要求：快速完成！并写出方法小结或感悟！
1．已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，当时，下列结论正确的是
A． B． C． D．
答案：A
解析：反比例函数的图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，所以，当时，有
2．（2013•铁岭）如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是 ．
| 考点： | 反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．3718684 |
| 分析： | 过P作PB⊥OA于B，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA为等腰直角三角形，所以OB=AB，于是S△POB=S△POA=×2=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k的值． |
| 解答： | 解：过P作PB⊥OA于B，如图， ∵正比例函数的解析式为y=x， ∴∠POA=45°， ∵PA⊥OP， ∴△POA为等腰直角三角形， ∴OB=AB， ∴S△POB=S△POA=×2=1， ∴k=1， ∴k=2． 故答案为2． |
| 点评： | 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了等腰直角三角形的性质． |
| 考点： | 反比例函数系数k的几何意义． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 作PE⊥x轴，PF⊥y轴，根据矩形的性质得矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k=1． |
| 解答： | 解：作PE⊥x轴，PF⊥y轴，如图， ∵点P为矩形AOBC对角线的交点， ∴矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1， ∴|k|=1， 而k＞0， ∴k=1， ∴过P点的反比例函数的解析式为y=． |
| 点评： | 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． |
（1）求反比例函数的关系式；
（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．
| 考点： | 反比例函数与一次函数的交点问题． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）设反比例解析式为，将B坐标代入直线y=x﹣2中求出m的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过C作CD垂直于y轴，过B作BE垂直于y轴，设y=x﹣2平移后解析式为y=x+b，C坐标为（a，a+b），三角形ABC面积=梯形BEDC面积+三角形ABE面积﹣三角形ACD面积，由已知三角形ABC面积列出关系式，将C坐标代入反比例解析式中列出关系式，两关系式联立求出b的值，即可确定出平移后直线的解析式． |
| 解答： | 解：（1）将B坐标代入直线y=x﹣2中得：m﹣2=2， 解得：m=4， 则B（4，2），即BE=4，OE=2， 设反比例解析式为y=， 将B（4，2）代入反比例解析式得：k=8， 则反比例解析式为； （2）设平移后直线解析式为y=x+b，C（a，a+b）， 对于直线y=x﹣2，令x=0求出y=﹣2，得到OA=2， 过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴， 将C坐标代入反比例解析式得：a（a+b）=8， ∵S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE﹣S△ACD=18， ∴×（a+4）×（a+b﹣2）+×（2+2）×4﹣×a×（a+b+2）=18， 解得：b=7， 则平移后直线解析式为y=x+7． |
| 点评： | 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． |
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
| 考点： | 反比例函数综合题．3718684 |
| 分析： | （1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式； （2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； （3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状． |
| 解答： | 解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0）， ∵A（m，﹣2）在y=2x上， ∴﹣2=2m， ∴m=﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， 又∵点A在y=上， ∴k=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围﹣1＜x＜0或x＞1； （3）四边形OABC是菱形． 证明：∵A（﹣1，﹣2）， ∴OA==， 由题意知：CB∥OA且CB=， ∴CB=OA， ∴四边形OABC是平行四边形， ∵C（2，n）在y=上， ∴n=1， ∴C（2，1）， OC==， ∴OC=OA， ∴四边形OABC是菱形． |
| 点评： | 本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题． |
例．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于 ．
答案：－12
解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，CG交AD于M点，过D点作DH⊥CG，垂足为H，
∵CD∥AB，CD=AB，∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C（m，n），D（m－1，n－2），
则mn＝（m－1）（n－2）=k，解得n=2－2m，
BC＝＝，AB＝，因为BC＝2AB，
解得：m＝－2，n＝6，所以，k＝mn＝－12
2．（2013•莆田）如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求AN•BM的值．
| 考点： | 反比例函数与一次函数的交点问题． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对于y与x的值，确定出OA与OB的值，进而C的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，根据P在反比例解析式上，设出P坐标得出ND的长，根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长，即可求出所求式子的值． |
| 解答： | 解：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形， 对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=﹣1， ∴OA=OB=1， ∴C（﹣1，1）， 将C（﹣1，1）代入y=得：1=，即k=﹣1， 则反比例函数解析式为y=﹣； （2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴， 设P（a，﹣），可得ND=﹣，ME=|a|=﹣a， ∵△AND和△BME为等腰直角三角形， ∴AN=×（﹣）=﹣，BM=﹣a， 则AN•BM=﹣•（﹣a）=2． |
| 点评： | 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． |
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
| 考点： | 相似形综合题． |
| 分析： | （1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF； （2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考； ②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考． |
| 解答： | （1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形， 如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2． 在△AND与△CDM中， ∴△AND≌△CDM（ASA）， ∴DM=DN． ∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中， ∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF． （2）①答：AE=DF． 证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD， ∴，即MF•EN=DE•DF． 同理△AEN∽△MFB， ∴，即MF•EN=AE•BF． ∴DE•DF=AE•BF， ∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF）， ∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF． 证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． ∵D为AB中点， ∴DQ=PC=PB． 易证△DMF∽△NDE，∴， 易证△DMP∽△DNQ，∴， ∴； 易证△AEN∽△DPB，∴， ∴，∴AE=DF． ②答：DF=kAE． 证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF， ∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD） ∴AD•DF=AE•BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE． 证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． 易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ． 由①同理可得：， ∴； 又∵， ∴， ∴DF=kAE． |
| 点评： | 本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想． |
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