4

解：∵ED∥BC，

∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，

∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，

∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，

∴BE＝EG，CD＝DF，

∵BE＝5，DC＝7，DE＝16，

∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝16﹣5﹣7＝4，

15．2

解：作PE⊥OB于E，

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE＝PD＝2，

16．4

解：过点作于，

∵直线与轴交于点，与轴交于点，

∴，，

∴，

是等腰直角三角形

∴，

∵，

∴，

是等腰直角三角形

∴，

∴

，

当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时是等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴，

在中，

∴的最小值为，

∴的最小值为，

∴的最小值为4，

故答案为：4．

17

解：在△ADC和△BCD中

，

∴△ADC≌△BCD，

∴∠ADC=∠BCD，

∴CO=DO，

∵AD=BC，

∴AD－DO=BC－CO，

∴OA=OB．

18．

解：证明：（1）∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD=∠BOE．

又在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，

∴∠BEO=∠2．

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠BEO，

∴∠AEC=∠BED．

在△AEC和△BED中，

∴△AEC≌△BED（ASA）．

（2）∵△AEC≌△BED，

∴EC=ED，∠C=∠BDE．

在△EDC中，

∵EC=ED，∠1=36°，

∴∠C=∠EDC=72°，

∴∠BDE=∠C=72°．

19．

解：如图所示，点为娱乐站所在的位置

．

【点睛】

本题考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

20．

证明：（1）∵BC＝AC，∠BCA＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵D为AB中点，

∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．

∵∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠FCD＝90°，

∴∠A＝∠FCD，

在△ADE和△CFD中，

，

∴△ADE≌△CFD（SAS），

∴DE＝DF

（2）由（1）知，△ADE≌△CFD（SAS），

∴∠ADE＝∠CDF．

∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠CDF＋∠EDC＝∠EDF＝90°，

即∠EDF=90°．

21．

（1）∵∠B=40°，∠ADB=120°，

∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-120°-40°=20°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B=40°，

∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=20°，

∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=120°；

（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB=180°，∠DAB+∠B+∠ADB=180°，∠B=∠EDA=40°，

∴∠EDC=∠DAB．

∵∠B=∠C，DC=AB，

∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）存在，当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=40°，

①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，

∵∠AED＞∠C，

∴此时不符合；

②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，

∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，

∴∠BAD=100°-70°=30°；

∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；

③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，

∴∠BAD=100°-40°=60°，

∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；

综合上述可得：当∠BDA=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．

22．

（1）把代入得：，

一次函数解析式为，

令，得，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）①设，

∴P在线段AB上，

∴，

设直线AC的解析式为，代入，得

，

∴，

∴，

又∵轴，则，

∴，

，

又∵，

∴得．

②如图所示，当N点在轴下方时，

∵，

∴，

∴，

∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，

当时，，，

设，

过P点作直线x轴，作，，

∴，

∴，

在与中，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

在与中，，

∴，

∴，，

∴，作，则，

∵，

∴，

∴M在直线AB上，

∴

，

∴，

∴．

当N点在x轴上方时，点与关于对称，

则，即，

综上：存在一点或使是以MN为直角边的等腰直角三角形．

．

23．

（1）设与交于点O．

∵，

∴，

∵， 

∴．

∵，

，

∴．

（2）以E为圆心，为半径画弧交直线n于点M，连接，

∴，

∴，

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

由（1）可知，，

在和中，，

∴，

∴．

（3）在上截取，连接，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．