高一数学典型例题分析：一元二次不等式解法

能力素质

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分析  求算术根，被开方数必须是非负数．

解  据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．

例3  若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

分析  根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解  根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

例4  解下列不等式

(1)(x－1)(3－x)＜5－2x

(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2

(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

分析  将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．

答  (1){x|x＜2或x＞4}

(4)R

(5)R

说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．

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A．{x|x＞0}    　　　　　　　　　　　　B．{x|x≥1}

C．{x|x＞1}    　　　　　　　　　　　　D．{x|x＞1或x＝0}

分析  直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．

∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．

说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

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A．(x－3)(2－x)≥0

B．0＜x－2≤1

D．(x－3)(2－x)≤0

故排除A、C、D，选B．

两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．

说明：注意“零”．

点击思维

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[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}

答  选C．

说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．

解  先将原不等式转化为

∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，

即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．

说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．

例9  已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2

分析  先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

解  易得A＝{x|1≤x≤4}

设y＝x2－2ax＋a＋2(*)

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．

例10  解关于x的不等式

(x－2)(ax－2)＞0．

分析  不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．

解  1° 当a＝0时，原不等式化为

x－2＜0其解集为{x|x＜2}；

4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；

从而可以写出不等式的解集为：

a＝0时，{x|x＜2｝；

a＝1时，{x|x≠2}；

说明：讨论时分类要合理，不添不漏．

学科渗透

例11  若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．

分析  由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：

解法一  由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：

∵a＜0，∴b＞0，c＜0．

解法二  ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程．

且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，

说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．

分析  将一边化为零后，对参数进行讨论．

进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．

(1)当a＞0时，不等式化为

(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；

综上所述，原不等式解集为：

高考巡礼

例13  (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．

分析  可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．

答  填{x|x＜－1或x＞4}．

例14  (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则

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A．(UA)∩B＝R

B．A∪(UB)＝R

C．(UA)∪(UB)＝R

D．A∪B＝R

分析  由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即

A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即

B＝{x|5－a＜x＜5＋a}

∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6

∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．

答  选D．

说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查