2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（　　）

A．{0，1}    B．{﹣1，0，1}    C．{0，1，2}    D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）设a，b∈R且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（　　）

A．b2=3a2    B．a2=3b2    C．b2=9a2    D．a2=9b2

3．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（　　）

A．y轴对称    B．直线y=﹣x对称    C．坐标原点对称    D．直线y=x对称

4．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b    C．b＜a＜c    D．b＜c＜a

5．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（　　）

A．﹣2    B．﹣4    C．﹣6    D．﹣8

6．（5分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（5分）（1﹣）6（1+）4的展开式中x的系数是（　　）

A．﹣4    B．﹣3    C．3    D．4

8．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（　　）

A．1    B．    C．    D．2

9．（5分）设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．    B．    C．（2，5）    D．

10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

11．（5分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（　　）

A．3    B．2    C．    D．

12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（　　）

A．1    B．    C．    D．2

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=　　．

14．（5分）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　．

15．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于　　．

16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①　　；

充要条件②　　．

（写出你认为正确的两个充要条件）

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在△ABC中，cosB=﹣，cosC=．

（1）求sinA的值

（2）设△ABC的面积S△ABC=，求BC的长．

18．（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．

（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；

（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的大小．

20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由

（Ⅰ）设bn=Sn﹣3n，求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

22．（12分）设函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（　　）

A．{0，1}    B．{﹣1，0，1}    C．{0，1，2}    D．{﹣1，0，1，2}

【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．

【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，

∴M∩N={﹣1，0，1}，

故选B．

2．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）设a，b∈R且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（　　）

A．b2=3a2    B．a2=3b2    C．b2=9a2    D．a2=9b2

【分析】复数展开，化为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部为0即可．

【解答】解：（a+bi）3=a3+3a2bi﹣3ab2﹣b3i=（a3﹣3ab2）+（3a2b﹣b3）i，因是实数且b≠0，所以3a2b﹣b3=0⇒b2=3a2

故选A．

3．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）函数f（x）=﹣x的图象关于（　　）

A．y轴对称    B．直线y=﹣x对称    C．坐标原点对称    D．直线y=x对称

【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．

【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）

∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称

故选C．

4．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b    C．b＜a＜c    D．b＜c＜a

【分析】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．

【解答】解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，

故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），

于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．

又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．

综上所述，b＜a＜c．

故选C

5．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（　　）

A．﹣2    B．﹣4    C．﹣6    D．﹣8

【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．

【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，

由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8

故选D．

6．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C303种结果，而满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101种结果．代入公式得到结果．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

∵试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C303种结果，

满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101种结果，

∴由古典概型公式得到

，

故选D．

7．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）（1﹣）6（1+）4的展开式中x的系数是（　　）

A．﹣4    B．﹣3    C．3    D．4

【分析】展开式中x的系数由三部分和组成：的常数项与展开式的x的系数积；的展开式的x的系数与的常数项的积；的的系数与的的系数积．利用二项展开式的通项求得各项系数．

【解答】解：的展开式的通项为

∴展开式中常数项为C60，含x的项的系数为C62，含的项的系数为﹣C61

的展开式的通项为

∴的展开式中的x的系数为C42，常数项为C40，含的项的系数为C41

故的展开式中x的系数是

C60C42+C62C40﹣C61C41=6+15﹣24=﹣3

故选项为B

8．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（　　）

A．1    B．    C．    D．2

【分析】可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可．

【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx

令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|

当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值

故选B．

9．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．    B．    C．（2，5）    D．

【分析】根据题设条件可知：，然后由实数a的取值范围可以求出离心率e的取值范围．

【解答】解：，

因为是减函数，所以当a＞1时，

所以2＜e2＜5，即，

故选B．

10．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．

【解答】解：建立如图所示坐标系，

令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），

S（0，0，），E，

=，

=（﹣1，﹣1，﹣）

∴cos＜＞=

故选C．

11．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（　　）

A．3    B．2    C．    D．

【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y=kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可．

【解答】解：l1：x+y﹣2=0，k1=﹣1，，设底边为l3：y=kx

由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k=3或k=﹣，

因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．

k=，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），

故选A．

12．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（　　）

A．1    B．    C．    D．2

【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．

【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，

于是对角线O1O2=OE，而OE==，

∴O1O2=

故选C．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）设向量，若向量与向量共线，则λ=　2　．

【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．

【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），

∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．

∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，

∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，

∴λ=2．

故答案为2

14．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　2　．

【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．

【解答】解：∵y=eax∴y′=aeax

∴曲线y=eax在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0

∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直

∴﹣a=﹣1，即a=2．

故答案为：2

15．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于　　．

【分析】先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．

【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）

由，，（x1＞x2）

∴由抛物线的定义知

故答案为：

16．（5分）（2008•全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①　三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体　；

充要条件②　平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；　．

（写出你认为正确的两个充要条件）

【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理，由平行六面体与平行四边形的定义相似，故我们可以类比平行四边形的性质，类比推断平行六面体的性质．

【解答】解：类比平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，

则我们类比得到：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体．

类比平行四边形的性质：两条对角线互相平分，

则我们类比得到：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；

故答案为：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（2008•全国卷Ⅱ）在△ABC中，cosB=﹣，cosC=．

（1）求sinA的值

（2）设△ABC的面积S△ABC=，求BC的长．

【分析】（Ⅰ）由cosB，cosC分别求得sinB和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得sinA．

（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB•AC的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC．

【解答】解：（Ⅰ）由，得，

由，得．

所以．

（Ⅱ）由得，

由（Ⅰ）知，

故AB×AC=65，

又，

故，．

所以．

18．（12分）（2008•全国卷Ⅱ）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

【分析】（1）由题意知各投保人是否出险互相，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，由题意知ξ服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险．

（2）写出本险种的收入和支出，表示出它的盈利期望，根据为保证盈利的期望不小于0，列出不等式，解出每位投保人应交纳的最低保费．

【解答】解：由题意知

各投保人是否出险互相，且出险的概率都是p，

记投保的10000人中出险的人数为ξ，

由题意知ξ～B（104，p）．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，

则发生当且仅当ξ=0，

=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，

又P（A）=1﹣0.999104，

故p=0.001．

（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出10000ξ+50000，

盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），

盈利的期望为Eη=10000a﹣10000Eξ﹣50000，

由ξ～B（104，10﹣3）知，

Eξ=10000×10﹣3，

Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104．

Eη≥0⇔104a﹣104×10﹣5×104≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15（元）．

∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．

19．（12分）（2008•全国卷Ⅱ）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．

（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；

（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的大小．

【分析】法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B的大小．

法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，证明A1C⊥平面DBE．

（Ⅱ）求出 平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B的大小．

【解答】解：解法一：

依题设知AB=2，CE=1．

（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．

由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）

在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G，

由于，

故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．

于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，

所以A1C⊥平面BED．（6分）

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，

故∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角．（8分）

，，．，．

又，．．

所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为．（（12分））

解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．

依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．

，．（3分）

（Ⅰ）因为，，

故A1C⊥BD，A1C⊥DE．

又DB∩DE=D，

所以A1C⊥平面DBE．（6分）

（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA1E的法向量，则，．

故2y+z=0，2x+4z=0．

令y=1，则z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9分）等于二面角A1﹣DE﹣B的平面角，

所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为．（12分）

20．（12分）（2008•全国卷Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由

（Ⅰ）设bn=Sn﹣3n，求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．所以bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．

（Ⅱ）由题设条件知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，an=Sn﹣Sn﹣1=，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，

由此得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．（4分）

因此，所求通项公式为bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）

（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，

于是，当n≥2时，

an=Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，

an+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，

当n≥2时，⇔a≥﹣9．

又a2=a1+3＞a1．

综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）

21．（12分）（2008•全国卷Ⅱ）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．

（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．

【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，

直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．

如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，

且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，

故．①

由知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得；

由D在AB上知x0+2kx0=2，得．

所以，

化简得24k2﹣25k+6=0，

解得或．

（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），

不妨设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称可知y2=﹣y1＞0，

故四边形AEBF的面积为S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF

=•（﹣y1）

=

=x2+2y2

===，

当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为．

22．（12分）（2008•全国卷Ⅱ）设函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．

（2）令g（x）=ax﹣f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分类讨论的方法求出a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）．（2分）

当（k∈Z）时，，即f'（x）＞0；

当（k∈Z）时，，即f'（x）＜0．

因此f（x）在每一个区间（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间（k∈Z）是减函数．（6分）

（Ⅱ）令g（x）=ax﹣f（x），则==．

故当时，g'（x）≥0．

又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）

当时，令h（x）=sinx﹣3ax，则h'（x）=cosx﹣3a．

故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．

因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．

故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，

即sinx＞3ax．

于是，当x∈（0，arccos3a）时，．

当a≤0时，有．

因此，a的取值范围是．（12分）