人教版七年级上册数学 第四章 几何图形初步 导学案

4.1　几何图形

4.1.1　立体图形与平面图形

第1课时　认识几何图形

1.能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状.

2.能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形.

识别简单几何体；从具体事物中抽象出几何图形.

1.下列物体的形状类似于球的是( A )

2. 从下列物体抽象出来的图形可以看成圆柱的是( B )

3.如图，你从漂亮的游艇中看到哪几种熟悉的图形，请把它们写出来：  三角形、圆、长方形、正方形  .

1.从实物中抽象出的各种图形称为  几何图形  .

2.生活中的物体可抽象出几何图形，在后面的横线上填上相应的几何体.

(1)足球  球  ；(2)金字塔  棱锥  ；(3)魔方  正方体  ；(4)漏斗  圆锥  ；(5)砖块  长方体  ；(6)六角螺母  六棱柱  .

3.几何图形包括  立体图形  和  平面图形  .

特别强调：各部分不都在同一平面内的几何图形是  立体图形  ；各部分都在同一平面内的几何图形是  平面图形  .

4.下列图形中，属于立体图形的是( C )

做一做，展示你的才能

例　填表：

1.下面几种几何图形中，属于平面图形的是( A )

①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；

⑥圆柱.

A.①②④              B.①②③            C.①②⑥          D.④⑤⑥

2.如图所示的几何体中，属于锥体的是( B )

3.下列图形属于棱柱的有( B )

A.2个              B.3个                C.4个              D.5个

4.说出与下列物体类似的立体图形名称：

(1)数学课本类似于  长方体  ；

(2)西瓜类似于  球  ；

(3)日光灯管类似于  圆柱  .

5.下列所示的物体都类似于哪些几何体？写出它们的名称.

解：(1)长方体；(2)圆锥；(3)圆柱；(4)球；(5)五棱柱.

6.如图所示图形是由哪些平面图形组成.

解：图一是由两个梯形、两个长方形组成的；

图二是由一个梯形、一个三角形和一个长方形组成的.

1.如图，下列图形全部属于柱体的是( C )

2.下列说法中，正确的有( C )

①圆锥和圆柱的底面都是圆；②棱锥底面边数与侧棱数相等；③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形；④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体.

A.1个              B.2个            C.3个                  D.4个

第2课时　折叠、展开与从不同方向看

1.能画出从不同方向看一些基本几何体或其简单组合得到的平面图形.

2.掌握常见立体图形的展开图.

1.识别并会画出从不同方向看简单几何体所得到的平面图形.

2.常见立体图形的展开图.

1.如图所示，指出三幅图分别是从哪个方向看得到的.

解：①上面　②正面　③左面

2.下列不是三棱柱展开图的是( C )

1.观察同一个物体的形状，一般从  正面  、  左面  、  上面  三个不同的方向进行观察.

2.下列四个几何体中，从左面看到的图形为圆的是( C )

3.(1)正方体的表面展开图是由  6  个  正方形  组成.

(2)圆柱的表面展开图是由两个  圆  和一个  长方形  组成.

(3)圆锥的表面展开图是由一个  圆  和一个  扇形  组成的.

(4)棱锥的侧面展开图都是      三角形  .

4.下列图形是四棱锥的展开图的是( C )

做一做，展示你的才能

例　如图所示的图形都是由6个大小一样的正方形拼成的，哪些是正方体的平面展开图？

解：图(1)(2)(3)(4)(6)都是正方体的平面展开图.

温馨提示：正方体有11种不同的展开图，可归为四类：

(1)一四一型；(2)三三型；(3)二二二型；(4)一三二型.

如果展开图中出现“田”字形和“凹” 字形排列，那么它一定不是正方体的展开图.

1.下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是( D )

2.下列几何体中，从正面看到的图形是矩形的是( B )

3.下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( B )

4.如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是( D )

A.遇                  B.见                    C.未                  D.来

5.如图所示，该几何体从上面看到的图形是( C )

6.如图是由8个相同的小立方体组成的几何体，分别画出从正面、左面、上面看它得到的平面图形.

解： 

1.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是( C )

2.一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其从左面看和从上面看到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是( B )

A.3              B.4                C.5                  D.6

4.1.2　点、线、面、体

1.了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面.

2.了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形.

1.认识点、线、面、体的几何特征.

2.利用旋转平面图形形成相应的立体图形，进一步拓展空间想象能力.

1.如图是一个长方体，它有  6  个面，面与面相交的地方形成了  12  条棱，棱和棱相交成  8  个顶点.

2.如图是一个圆柱，由   3  个面围成.它有   2  个底面，是平的；有   1  个侧面，是曲的.底面与侧面相交形成的线有  2  条，是   曲的  (填“直的”或“曲的”).

1.长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是几何体，几何体也简称为  体  ，包围着体的是  面  ，面有  平面  和  曲面  两种，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方形成  点  .

2.(1)三棱锥有  4  个面，它们相交形成了  6  条棱，这些棱的交点有  4  个；

(2)圆锥由  2  个面组成，其中一个是  平  面，另一个是      曲  面.

3.点动成  线  ，线动成  面  ，面动成  体  .

4.将如图所示的几何图形，绕直线l旋转一周得到的立体图形( C )

做一做，展示你的才能

例　圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下图是以下四个图中的哪一个绕着直线旋转一周得到的( A )

1.汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是( B )

A.点动成线                              B.线动成面

C.面动成体                              D.以上答案都不对

2.如图所示的花瓶中，( B )的表面，可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的.

3.将一块直角三角尺绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是( A )

A.圆锥              B.三棱锥            C.圆柱              D.三棱柱

4.如图的四棱锥有  5  顶点，有  8  条棱，有  5  个面.

5.下列几何体中只有一个面的是  ③  ，有两个面的是  ②  ，有三个面的是  ①  .

6.观察如图所示的立体图形，说出它们各有几个面，是什么样的面，面面相交的地方形成了几条线，是什么样的线.

解：正方体：6个面，都是平面，12条，直线；

三棱锥：4个面，都是平面，6条，直线；

圆柱：3个面，两个平面和一个曲面，2条，曲线；

圆锥：2个面，一个平面和一个曲面，1条，曲线；

球：1个面，曲面，没有交线.

如图，(1)①三棱柱有      5  个面，      6  个顶点，  9  条棱；

②四棱柱有  6  个面，      8  个顶点，  12  条棱；

③五棱柱有  7  个面，  10  个顶点，  15  条棱；

…

(2)① 由此可以推出，n棱柱有  (n＋2)  个面，  2n  个顶点，  3n  条棱；

②若设顶点数、面数和棱数分别用字母V、F、E表示，则三者之间的关系是  V＋F－E＝2  .

4.2　直线、射线、线段

第1课时　直线、射线、线段

1.理解并掌握直线的性质， 能用几何语言描述直线性质.

2.会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形.

1.直线、射线、线段的表示方法.

2.建立几何语句与几何图形之间的联系.

1.手电筒发射出的光线给我们的形象是( B )

A.线段              B.射线            C.直线              D.折线

2.在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是( B )

A.1枚              B.2枚            C.3枚              D.任意枚

3.如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有( C )

A.1条              B.2条            C.3条              D.4条

1.

2.下列说法正确的是( A )

A.线段AB与线段BA是同一条线段

B.射线OA与射线AO是同一条射线

C.直线AB和直线l是同一条直线

D.高楼顶上的射灯发出的光是一条直线

3.经过一点可以画  无数  条直线，经过两点有且只有  一  条直线，即两点确定  一  条直线.

4.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是根据数学原理  两点确定一条直线  .

5.当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线  相交  ，这个公共点叫做它们的  交点  .

6.下列写法中正确的是( B )

A.直线a、b相交于点n                    B.直线AB、CD相交于点M

C.直线ab、cd相交于点M                    D.直线AB、CD相交于点m

做一做，展示你的才能例　读句画图.

(1)点P在直线AB上，点Q在直线AB外；

(2)过点P的三条直线a，b，c；

(3)直线AB与直线AC相交于点A.

解：如图所示：

1.下列各选项中直线的表示方法正确的是( C )

2.如图所示，下列说法正确的是( C )

A.射线BA是直线AB的一半                B.延长线段AB

C.延长线段BA                            D.反向延长线段BA

3.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是( B )

4.2017年全国在北京召开.在开会前，工作人员进行会场布置时在台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”使摆放的茶杯整齐，这样做的理由是      两点确定一条直线  .

5.如图所示，可以用字母表示出来的不同射线有   3  条.

6.作图，在平面内有四个点A、B、C、D，请你用直尺按下列要求作图.

(1)作射线CD；

(2)作直线AD；

(3)连接AB；

(4)作直线BD与直线AC相交于点O.

解：如图所示：

1.平面上有任意三点，过其中两点画直线，共可以画( C )

A.1条  B.3条

C.1条或3条  D.无数条

2.由上饶到南昌的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：上饶—横峰—弋阳—贵溪—鹰潭—余江—东乡—莲塘—南昌，那么要为这次列车制作的火车票有( C )

A.9种  B.18种

C.36种  D.72种

解析：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他8个城市有8种车票，但是已知中是由上饶到南昌的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：上饶－横峰－弋阳－贵溪－鹰潭－余江－东乡－莲塘－南昌，故没有往返车票，是单程车票，所以要为这次列车制作的火车票有×8×9＝36(种).

第2课时　比较线段的长短

1.会用两种方法画一条线段等于已知线段，并能比较两条线段的长短.

2.理解线段的中点、三等分点、四等分点，并会应用线段的中点进行计算.

1.比较线段的大小.

2.应用线段的和差、中点进行计算.

1.在跳绳比赛中，要在两条绳子中挑出较长的一条参加比赛，选择的方法是( A )

A.把两条绳子的一端对齐，然后拉直两条绳子，另一端在外面的即为长绳

B.把两条绳子接在一起

C.把两条绳子重合观察另一端的情况

D.没有办法挑选

2.用圆规比较图中的四条线段，其中最长的是( B )

A.AB              B.BC            C.CD              D.DA

3.如图，点A、B、C、D在一条直线上.

(1)BC＝  BD  －CD，AB＋  BC  ＋CD＝AD；

(2)如果AB＝BC＝CD，则AB＝    AC，AC＝    AD.

1.比较两条线段长短的方法：(1)度量法；(2)  叠合法  .

2.比较下列每组线段的长短，满足EF＞CD的是( D )

3.线段的中点：把一条线段分成  相等  的两条线段的点叫做线段的中点.

温馨提示：若点C是线段AB的中点，则有AC＝CB＝  AB  或AB＝2  AC  ＝2  CB  .

4.如图，C是线段BD的中点，AD＝3，AC＝7，则AB的长等于  11  .

做一做，展示你的才能

例　 如图，已知线段a、b(a＞b)，画一条线段，使它等于2a－2B.

解：画法(如图)：①画射线AF；

②在射线AF上顺次截取AB＝  BC  ＝  a  ；

③在线段AC上顺次截取AD＝  DE  ＝  b  ，则线段  EC  即为所画的线段.

1.下列可以比较长短的是( B )

A.两条射线           B.两条线段        C.两条直线          D.直线和射线

2.点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是( B )

A.AC＝BC                              B.AC＋BC＝AB

C.AB＝2AC                              D.BC＝AB

3.如图，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是( C )

A.AC＞BD          B.AC＜BD        C.AC＝BD          D.无法确定

4.如图，已知AB＝8，AP＝5，OB＝6，则OP的长是  3  .

5.如果点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED＝6，则AB的长为  12  .

6.如图所示，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝12，AC＝8，求CD的长.

解：因为AB＝12，AC＝8，所以BC＝AB－AC＝4.

因为点D是线段BC的中点，所以CD＝BD＝BC＝2.

1.已知线段AB＝6 cm，在直线AB上画线段AC＝2 cm，则线段BC的长是( D )

A.4 cm                              B.3 cm或8 cm

C.8 cm                              D.4 cm或8 cm

2.如图，B、C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝9，求线段MC的长.

解：设AB＝2x，则BC＝4x，CD＝3x.

因为CD＝9，所以x＝3，

所以AB＝6，BC＝12，AD＝AB＋BC＋CD＝27.

因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝13.5，

所以MC＝MD－CD＝4.5.

第3课时　线段的基本事实及两点间的距离

1.掌握两点之间线段最短的基本事实.

2.理解两点的距离的定义.

1.应用线段的性质解决生活中的实际问题.

2.理解并掌握两点的距离.

1.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，下列等式不正确的是( D )

A.CD＝AC－DB                          B.CD＝AD－BC

C.CD＝AB－AD                          D.CD＝AB－BD

2.如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为  3  .

3.小强从A到B共有三条路线：①A→B；②A→D→B；③A→C→B.在不考虑其他因素的情况下，小强走最近的路线是  ①  号路线.

1.两点的所有连线中，  线段  最短.简单说成：两点之间，  线段  最短

2.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是  两点之间，线段最短  .

3.连接两点间的线段的  长度  ，叫做这两点的距离.

4.如图，已知线段AB＝6 cm，在线段AB的延长线上(即B点右侧)有一点C，且BC＝4 cm，若点M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为( C )

A.1 cm                  B.4 cm                C.5 cm                  D.无法确定

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例　 如图，点C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC＝AD，CD＝4，求线段AB的长.

解：因为AC＝AD，CD＝4，

所以CD＝AD－AC＝AD－AD＝AD，

所以AD＝CD＝6，

因为D是线段AB的中点，所以AB＝2AD＝12.

1.如图，小华的家在A处，书店在B处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线( B )

A.A C D B                              B.A C F B

C.A C E F B                          D.A C M B

2.从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，用几何知识解释其道理正确的是( C )

A.线段有两个端点

B.过两点可以确定一条直线

C.两点之间，线段最短

D.线段可以比较大小

3.如图，点C在线段AB外，则AC  ＜  AB＋BC，BC  ＜  AB＋AC，AB  ＜  AC＋BC(填“＜”或“＞”)，其中的数学道理是  两点之间，线段最短  .

4.长度12 cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC∶CB＝1∶2，则线段AC的长度为   8  cm    .

5.如图所示，线段AB＝8 cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC＝3 cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度.

解：因为线段AB＝8 cm，E为线段AB的中点，

所以BE＝AB＝4 cm，

所以BC＝BE－EC＝4－3＝1 cm，

所以AC＝AB－BC＝8－1＝7 cm，

因为点D为线段AC的中点，

所以CD＝AC＝3.5 cm，

所以DE＝CD－EC＝3.5－3＝0.5 cm.

1.如果A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝3 cm，BC＝2 cm，那么A，C两点之间的距离为( C )

A.1 cm  B.5 cm

C.1 cm或5 cm  D.无法确定

2.已知线段AB＝6 cm，直线AB上画线段BC＝4 cm，若M，N分别是AB，BC的中点.

(1)求M、N之间的距离；

(2)若AB＝a cm，BC＝b cm(a＞b)，其他条件不变，此时M，N间的距离是多少？

解：(1)如图1所示，

∵线段AB＝6 cm，线段BC＝4 cm，

∴AC＝AB－BC＝6－4＝2 cm.

∵M，N分别是AB，BC的中点，

∴MB＝AB＝3(cm)，NB＝BC＝2(cm)，

∴MN＝MB－NB＝3－2＝1(cm).

图1

如图2所示，∵线段AB＝6 cm，线段BC＝4 cm，

∴AC＝AB＋BC＝6＋4＝10 cm.

∵M，N分别是AB，BC的中点，

∴AM＝AB＝3(cm)，

BN＝BC＝2(cm)

∴MN＝MB＋BN＝3＋2＝5(cm).

图2

答：M，N间的距离是3 cm或5 cm；

(2)MN＝cm或cm.

4.3　角

4.3.1　角

1.认识角的概念，掌握角的两种定义形式及四种表示方法.

2.认识度、分、秒，会进行简单的换算和角度的计算.

1.角的概念与角的表示方法.

2.度、分、秒之间的换算.

1.下列各角中，不可能是钝角的是(  D )

A.周角              B.平角                C.钝角              D.直角

2.如图所示，用量角器度量角，可以读出角的度数为( B )

A.45°                  B.55°                C.125°                  D.135°

3.钟表在3∶00时，时针与分针的夹角是  90  度.

1.角的概念：有公共端点的两条  射线  组成的图形叫做角；角也可以看作是由一条  射线  绕着它的  端点  旋转而形成的图形.

特别强调：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时，所成的角叫做  平角  ；终边继续旋转，当和始边  重合  时，所成的角叫做周角.

2.下列说法正确的是( D )

A.两条射线组成的图形叫做角

B.角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形

C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形

3.角的符号是“∠”，读作“角”，其表示方法有四种，如下所示：

表示

(2)当角的顶点处只有一个角时，也可以用  一  个大写的英文字母表示角.

4.下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是( D )

5.(1) 1°＝  60  ′，1′＝  60  ″，1°＝  3  600  ″.

(2)1周角＝  2  平角＝  4  直角.

6.(1)用度、分、秒表示35.12°＝  35  °  7  ′  12    ″.

(2)°25′48″＝  .43  °.

(3)2 700″＝  0.75  °.

1.如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有( A )个.

A.6                  B.5                C.4                  D.3

2.如图，下列表示角的方法中，不正确的是( B )

A.∠A                  B.∠E            C.∠α                  D.∠1

3.下列关于平角和周角的说法正确的是( D )

A.平角是一条线段

B.周角是一条射线

C.两个锐角的和不一定小于平角

D.反向延长射线OA，就形成一个平角

4.下列关系式正确的是( D )

A.35.5°＝35°5′                          B.35.5°＝35°50′

C.35.5°＜35°5′                          D.35.5°＞35°5′

5.时钟显示为8∶30时，时针与分针所夹的角是  75°  .

6.(1)8.31°＝  8  °  18    ′  36  ″.

(2)118°20′42″＝  118.345  °.

(3)45°＝    直角＝    平角＝    周角.

　如图：

(1)在已知角内画射线，画1条射线，图有   3  个角；画2条射线，图有   6  个角；画3条射线，图有  10  个角；

(2)画n条射线所得的角的个数为    (用含n的式子表示).

4.3.2　角的比较与运算

1.会比较角的大小，能估计一个角的大小.

2.在图形中认识角的和、差关系，在操作中认识角的平分线.

3.会进行角的有关计算.

1.比较角的大小的方法.

2.会进行角度的“加、减、乘、除”运算.

3.掌握角平分线的定义，会进行有关计算.

1.

如图所示，下列式子中错误的是( C )

A.∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

B.∠AOC＝∠AOD－∠COD

C.∠AOC＝∠AOB＋∠BOD－∠BOC

D.∠AOC＝∠AOD－∠BOD＋∠BOC

2.下列角中用一副三角板不能直接画出的是( C )

A.75°              B.135°            C.160°                  D.105°

3.已知∠A＝40°18′，∠B＝40°17′30″，∠C＝40.18°，则( A )

A.∠A＞∠B＞∠C                  B.∠B＞∠A＞∠C

C.∠C＞∠A＞∠B                  D.∠A＞∠C＞∠B

1.角的比较方法有：度量法和  叠合法  .

2.如图所示，∠AOB  ＞  ∠AOC，∠AOB  ＞  ∠BOC(填“＞”“＝”或“＜”).

3.角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个  相等  的角的射线，叫做这个角的平分线.

温馨提示：若OB是∠AOC的平分线，则∠AOC＝2∠AOB＝2  ∠BOC  ，∠AOB＝∠BOC＝

  ∠AOC    .

4.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠COB＝35°，则∠AOD＝  110°  .

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例　把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)?

解：360°÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′.

答：每份是51°26′的角.

特别强调：度、分、秒是  60  进制的.

1.将∠1，∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的( C )

A.另一边上              B.内部            C.外部              D.无法判断

2.射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是( B )

A.∠AOC＝∠BOC                        B.∠AOC＋∠BOC＝∠AOB

C.∠AOB＝2∠AOC                    D.∠BOC＝∠AOB

3.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为( C )

A.52°                  B.38°            C.°                  D.26°

4.计算：

(1)15°37′＋42°51′＝  58°28′  ；

(2)52°37′－31°45′12″＝  20°51′48″  ；

(3)13°24′15″×5＝  67°1′15″  ；

(4)58°34′16″÷4＝  14°38′34″  .

5.将一副三角板如图所示放置，则∠AOB＝  105°  .

6.如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD＝42°，求∠EOC的大小.

解：设∠AOC＝x°，则∠BOE＝(42＋x)°，

根据题意，知：∠AOC＋2∠BOE＝180°，

即：x＋2(42＋x)＝180，解得：x＝32，

所以∠EOC＝∠BOE＝(42＋x)°＝74°.

1.如图是一个长方形纸片ABCD沿其上一条线EF折叠后的图形，已知∠BEF＝105°，则∠B′EA等于( B )

A.15°              B.30°            C.45°                  D.60°

2.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC＝  180  度.

4.3.3　余角和补角

4.4　课题学习　设计制作长方体形状的包装纸盒

1.认识一个角的余角与补角，并能熟练求出一个角的余角和补角.

2.经历探究余角和补角的性质，并会用其性质解决一些简单的问题.

余角、补角的定义及性质的运用.

1.在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于  90  度.

2.若∠1＝60.5°，∠2＝29.5°，则∠1＋∠2＝  90°  .

3.如图，已知点A、O、B在同一直线上，∠COD＝90°，那么∠1＋∠2＝      90°  .

4.若∠1＝115°，∠2＝65°，则∠1＋∠2＝  180°  .

5.如图，已知点A、O、B在同一直线上，∠AOC＝150°，那么∠BOC＝      30°  .

1.(1)余角的定义：如果  两  个角的和等于  90°  ，就说这  两  个角互为余角，简称  互余  .其中一个角是另一个角的  余角  ，即如果∠α＋∠β＝  90°  ，那么∠α与∠β互为  余角  .反之，如果∠α与∠β互为  余角  ，那么∠α＋∠β＝  90°  .

(2)补角的定义：如果  两  个角的和等于  180°  ，就说这  两  个角互为补角，简称  互补  .其中一个角是另一个角的  补角  ，即如果∠α＋∠β＝  180°  ，那么∠α与∠β互为  补角  .反之，如果∠α与∠β互为  补角  ，那么∠α＋∠β＝  180°  .

2.完成下表：

3.(1)若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，那么∠1  ＝  ∠3；若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°且∠1＝∠3，那么∠2  ＝  ∠4.

温馨提示：等角(或同角)的余角  相等      .

(2)若∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，那么∠1  ＝  ∠3；若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°且∠1＝∠3，那么∠2  ＝  ∠4.

温馨提示：等角(或同角)的补角  相等  .

4.如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2，则图中互余的角共有  4  对.

做一做，展示你的才能

例　如图所示，按要求回答下列问题：

(1)射线OA表示   北偏西65°  方向；射线OB表示  南偏东15°  方向；

(2)画方向为北偏东40°的射线OC；

(3)画方向为南偏西30°的射线OD；

(4)画方向为东南方向的射线OE；

(5)求∠DOA、∠EOC的度数.

解：(2)(3)(4)如图所示，

(5)∠DOA＝180°－65°－30°＝85°，

∠EOC＝180°－40°－45°＝95°.

1.已知∠1＝40°，则∠1的补角的度数是( C )

A.40°                  B.50°                C.140°                  D.150°

2.下列图形中，∠1与∠2互为余角的是( D )

3.下列说法正确的是( C )

A.一个角的余角一定是钝角

B.一个角的补角一定是钝角

C.锐角的余角一定是锐角

D.锐角的补角一定是锐角

4.如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A 处前往相距2 km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是( A )

A.南偏西50°，2 km                  B.南偏东50°，2 km

C.北偏西40°，2 km                  D.北偏东40°，2 km

5.一个角的余角比它的补角的大15°，则这个角的度数为  40°  .

6.如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线.

(1)求∠AOE的度数；

(2)写出图中与∠EOC互余的角；

(3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由.

解：(1)因为∠BOC＝40°，所以∠AOC＝140°，

因为OE是∠AOC的角平分线，

所以∠AOE＝140°÷2＝70°.

(2)因为OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线，

所以∠AOE＝∠EOC，∠COD＝∠BOD，

所以∠EOC＋∠COD＝90°，

所以∠BOD＋∠EOC＝90°，

所以图中与∠EOC互余的角有∠COD，∠BOD；

(3)∠COE有补角，

理由：因为∠AOE＝∠EOC，

∠AOE＋∠BOE＝180°，

所以∠COE＋∠BOE＝180°，

所以∠COE有补角是∠BOE.

1.如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的( A )

A.南偏西30°方向   B.南偏西60°方向

C.南偏东30°方向  D.南偏东60°方向

2.一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小24°，则∠1的度数为   33  度.