2018-2019学年重庆八中八年级(下)第二学期期末数学试卷及答案 含解析

一、选择题

1．反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（﹣1，3），则k的值为（　　）

A．3    B．    C．﹣3    D．﹣

2．若△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，则∠D的度数是（　　）

A．50°    B．60°    C．70°    D．80°

3．分式有意义，则x的取值范围为（　　）

A．x≠0    B．x≠2    

C．x≠0且x≠2    D．x为一切实数

4．六边形的内角和等于（　　）

A．180°    B．360°    C．540°    D．720°

5．方程x2＝3x的解是（　　）

A．x＝3    B．x＝﹣3    C．x＝0    D．x＝3或x＝0

6．下列命题是真命题的是（　　）

A．方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数为3，一次项系数为﹣2    

B．四个角都是直角的两个四边形一定相似    

C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖    

D．对角线相等的四边形是矩形

7．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＜4    B．k＞4    C．k＜0    D．k＞0

8．菱形周长为20，它的一条对角线长6，则菱形的另一条对角线长为（　　）

A．2    B．4    C．6    D．8

9．某企业今年一月工业产值达20亿元，第一季度总产值达90亿元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程（　　）

A．20（1+x）2＝90    

B．20+20（1+x）2＝90    

C．20（1+x）+20+（1+x）2＝90    

D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝90

10．函数y＝kx+b与y＝（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A．    B．    

C．    D．

二、填空题（共6个小题）

11．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为　   　．

12．一组数据10，9，10，12，9的中位数是　   　．

13．关于x一元二次方程x2+mx﹣4＝0的一个根为x＝﹣1，则另一个根为x＝　   　．

14．若＝3，则＝　   　．

15．已知一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为　   　．

16．双曲线y1＝，y2＝在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作y轴的平行线交y2于点B，交x轴于点C，若S△AOB＝1，则k的值为　   　．

三、解答题

17．解方程

（1）x2+x﹣1＝0；

（2）（x+2）（x+3）＝20

18．先化简，再求值：（﹣a+1+）÷，其中a＝3．

19．近日，我校八年级同学进行了体育测试．为了解大家的身体素质情况，一个课外活动小组随机调查了部分同学的测试成绩，并将结果分为“优”、“良”、“中”、“差”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（未完善），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总数为　   　人；

（2）在扇形统计图中，B所对应扇形的圆心角是　   　度，并将条形统计图补充完整；

（3）在“优”和“良”两个等级的同学中各有两人愿意接受进一步训练，现打算从中随机选出两位进行训练，请用列表法或画树状图的方法，求出所选的两位同学测试成绩恰好都为“良”的概率．

20．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣1|+b中，当x＝1时，y＝3，当x＝0时，y＝4．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象；

（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣1|+b≥的解集．

四、填空题：（共5个小题，每小题4分，共20分）请将每小題的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

21．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　   　．

22．如图，在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）的图象上分别有一点E，F，连接E，F交y轴于点G，若E（﹣1，1）且2EG＝FG，则OG＝　   　．

23．若关于x的一元一次不等式组所有整数解的和为﹣9，且关于y的分式方程1﹣＝有整数解，则符合条件的所有整数a为　   　．

24．2019年6月12日，重庆直达高铁的车票正式开售，据悉，重庆直达的这趟G319/320次高铁预计在7月份开行，全程1342公里只需7个半小时．该车次沿途停靠站点包括遵义、贵阳东、桂林西、肇庆东、广州南和深圳北．重庆直达高铁开通将为重庆旅游业发展增添生机与活力，预计重庆旅游经济将创新高．在此之前技术部门做了大量测试，在一次测试中一高铁列车从A地出发，匀速驶向B地，到达B地停止；同时一普快列车从B地出发，匀速驶向A地，到达A地停止．且A，B两地之间有一C地，其中AC＝2BC，如图①，两列车与C地的距离之和y（千米）与普快列车行驶时间x（小时）之间的关系如图②所示．则高铁列车到达B地时，普快列车离A地的距离为　   　千米．

25．为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品　   　件．

五、解答题（共3个小题，每题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26．为了准备“欢乐颂﹣﹣创意市场”，初2020级某同学到批发市场购买了A、B两种原材料，A的单价为每件6元，B的单价为每件3元，该同学的创意作品需要B材料的数量是A材料数量的2倍，同时，为了减少成本，该同学购买原材料的总费用不超过480元．

（1）该同学最多购买多少件B材料；

（2）在该同学购买B材料最多的前提下，用所购买的A，B两种材料全部制作作品，在制作中其他费用共花了520元，活动当天，该同学在成本价（购买材料费用+其他费用）的基础上整体提高2a%（a＞0）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．

27．如图，▱ABCD中，点E为BC边上一点，过点E作EF⊥AB于F，已知∠D＝2∠AEF．

（1）若∠BAE＝70°，求∠BEA的度数；

（2）连接AC，过点E作EG⊥AC于G，延长EG交AD于点H，若∠ACB＝45°，求证：AH＝AF+AC．

28．如图，平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，AO＝BO，点C在x轴上方，AC⊥BC，∠CAB＝30°，线段AC交y轴于点D，DO＝2，连接BD，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于E．

（1）点C的坐标为　   　；

（2）将△ADO沿线段DE向右平移得△A′D'O'，当点D'与E重合时停止运动，记△A'D'O′与△DEB的重叠部分面积为S，点P为线段BD上一动点，当S＝时，求CD'+D'P+PB的最小值．

（3）当△A'D'O'移动到点D'与E重合时，将△A'D'O'绕点E旋转一周，旋转过程中，直线BD分别与直线A'D'、直线D'O'交于点G、点H，作点D关于直线A'D'的对称点D0，连接D0、G、H．当△GD0H为直角三角形时，直接写出线段D0H的长．

参

一、选择题（10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡中对应的表格内.

1．反比例函数y＝（k≠0）的图象过点（﹣1，3），则k的值为（　　）

A．3    B．    C．﹣3    D．﹣

【分析】把点（﹣1，3）代入解析式即可求出k的值．

解：把（﹣1，3）代入反比例函数y＝（k≠0），得

3＝，

解得：k＝﹣3．

故选：C．

2．若△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，则∠D的度数是（　　）

A．50°    B．60°    C．70°    D．80°

【分析】根据相似三角形的对应角相等可得∠D＝∠A．

解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝50°，

∴∠D＝∠A＝50°．

故选：A．

3．分式有意义，则x的取值范围为（　　）

A．x≠0    B．x≠2    

C．x≠0且x≠2    D．x为一切实数

【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．

解：分式有意义，

则x﹣2≠0，

解得：x≠2．

故选：B．

4．六边形的内角和等于（　　）

A．180°    B．360°    C．540°    D．720°

【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，即可求得六边形的内角和．

解：六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720度．

故选：D．

5．方程x2＝3x的解是（　　）

A．x＝3    B．x＝﹣3    C．x＝0    D．x＝3或x＝0

【分析】先移项得x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．

解：x2﹣3x＝0，

x（x﹣3）＝0，

x＝0或x﹣3＝0，

所以x1＝0，x2＝3．

6．下列命题是真命题的是（　　）

A．方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数为3，一次项系数为﹣2    

B．四个角都是直角的两个四边形一定相似    

C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖    

D．对角线相等的四边形是矩形

【分析】根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．

解：A、正确．

B、错误，对应边不一定成比例．

C、错误，不一定中奖．

D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，

故选：A．

7．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＜4    B．k＞4    C．k＜0    D．k＞0

【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：方程有两个不相等的两个实数根，△＞0，进而求出即可．

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，

∴b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，

解得：k＜4．

故选：A．

8．菱形周长为20，它的一条对角线长6，则菱形的另一条对角线长为（　　）

A．2    B．4    C．6    D．8

【分析】首先根据题意画出图形，由菱形周长为20，可求得其边长，又由它的一条对角线长6，利用勾股定理即可求得菱形的另一条对角线长．

解：如图，∵菱形ABCD的周长为20，对角线AC＝6，

∴AB＝5，AC⊥BD，OA＝AC＝3，

∴OB＝＝4，

∴BD＝2OB＝8，

即菱形的另一条对角线长为8．

故选：D．

9．某企业今年一月工业产值达20亿元，第一季度总产值达90亿元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程（　　）

A．20（1+x）2＝90    

B．20+20（1+x）2＝90    

C．20（1+x）+20+（1+x）2＝90    

D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝90

【分析】设月平均增长率的百分数为x，根据某企业今年一月工业产值达20亿元，第一季度总产值达90亿元，可列方程求解．

解：设月平均增长率的百分数为x，

20+20（1+x）+20（1+x）2＝90．

故选：D．

10．函数y＝kx+b与y＝（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案．

解：在函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（k≠0）中，

当k＞0时，图象都应过一、三象限；

当k＜0时，图象都应过二、四象限．

故选：D．

二、填空题（6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上.

11．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为　1：2　．

【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．

解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．

故答案为：1：2．

12．一组数据10，9，10，12，9的中位数是　10　．

【分析】根据中位数的意义，将数据排序后找中间位置的数会中间两个数的平均数即可．

解：将数据按从小到大排列为：9，9，10，10 12，处于中间位置也就是第3位的是10，因此中位数是10，

故答案为：10．

13．关于x一元二次方程x2+mx﹣4＝0的一个根为x＝﹣1，则另一个根为x＝　4　．

【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣4，结合方程的一个根为﹣1，可求出方程的另一个根，此题得解．

解：∵a＝1，b＝m，c＝﹣4，

∴x1•x2＝＝﹣4．

∵关于x一元二次方程x2+mx﹣4＝0的一个根为x＝﹣1，

∴另一个根为﹣4÷（﹣1）＝4．

故答案为：4．

14．若＝3，则＝　4　．

【分析】根据比例的合比性质即可直接完成题目．

解：根据比例的合比性质，

原式＝；

15．已知一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为　15　．

【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是3和6，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是6，底是3，然后可以求出三角形的周长．

解：x2﹣9x+18＝0

（x﹣3）（x﹣6）＝0

解得x1＝3，x2＝6．

由三角形的三边关系可得：腰长是6，底边是3，

所故周长是：6+6+3＝15．

故答案为：15．

16．双曲线y1＝，y2＝在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作y轴的平行线交y2于点B，交x轴于点C，若S△AOB＝1，则k的值为　3　．

【分析】根据S△AOC﹣S△BOC＝S△AOB，列出方程，求出k的值．

解：由题意得：S△AOC﹣S△BOC＝S△AOB，

﹣＝1，

解得，k＝3，

故答案为：3．

三、解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题10分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上，

17．解方程

（1）x2+x﹣1＝0；

（2）（x+2）（x+3）＝20

【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；

（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解：（1）x2+x﹣1＝0，

b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，

x＝，

x1＝，x2＝；

（2）（x+2）（x+3）＝20，

整理得：x2+5x﹣14＝0，

（x+7）（x﹣2）＝0，

x+7＝0，x﹣2＝0，

x1＝﹣7，x2＝2．

18．先化简，再求值：（﹣a+1+）÷，其中a＝3．

【分析】先算括号里面的加法，再将除法转化为乘法，将结果化为最简，然后把a的值代入进行计算即可．

解：原式＝，

＝，

＝．

当a＝3时，原式＝．

19．近日，我校八年级同学进行了体育测试．为了解大家的身体素质情况，一个课外活动小组随机调查了部分同学的测试成绩，并将结果分为“优”、“良”、“中”、“差”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（未完善），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总数为　50　人；

（2）在扇形统计图中，B所对应扇形的圆心角是　144　度，并将条形统计图补充完整；

（3）在“优”和“良”两个等级的同学中各有两人愿意接受进一步训练，现打算从中随机选出两位进行训练，请用列表法或画树状图的方法，求出所选的两位同学测试成绩恰好都为“良”的概率．

【分析】（1）根据“优”的人数和所占的百分比即可求出总人数；

（2）用360°乘以“良”所占的百分比求出B所对应扇形的圆心角；用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数，求出“中”的人数，即可补全统计图；

（3）根据题意画出树状图得出所以等情况数和所选的两位同学测试成绩恰好都为“良”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

解：（1）本次调查的学生总数为：15÷30%＝50（人）；

故答案为：50；

（2）在扇形统计图中，B所对应扇形的圆心角是360°×＝144°；

“中”等级的人数是：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补图如下：

故答案为：10；

（3）“优秀”和“良”的分别用A1，A2，和B1，B2表示，则画树状图如下：

共有12种情况，所选的两位同学测试成绩恰好都为“良”的有2种，

则所选的两位同学测试成绩恰好都为“良”的概率是＝．

20．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣1|+b中，当x＝1时，y＝3，当x＝0时，y＝4．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象；

（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣1|+b≥的解集．

【分析】（1）根据在函数y＝|kx﹣1|+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝0时，y＝4，可以求得该函数的表达式；

（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象；

（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．

解：（1）∵在函数y＝|kx﹣1|+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝0时，y＝4，

∴，得，

∴这个函数的表达式是y＝|x﹣1|+3；

（2）∵y＝|x﹣1|+3，

∴y＝，

∴函数y＝x+2过点（1，3）和点（4，6）；函数y＝﹣x+4过点（0，4）和点（﹣2，6）；

该函数的图象如图所示：

（3）由函数图象可得，

不等式|kx﹣1|+b≥的解集是x≥2或x＜0．

四、填空题：（共5个小题，每小题4分，共20分）请将每小題的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

21．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，

故答案为：x（x﹣y）2

22．如图，在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）的图象上分别有一点E，F，连接E，F交y轴于点G，若E（﹣1，1）且2EG＝FG，则OG＝　　．

【分析】过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，根据平行线分线段成比例定理得：NO＝2MO＝2，从而可得F（2，2），结合E（﹣1，1）可得直线EF的解析式，求出点G的坐标后即可求解．

解：过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图：

∴EM∥GO∥FN

∵2EG＝FG

∴根据平行线分线段成比例定理得：NO＝2MO

∵E（﹣1，1）

∴MO＝1

∴NO＝2

∴点F的横坐标为2

∵F在y＝（x＞0）的图象上

∴F（2，2）

又∵E（﹣1，1）

∴由待定系数法可得：直线EF的解析式为：y＝

当x＝0时，y＝

∴G（0，）

∴OG＝

故答案为：

23．若关于x的一元一次不等式组所有整数解的和为﹣9，且关于y的分式方程1﹣＝有整数解，则符合条件的所有整数a为　﹣3　．

【分析】不等式组整理后，根据所有整数解的和为﹣9，确定出x的值，进而求出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，检验即可得到满足题意a的值，求出符合条件的所有整数a即可．

解：，

不等式组整理得：﹣4≤x＜a，

由不等式组所有整数解的和为﹣9，得到﹣2＜a≤﹣1，或1＜a≤2，

即﹣6＜a≤﹣3，或3＜a≤6，

分式方程1﹣＝，

去分母得：y2﹣4+2a＝y2+（a+2）y+2a，

解得：y＝﹣，

经检验a＝﹣3，2，﹣1，﹣6，

则符合条件的所有整数a为﹣3．

故答案为：﹣3．

24．2019年6月12日，重庆直达高铁的车票正式开售，据悉，重庆直达的这趟G319/320次高铁预计在7月份开行，全程1342公里只需7个半小时．该车次沿途停靠站点包括遵义、贵阳东、桂林西、肇庆东、广州南和深圳北．重庆直达高铁开通将为重庆旅游业发展增添生机与活力，预计重庆旅游经济将创新高．在此之前技术部门做了大量测试，在一次测试中一高铁列车从A地出发，匀速驶向B地，到达B地停止；同时一普快列车从B地出发，匀速驶向A地，到达A地停止．且A，B两地之间有一C地，其中AC＝2BC，如图①，两列车与C地的距离之和y（千米）与普快列车行驶时间x（小时）之间的关系如图②所示．则高铁列车到达B地时，普快列车离A地的距离为　360　千米．

【分析】由图象可知4.5小时两列车与C地的距离之和为0，于是高铁列车和普快列车在C站相遇，由于AC＝2BC，因此高铁列车的速度是普快列车的2倍，相遇后图象的第一个转折点，说明高铁列车到达B站，此时两车距C站的距离之和为360千米，由于V高铁＝2V普快，因此BC距离为360千米的三分之二，即240千米，普快离开C占的距离为360千米的三分之一，即120千米，于是可以得到全程为240+240×2＝720千米，当高铁列车到达B站时，普快列车离开B站240+120＝360千米，此时距A站的距离为720﹣360＝360千米．

解：∵图象过（4.5，0）

∴高铁列车和普快列车在C站相遇

∵AC＝2BC，

∴V高铁＝2V普快，

BC之间的距离为：360×＝240千米，全程为AB＝240+240×2＝720千米，

此时普快离开C站360×＝120千米，

当高铁列车到达B站时，普快列车距A站的距离为：720﹣120﹣240＝360千米，

故答案为：360．

25．为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品　320　件．

【分析】可设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，根据第一次三种纪念品总数量不超过1000件，列出方程组和不等式求解即可．

解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有

，

则24x＝29y﹣200＝19z﹣370＝m，

∵0＜m≤1000，

∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，

∵x，y、z均为正整数，

∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，

24x＝29y﹣200化为：x＝y﹣8+，

∴5y﹣8＝24n（n为正整数），

∴5y＝8+24n＝8（1+3n），

∴y＝8k（k为正整数），5k＝3n+1，

∴7≤8k≤41，n＝k+，

∴1≤k≤5，1≤2k﹣1≤9，

∵2k﹣1必为奇数且是3的整数倍．

∴2k﹣1＝3或2k﹣1＝9，

∴k＝2或k＝5，

当k＝2时，y＝16，x＝11，z＝33（舍）

∴k只能为5，

∴y＝40，x＝40，z＝70．

∴8x＝8×40＝320．

答：第一次购进A种纪念品320件．

故答案为：320．

五、解答题（共3个小题，每题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26．为了准备“欢乐颂﹣﹣创意市场”，初2020级某同学到批发市场购买了A、B两种原材料，A的单价为每件6元，B的单价为每件3元，该同学的创意作品需要B材料的数量是A材料数量的2倍，同时，为了减少成本，该同学购买原材料的总费用不超过480元．

（1）该同学最多购买多少件B材料；

（2）在该同学购买B材料最多的前提下，用所购买的A，B两种材料全部制作作品，在制作中其他费用共花了520元，活动当天，该同学在成本价（购买材料费用+其他费用）的基础上整体提高2a%（a＞0）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．

【分析】（1）设该同学购买x件B种原材料，则购买x件A种原材料，由购买原材料的总费用不超过480元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内的最大正整数即可；

（2）设y＝a%，根据该同学在本次活动中赚了a%，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．

解：（1）设该同学购买x件B种原材料，则购买x件A种原材料，

根据题意得：6×x+3×x≤480，

解得：x≤80，

∴x最大值为80，

答：该同学最多可购买80件B两种原材料．

（2）设y＝a%，

根据题意得：（520+480）×（1+2y）（1﹣y）＝（520+480）×（1+y），

整理得：4y2﹣y＝0，

解得：y＝0.25或y＝0（舍去），

∴a%＝0.25，a＝25．

答：a的值为25．

27．如图，▱ABCD中，点E为BC边上一点，过点E作EF⊥AB于F，已知∠D＝2∠AEF．

（1）若∠BAE＝70°，求∠BEA的度数；

（2）连接AC，过点E作EG⊥AC于G，延长EG交AD于点H，若∠ACB＝45°，求证：AH＝AF+AC．

【分析】（1）作BJ⊥AE于J．证明BJ是∠ABE的角平分线即可解决问题．

（2）作EM⊥AD于M，CN⊥AD于N，连接CH．证明△AEF≌△AEM（HL），△AGE≌△HGC（SAS），△EMA≌△CNH（HL），即可解决问题．

【解答】（1）解：作BJ⊥AE于J．

∵BF⊥AB，

∴∠ABJ+∠BAJ＝90°，∠AEF+∠EAF＝90°，

∴∠ABJ＝∠AEF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D＝∠ABC，

∵∠D＝2∠AEF，

∴∠ABE＝2∠AEF＝2∠ABJ，

∴∠ABJ＝∠EBJ，

∵∠ABJ+∠BAJ＝90°，∠EBJ+∠BEJ＝90°，

∴∠BAJ＝∠BEJ，

∵∠BAE＝70°，

∴∠BEA＝70°．

（2）证明：作EM⊥AD于M，CN⊥AD于N，连接CH．

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BEA，

∵∠BAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵EF⊥AB，EM⊥AD，

∴EF＝EM，

∵EA＝EA，∠AFE＝∠AME＝90°，

∴Rt△AEF≌Rt△AEM（HL），

∴AF＝AM，

∵EG⊥CG，

∴∠EGC＝90°，

∵∠ECG＝45°，

∠GCE＝45°，

∴GE＝CG，

∵AD∥BC，

∴∠GAH＝∠ECG＝45°，∠GHA＝∠CEG＝45°，

∴∠GAH＝∠GHA，

∴GA＝GH，

∵∠AGE＝∠CGH，

∴△AGE≌△HGC（SAS），

∴EA＝CH，

∵CM＝CN，∠AME＝∠CNH＝90°，

∴Rt△EMA≌Rt△CNH（HL），

∴AM＝NH，

∴AN＝HM，

∵△ACN是等腰直角三角形，

∴AC＝AN，即AN＝AC，

∴AH＝AM+HM＝AF+AC．

28．如图，平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，AO＝BO，点C在x轴上方，AC⊥BC，∠CAB＝30°，线段AC交y轴于点D，DO＝2，连接BD，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于E．

（1）点C的坐标为　（3，3）　；

（2）将△ADO沿线段DE向右平移得△A′D'O'，当点D'与E重合时停止运动，记△A'D'O′与△DEB的重叠部分面积为S，点P为线段BD上一动点，当S＝时，求CD'+D'P+PB的最小值．

（3）当△A'D'O'移动到点D'与E重合时，将△A'D'O'绕点E旋转一周，旋转过程中，直线BD分别与直线A'D'、直线D'O'交于点G、点H，作点D关于直线A'D'的对称点D0，连接D0、G、H．当△GD0H为直角三角形时，直接写出线段D0H的长．

【分析】（1）想办法求出A，D，B的坐标，求出直线AC，BC的解析式，构建方程组即可解决问题．

（2）如图2中，设BD交O′D′于G，交A′D′于F．作PH⊥OB于H．利用三角形的面积公式求出点D坐标，再证明PH＝PB，把问题转化为垂线段最短即可解决问题．

（3）在旋转过程中，符号条件的△GD0H有8种情形，分别画出图形一一求解即可．

解：（1）如图1中，

在Rt△AOD中，∵∠AOD＝90°，∠OAD＝30°，OD＝2，

∴OA＝OD＝6，∠ADO＝60°，

∴∠ODC＝120°，

∵BD平分∠ODC，

∴∠ODB＝∠ODC＝60°，

∴∠DBO＝∠DAO＝30°，

∴DA＝DB＝4，OA＝OB＝6，

∴A（﹣6，0），D（0，2），B（6，0），

∴直线AC的解析式为y＝x+2，

∵AC⊥BC，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，

由，解得，

∴C（3，3）．

（2）如图2中，设BD交O′D′于G，交A′D′于F．作PH⊥OB于H．

∵∠FD′G＝∠D′GF＝60°，

∴△D′FG是等边三角形，

∵S△D′FG＝•D′G2＝，

∴D′G＝，

∴DD′＝GD′＝2，

∴D′（2，2），

∵C（3，3），

∴CD′＝＝2，

在Rt△PHB中，∵∠PHB＝90°，∠PBH＝30°，

∴PH＝PB，

∴CD'+D'P+PB＝2+D′P+PH≤2+D′O′＝2+2，

∴CD'+D'P+PB的最小值为2+2．

（3）如图3﹣1中，当D0H⊥GH时，连接ED0．

∵ED＝ED0，EG＝EG．DG＝D0G，

∴△EDG≌△ED0G（SSS），

∴∠EDG＝∠ED0G＝30°，∠DEG＝∠D0EG，

∵∠DEB＝120°，∠A′EO′＝60°，

∴∠DEG+∠BEO′＝60°，

∵∠D0EG+∠D0EO′＝60°，

∴∠D0EO′＝∠BEO′，

∵ED0＝EB，E＝EH，

∴△EO′D0≌△EO′B（SAS），

∴∠ED0H＝∠EBH＝30°，HD0＝HB，

∴∠CD0H＝60°，

∵∠D0HG＝90°，

∴∠D0GH＝30°，设HD0＝BH＝x，则DG＝GD0＝2x，GH＝x，

∵DB＝4，

∴2x+x+x＝4，

∴x＝2﹣2．

如图3﹣2中，当∠D0GH＝90°时，同法可证∠D0HG＝30°，易证四边形DED0H是等腰梯形，

∵DE＝ED0＝DH＝4，可得D0H＝4+2×4×cos30°＝4+4．

如图3﹣3中，当D0H⊥GH时，同法可证：∠D0GH＝30°，

在△EHD0中，由∠D0HE＝45°，∠HD0E＝30°，ED0＝4，可得D0H＝4×+4×＝2+2，

如图3﹣4中，当DG⊥GH时，同法可得∠D0HG＝30°，

设DG＝GD0＝x，则HD0＝BH＝2x，GH＝x，

∴3x+x＝4，

∴x＝2﹣2，

∴D0H＝2x＝4﹣4．

如图3﹣5中，当D0H⊥GH时，同法可得D0H＝2﹣2．

如图3﹣6中，当DGG⊥GH时，同法可得D0H＝4+4．

如图3﹣7中，如图当D0H⊥HG时，同法可得D0H＝2+2．

如图3﹣8中，当D0G⊥GH时，同法可得HD0＝4﹣4．

综上所述，满足条件的D0H的值为2﹣2或2+2或4﹣4或4+4．