2021年中考数学复习专题-【圆】解答题专项测练02

【圆】解答题专项测练02

1．已知：如图，AB＝AC，以AB为弦作⊙O与AC切于点A，交BC于D，连接AD；

①求证：DA＝DC；

②若BD＝4，CD＝8，求⊙O半径．

2．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若CD＝15，BE＝10，tanA＝，求⊙O的直径．

3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）连接DE，若∠A＝30°，求．

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．

（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　   　°；

（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；

（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．

5．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF＝BF；

（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．

6．如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．

7．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．

8．如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．

（1）求证：AD∥FC；

（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．

9．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．

下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．

证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE

∵△ABC是正三角形

∴AB＝CB

∵∠1和∠2的同弧圆周角

∴∠1＝∠2

∴△ABE≌△CBP

（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．

（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．

10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．

（1）求证：＝；

（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；

（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．

参

1．证明：①连接AO并延长，交⊙O于点E，连接OD，DE，

∵⊙O与AC相切于点A，

∴AC⊥AE，

∴∠DAC+∠OAD＝90°，

∴AE为⊙O直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠OAD+∠E＝90°，

∵∠DAC+∠OAD＝90°，

∴∠DAC＝∠E＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠DAC＝∠C，

∴DA＝DC；

②解：设半径为R，作DM⊥AC于M，则AM＝CM，

∵∠DAC＝∠C＝∠ABC，∠DCA＝∠ACB，

∴△ACD∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CD•CB＝8×12＝96，

∴AC＝4，

∴AM＝CM＝2，

∴Rt△CBM中，BM＝2，

∵∠C＝∠B＝∠E，

∴sin∠C＝sin∠E，

∴，

∴，

∴R＝．

2．解：（1）BD是⊙O的切线．

理由如下：

连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，

∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，

∴∠OBA+∠ABD＝90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线．

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，

∵DE＝DB，

∴EG＝BE＝5，

∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，

∴∠GDE＝∠A，

∴△ACE∽△DGE，

∴tan∠EDG＝tanA＝，即DG＝12，

在Rt△EDG中，

∵DG＝＝12，

∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，

∵△ACE∽△DGE，

∴，

∴AC＝•DG＝，

∴⊙O的直径为2OA＝4AC＝．

3．（1）证明：连接OE，如图1所示：

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE，

又∵OE＝OC，

∴∠ACE＝∠OEC，

∴∠BCE＝∠OEC，

∴OE∥BC，

∴∠AEO＝∠B，

又∵∠B＝90°，

∴∠AEO＝90°，

即OE⊥AE，

∵OE为⊙O的半径，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，如图2所示：

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DEC＝90°，

∴∠DEC＝∠B，

又∵∠DCE＝∠ECB，

∴△DCE∽△ECB，

∴＝，

∵∠A＝30°，∠B＝90°，

∴∠ACB＝60°，

∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，

∴＝cos∠DCE＝cos30°＝，

∴＝．

4．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，

故答案为：110；

（2）证明：∵BD⊥AC，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，

∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，

∵∠DAC＝∠CBD，

∴∠BAC＝2∠DAC；

（3）解：过A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，

∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，

∵∠BAC＝2∠DAC，

∴∠CAG＝∠CAH，

过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，

∴∠G＝∠AHC＝90°，

∵AC＝AC，

∴△AGC≌△AHC（AAS），

∴AG＝AH，CG＝CH，

∵∠CDG＝∠ABC，

∴△CDG∽△ABH，

∴＝＝，

∴＝，

设BH＝k，AH＝2k，

∴AB＝＝k＝10，

∴k＝2，

∴BC＝2k＝4．

5．（1）证明：连接AC，如图1所示：

∵C是弧BD的中点，

∴∠DBC＝∠BAC，

在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，

∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，

∴∠BCE＝∠BAC，

又C是弧BD的中点，

∴∠DBC＝∠CDB，

∴∠BCE＝∠DBC，

∴CF＝BF．

（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：

∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，

∴∠ADB＝90°，

∴BD＝＝＝8，

∵C是弧BD的中点，

∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，

∵OA＝OB，

∴OG是△ABD的中位线，

∴OG＝AD＝3，

∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．

6．证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：

∴＝，∠OFB＝90°，

∴E是的中点，

∵A是的中点，

∴点E与点A重合，

∵AD∥BC，

∴∠OAD＝∠OFB＝90°，

∴OA⊥AD，

∵点A为半径OA的外端点，

∴AD与⊙O相切．

7．解：（1）连接BF，OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，

∵CE⊥AD，

∴BF∥CE，

连接OC，

∵点C为劣弧的中点，

∴OC⊥BF，

∵BF∥CE，

∴OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线；

（2）连接OF，CF，

∵OA＝OC，∠BAC＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∵点C为劣弧的中点，

∴，

∴∠FOC＝∠BOC＝60°，

∵OF＝OC，

∴∠OCF＝∠COB，

∴CF∥AB，

∴S△ACF＝S△COF，

∴阴影部分的面积＝S扇形COF，

∵AB＝4，

∴FO＝OC＝OB＝2，

∴S扇形FOC＝，

即阴影部分的面积为：．

8．解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC，

∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BDA＝∠CEB，

∵∠CEB＝∠F+∠FCE，

∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，

∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，

∴∠BDA＝∠BCF，

∴AD∥CF；

（2）如图，连接PC，

当△PEC为直角三角形时，

∠PEC＝90°，

∵∠PEC＝∠F+∠ACF，

∵∠F＝60°，

∴∠ACF＝30°，

∴tan∠ACF＝．

9．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，

连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，

∴∠CPE＝60°，

∴△PCE是等边三角形，

∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；

又∵∠EBC＝∠PAC，

∴△BEC≌△APC，

∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．

∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°

∴∠1＝∠3，

又∵∠APB＝45°，

∴BP＝BE，∴；

又∵AB＝BC，

∴△ABE≌△CBP，

∴PC＝AE．

∴．（4分）

（3）答：；

证明：在AP上截取AQ＝PC，

连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，

∴△ABQ≌△CBP，

∴BQ＝BP．

又∵∠APB＝30°，

∴

∴（7分）

10．（1）证明：∵AB是圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵OC∥BD，

∴∠AFO＝∠ADB＝90°，

∴OC⊥AD

∴＝；

（2）解：连接AC，如图，

∵＝，

∴∠CAD＝∠ABC，

∵∠ECA＝∠ACB，

∴△ACE∽△BCA，

∴AC：CE＝CB：AC，

∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），

∴AC＝2，

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AB＝＝2，

∴⊙O的半径为；

（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，

∵OC⊥AD，

∴AF＝DF＝4，

∵OF＝＝3，

∴CF＝2，

∵CF∥BD，

∴△ECF∽△EBD，

∴＝＝＝，

∴＝

∴DE＝×4＝3．