基于土与结构相互作用的隧道结构振动特性的理论研究(1)

地

震

工

程

与

工

程

振

动

V o.l 30 N o. 5

2010年 10月

JOURNAL OF EARTHQUAKE ENG IN EER ING AND ENG INEER ING V IBRAT ION

O ct. 2010

文章编号: 1000 1301( 2010) 05 0142 08

基于土与结构相互作用的隧道结构

振动特性的理论研究

王

鑫, 刘增荣, 李云璋

(西安建筑科技大学 土木工程学院, 陕西 西安 710055 )

摘要 : 考虑到地铁隧道结构与其周围土层的相互作用, 本文建立一种新的隧道结构振动特性的理论分

析方 法。首先 , 基于考虑横向剪切变形的中厚壳理 论, 建立 了隧道结 构的振动 方程, 其次, 基于均 匀、

各向 同性、线弹性介质的纳维波动理论, 建立了隧道周围土体的运动方程, 在此基础上, 利用波传播方

法, 通过界面连续条件建立了基于土与结构动力相互作用 的隧道结构振动控制方程, 利用其频散特征

方程 对隧道结构的振动特性进行了分析, 并与基于 薄壳理论、有限元 理论的相应 结果进行 了对比, 验

证了 方程的有效性。

关键 词: 隧道结构; 土; 相互作用; 波传播方法; 振动特性

中图 分类号: TU 311. 3; P315. 965

文献标志码: A

Study on vibration characteristics of tunnel structure

based on soil structure interaction

WANG X in, L IU Z engrong, L I Yunzhang

( Schoo l of C ivil Engin eering, X i an U n iversity of A rch itectu re and Technology, X i an 710055, Ch ina)

Abstract: C onsidering the in teraction between the subw ay tunne l structu re and th e surrounding so i,l w e estab lish a

new theoret ica l analysism ethod for v ib rat ion characterist ics of the tunnel structure. F irst ly, on the basis o f the m od

erate ly th ick cylin drical she ll theory to consider the transverse shear deform a tion, the v ib rat ion equat ion o f tunne l

structure is form u lated. Secondly, the m otion equat ion o f the so il around the tunnel is also set up by using N av ier

s w ave theory for hom ogeneous, isotrop ic, linear e lastic m ed ia. Based on these, by using the w ave propagation ap

proach, the vibration contro l equation of the tunnel structure consid ering so il structu re dynam ic in teraction is fin ally

estab lished by m eans of the in terface continuous cond it ions, and then, analysis o f the v ib rat ion characterist ic o f the

tunne l structure is carried out by tak ing advantage o f its dispersion characteristic equa tion, wh ich va lidates the ef

fect iveness o f the equation gotten above and m akes comparison w ith the co rrespond ing resu lts obta in ed by the th in

shell th eory and the f in ite elem ent m e th od.

K ey w ord s: tunnel structure; so i;l in teraction; w ave propagation approach; vibration characterist ic

引言

地铁凭借其自身运量大、速度快、安全可靠以及运行准时等特点, 成为解决城市交通问题的重要手段, 对

收稿日期: 2010- 01- 26;

修订日期: 2010- 05- 05

基金项目: 国家自然科学基金项目 ( 59978038) ; 陕西省重点实验室基金项目 ( 05JS19 )

作者简介: 王

鑫 ( 1982- ) , 男, 博士研究生, 主要从事土与结构相互作用的理论与应用研究. E m ai:l w angsan jin@ yahoo. com. cn

第 5期

王

鑫等: 基于土与结构相互 作用的隧道结构振动特性的理论研究

143

于地铁隧道结构的振动特性研究也就成为一项重要的课题。地下结构动力分析的一个重要内容就是确定结

构的自振特性, 而且地下结构动力计算的设计荷载也需要依据结构自振频率来确定。目前对于岩土介质中

结构的振动特性研究的方法大致可以归结为: ( 1)室内与现场的实验研究; ( 2)有限元加边界元法进行数值

计算; ( 3)将介质看成无限弹性空间的理论分析。对于土介质中隧道结构振动特性的室内与现场实验研究,

由于受到场地条件及激振能量的而难以实现, 而考虑土介质与隧道结构相互作用的结构振动特性理论

研究, 很少有文献涉及。本文将隧道结构视为中厚圆柱壳, 利用考虑横向剪切变形的中厚壳理论建立其振动

方程, 而将隧道周围的土层简化为均匀、各向同性、线弹性介质, 利用 N av ier s波动理论建立其运动方程, 在

此基础上, 利用波传播方法, 通过接触面连续条件, 建立了考虑隧道结构与周围地层耦合作用的隧道结构振

动控制方程, 对土介质中的隧道结构的振动特性进行了分析研究。

1 隧道结构振动方程

圆柱壳结构目前已广泛应用于城市基础设施、石油运

输、航空工业等领域, 对其进行的研究也主要是基于薄壳理

论 (厚径比小于 1 /20) , 特别是管道振动特性的分 析

[ 1- 3]

,

文献 [ 4]在对地铁列车引起的地层振动分析中, 也采用薄壳

理论建立隧道结构的振动控制方程, 忽略了隧道结构的横

向剪切变形, 认为隧道 (壳 )表面的位移与中位面相等。考

虑到隧道结构厚径比一般大于 1 /12, 此方法显然是不合适

的。本文采用考虑横向剪切变形的中厚圆柱壳理论, 建立

隧道结构的振动方程, 所采用的坐标系统以及几何模型如

图 1所示, 得到的关于五个隧道中面位移分量的基本微分

[ 5,  6]

图 1 隧道和土的几何模型

F ig. 1 T he g eom etr ic m ode l o f the tunne l and the so il

2

x 2

+

1 - v

2R 2

2

u

2

+

1 + v

2R

2

x

+

v

R

w

x

+

( a)

h2

12R

(

2

x 2

-

1 - v

2R 2

2

2

-

1 - v

2R 2

2

x

) +

1

K

qx =

1

K

J 0

2

t2

1 + v

2R

2u

x

+

1 - v   2

2   x 2

+

1

R 2

2 v

2

+

1

R 2

w

+

(a )

h2

12R

(

1 - v   2

2   x 2

-

1

R 2

2

2

)+

1

K

1 Gh

R k

( -

v

R

+

1

R

w

) +

1

K

q =

1

K

J 0

2

t2

-

v

R

u

x

-

1

R 2

-

1

R 2

w +

(a)

h2

12R 3

+

1 Gh

K k

x

(

+

w

x

) +

1 Gh 1

K k  R

(

-

R

+

1

R

w

) +

q =

1

K

J 0

2

t2

( 1 )

2

x

2

+

1 - v

2R 2

2

2

+

1 + v

2R

2

x

+

(a)

1

R

(

2

x 2

-

1 - v

2R 2

2

u

2

)-

1 Gh

D k

(

+

w

x

) -

m x

D

=

1

D

J 2

2

t2

1 - v   2

2   x 2

+

1

R 2

2

2

+

1 + v   2

2R  x

+

( a)

1

R

(

1 - v   2

2   x 2

-

1

R 2

2

2

-

1

R 2

w

) -

1 Gh

D k

( -

R

+

1

R

w

x

)-

m

D

=

1

D

J 2

2

t2

式中, x, , r为壳体的轴向、切向和径向坐标, E, G, , v 分别为隧道结构材料的杨氏模量、剪切模量、密度、泊

2                     3                     2                                  3

, w 分别表示隧道结构中面上一点轴向、切向和径向的位移, ,

分别表示隧道中面一点在 x - r, - r 平面

内的转角, qx, q , qr, m x, m 分别表示隧道结构中面在轴向、切向和径向、以及在 x - r,

- r 平面内受到的外

力,

(a)

表示该项为附加项, k 为剪切因子, 对于圆柱壳来说, k = 6 /5。

对基于中厚圆柱壳理论的隧道结构中面的位移函数, 采用波传播方法

[ 1- 2]

, 式 ( 1)中的位移可表示为满

足边界条件与轴向传播波波数 k 和周向模态数 n有关的波传播形式的解, 如式 ( 2 )所示。

u = U cos( n ) exp i( t - kx )

= V sin ( n ) exp i( t - kx )

w = W cos( n ) exp i( t - kx )

( 2 )

=

=

cos( n ) exp i( t - kx )

sin ( n ) exp i( t - kx )

式中, U, V, W,

,

分别为隧道结构在 x, , r 方向以及在 x - r,

- r 平面内的位移幅值,

为圆频率。将式

方程如式 ( 1)所示

。

u

u

1

K   r

w

u

松比, h 为隧道结构的厚度, R 为隧道中面的半径, K = Eh / ( 1- v ), D = Eh / 12 ( 1- v ), J 0 = h, J 2 = h /12, u,

144

地

震

工

程

与

工

程

振

动

第 30卷

( 2)代入式 ( 1), 并忽略附加项的影响, 得到隧道结构的振动方程, 以矩阵形式表示如式 ( 3)所示。

g lU + Kq = 0

( 3 )

式中, g, K, 为 5 5的对角线系数矩阵, l为 5

5的系数矩阵, 其中, g, K, l各元素的表达式如下式 ( 4) ( 5)所

示, U = { U, V, W,

,

T                                                   T

K 11 = K 22 = K 33 = 1 /K, K 44 = K 55 = - 1 /D

g 11 = cos( n ) exp i( t - kx )

g 22 = sin ( n ) exp i( t - kx )

g 33 = cos( n ) exp i( t - kx )

g 44 = cos( n ) exp i( t - kx )

g 55 = sin ( n ) exp i( t - kx )

( 4 )

2

1 - v 2

2 n

2R

+

J 0

K

2

, l12 = -

1 + v

2R

ikn = - l21, l13 = - ik

v

R

= - l31, l14 = l15 = 0

l22 = -

1 - v 2

k -

2

1   2

2 n -

R

1 Gh

2

+

J 0

K

2

, l23 = -

1

2 n -

R

1 Gh

2

1 Gh

KR k

l33 = - 12 -

R

1 2 G hn 2 - 1 Gh k 2 + J 0    2, l34 = - 1 Gh k, l35 = 1 Gh n

KR k    K k    K         K k       KR k

( 5 )

l41 = l42 = 0, l43 =

1 Gh

D k

2

1 - v 2

2 n

2R

-

1 Gh

D k

+

J 2

D

2

, l45 = -

1 + v

2R

ikn = - l54

l51 = 0, l52 =

1 G h, l53 =

DR k

1 Gh n, l55 = - 1 - v k2 - 1 n 2 - 1 Gh + J 2

DR k         2    R    D k   D

2

2 土体运动方程

假定隧道结构周围土体为均匀、各向同性的线弹性介质, 则土介质中任意一点的位移都可以满足纳维

( N av ier s)波动方程, 隧道周围土体的运动方程可以表达为如式 ( 6)的形式

[ 7- 8]

。

(

+

)

u +

2

u +

s f =

s

2

2

( 6 )

T

= 2vsG s / ( 1- 2vs ),

= E s /2 ( 1+ vs )为土体的拉梅弹性常数, E s,

G s, vs,    s 分别为土体的杨氏变形模量、剪切模量、泊松比以及密度, f为土体的体力矢量, 动力计算中通常予

以省略,

为 H am ilton微分算子。

纳维方程的微分算子结构比较复杂, 往往是难以积分求解的, 但可以通过将 u通过某种变换来简化方

程, 这种变换通常要引入势函数, 其中一种就是引入拉梅势。根据斯托克斯 - 亥姆霍兹矢量分解定理, 位移

场可以分解为无旋场与无散场两个部分。如果位移矢量 u是纳维方程的二次可微解, 那么就存在一个标量

势函数

和一个矢量势函数

, 使得位移矢量场可以表示为如式 ( 7)的形式, 且

和

分别满足式 ( 8)形

式的波动方程, 式中, c1, c2 分别为土介质中纵波和剪切波波速。

u =

+

( 7 )

2

=

1

2

2

2

,

2

=

1

2

2

2

( 8 )

利用式 ( 7)拉梅势函数分解得到的土介质的位移分量可以表示为式 ( 9)的形式。

} , q = { qx, q , qr, m x, m } 。

l11 = - k -

KR

k

n = l32, l24 = 0, l25 =

KR

k r

i

ik, l44 = - k -

2

u

t

式中, u = {u r, u , ux } 为土体的位移矢量,

c1

t

c2

t

第 5期

王

鑫等: 基于土与结构相互 作用的隧道结构振动特性的理论研究

145

ur =

r

+

1

r

x

-

x

u =

1

r

+

x

r

-

x

r

( 9 )

ux =

x

+

1

r

(r

r

)

-

1

r

r

式中

,

x

,

,

r

为满足柱坐标系下的 H elm ho ltz波动方程的标量势函数和矢量势函数在 x, , r 三个方向

上的投影。

满足式 ( 8)表示的波动方程的波传播解可以表示为:

= f ( r) co s( n ) exp i( t - kx )

r

x

= - ig r ( r) sin ( n ) exp i( t - kx )

= - ig ( r) cos( n ) exp i( t - kx )

= gx ( r) sin ( n ) exp i( t - kx )

( 10 )

式中, f ( r ), gr ( r ), g ( r), gx ( r )为势函数。

将式 ( 10)代入式 ( 8)得:

2

2 +

dr

1 df

r dr

-

2

2 -

r

2

c1

2

2

2

2

2

+

+

1 dgr

r dr

1 dg

r dr

r                        c2

r                        c2

2                                            2

2                                            2

2

2

( 11 )

2

2

+

1 dgx

r d

-

2

2 -

r

2

c2

2

利用规范变换不变性, 可以设 g r = - g , 代入式 ( 11)中的第二、三式, 并整理可得:

2

2

2

2

+

+

1 dg r

r dr

1 dg

r dr

-

-

2

2

2

( n + 2 1) - (

r

2

c2

2

c2

2

2

g r = 0

g = 0

( 12 )

可见, 方程组 ( 11)满足贝塞尔函数方程, 其中第一、四式为 n阶, 第 2、3式为 n + 1阶, 又根据远场辐射

边界条件可得:

f ( r) = AW n (

1

r)

gr ( r ) = BW n+ 1 (

gx ( r) = CW n+ 1 (

2

2

r) = - g ( r)

r)

( 13 )

式中, W n、W n + 1分别为 n、n + 1阶第三类贝塞尔函数即汉克尔函数, A、B、C 为待定常系数,

1

=

2

2        2

为土介质中纵波波数的径向分量,    2 =

2

2        2

为 3个的势函数, 且均满足贝塞尔微分算子。

将式 ( 10) ( 13 )代入式 ( 9 ), 可以得到轴向位移 ux、切向位移 u 、径向位移 ur 的表达式为:

d f

n

(   2 - k ) f = 0

d g r

dr

d g

dr

1

+     2 ( - n g r + 2ng - g r ) - k g r +

= 0

2 gr

1

+     2 ( - n g + 2ng r - g ) - k g +     2 g = 0

d gx

dr

n

(   2 - k ) gx = 0

r

d g r

dr

d g

dr

( n + 1 ) - (

r

2 - k )

2 - k )

/ c1 - k ,

/c2 - k , 为土介质中剪切波波数的径向分量。 f ( r ), g r ( r), gx ( r )

146

地

震

工

程

与

工

程

振

动

第 30卷

ur =

1

AW n (

1

r) - kBW n+ 1 (

2

r) + n CW n+ 1 (

r

2

r ) cos( n ) exp i( t - kx )

u =

-

n

r

AW n (

1

r) - kBW n+ 1 (

2

r) -

2

CW n+ 1 (

2

r) sin ( n ) exp i( t - kx )

( 14 )

ux =

- ikAW n (

1

r ) + i 2 BW n+ 1 (

2

r) + i

n+ 1

BW n+ 1 (

r

2

r) co s( n ) exp i( t - kx )

又由胡克定律应力与应变的关系可得土介质中的应力表达式:

rr

= A ( + )  21W n (  1 r ) +

1

r

W n (  1 r) -

2

2

2 + k

r

W n (  1 r )

- B [ 2 kB 2W n+ 1 (  2 r ) ] + C 2 n   2W n+ 1 (  2 r) +

r

2

2 W n+ 1 (  2 r )

r

cos(n ) exp i( t - kx )

r

=

2A n2 W n ( 1 r) - n   1W n (  1 r) + B n + 1kW n+ 1 (  2 r) - k 2W n+ 1 (  2 r )

r         r             r

2

2

r           r

( 15 )

rx

=

- 2ikA  1W n (  2 r) - ik

n

r

CW n+ 1 (  2 r)

+B

2

n+ 1

2

r

W n+ 1 (

2

r) + i 2

n+ 1

r

cos( n ) exp i( t - kx )

3 基于土 - 结构相互作用的隧道结构振动控制方程

在隧道结构与周围土体的接触面上, 隧道结构 (圆柱壳 )的表面位移与土介质的位移相等, 利用圆柱壳

中面位移与表面位移的关系, 建立隧道结构中面与土介质的位移连续条件如式 ( 16)所示。

U co s( n ) exp i( t - kx ) +

V sin ( n ) exp i( t - kx ) +

cos( n ) exp i( t - kx )

sin ( n ) exp i( t - kx )

h

2

h

2

= ux

= u

r = R+

2

h

2

( 16 )

W co s( n ) exp i( Xt - kx ) = ur

r= R+

h

2

将式 ( 14)代入式 ( 16) , 得到矩阵形式表示的位移连续条件:

Q 11

Q 12 Q 13

A

U+

h

2

5

Q 21

Q 31

Q 22 Q 23

Q 32 Q 33

r = R+ n / 2

B =

C

V+

h

2

7

( 17 )

W

式中,

Q 11 = - ikW n ( N1 r), Q 12 = iN2W cn+ 1 ( N2 r ) + i

n+ 1

r

Q 21 = -

n

r

W n ( N1 r ), Q 22 = - kW n+ 1 ( N2 r), Q 23 = - N2W cn+ 1 ( N2 r );

Q 31 = N1W nc ( N1 r ), Q 32 = - kW n+ 1 ( N2 r), Q 33 =

n

r

W n+ 1 ( N2 r ).

又由接触面上的力的连续条件, 得到土介质作用在隧道结构外表面上的力为:

n

n

1

n

sin (n ) exp i( t - kx )

+C

2W n+ 1 (  2 r) -

2 W n+ 1 (  2 r) -

2W n+ 1 (  2 r )

ik - i

kW n+ 1 (  2 r) + i 2W n+ 1 (  2 r )

r = R+ h

W n+ 1 ( N2 r), Q 13 = 0;

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