高一数学必修2第4章圆与方程的导学案

4.1.1圆的标准方程

一、学习目标

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方

程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。           

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、学习重点、难点：

学习重点: 圆的标准方程

学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、使用说明及学法指导:

1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、规范作答。2、不会的，模棱两可的问题标记好。3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上

四、知识链接：

1．两点间的距离公式？

2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？

平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.

五、学习过程：(自主探究)

A问题1阅读教材118页内容，回答问题

已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？

问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

例1：1写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3；      (2) 圆心在C(3,4)，半径是

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：

(1) (x-1)2 + y2 = 6     (2) (x+1)2+(y-2)2= 9

(3) 

例2：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，判断是否在这个圆上。

问题3点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？

例3△ABC的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程

例4已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.

注：比较例3、例4可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：

1.根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.

2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

六、达标检测

1、已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、

Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

2、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

3、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。 

4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程.

C5. 求过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切的圆的方程：

七、小结与反思  

①圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明

②圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

③求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a，b，r；

【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。

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4.1.2圆的一般方程

一、学习目标:

知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生勇于创新，勇于探索。

二、学习重点、难点：

学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定                            方程中的系数D、E、F．

学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用. 

三、学法指导及要求:

1、认真研读教材121---123页，认真思考、规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆. 3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.

四、知识链接：圆的标准方程： 圆心;半径：r.  

五、学习过程：问题的导入：

问题1: 方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形？

问题2：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？

问题3：什么是圆的一般方程？

问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

典型例题:

例1：求过三点O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程

例2：已知：线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在（x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

变式：已知一曲线是与两个定点O（0,0），A(3,0)距离比为的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。

六、达标检测

1,已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+=0表示圆，则k的取值范围 (    )

A k>3 B C -23或k<-2

2,方程表示的曲线是（    ）

A．一个圆       B．两个半圆      C．两个圆       D．半圆

3,动圆的圆心的轨迹方程是　　　   .

4,如果实数满足等式，那么的最大值是________。

5,求下列各题的圆心坐标、半径长

（1）x2+y2-6x=0  

 (2) x2+y2+2by=0   

 (3) x2+y2-2x-2y+32=0

6,下列各方程各表示什么图形？

（1）x2+y2=0  

 (2)x2+y2-2x+4y-6=0  

(3) x2+y2+2x-b2=0

7,已知圆C：x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1)求直线AB的方程

七、小结与反思 掌握圆的一般方程的形式，理解其特点，能确定出圆心坐标和半径。

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4.2.1直线与圆的位置关系

一、学习目标:

1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法。

3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 

二、学习重、难点:

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系． 

三、学法指导及要求

1、认真研读教材126---128页，认真思考、规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）

3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升

4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B级完成70％～80％C级力争完成60％以上。

四、知识链接

1、点和圆的位置关系有几种？

设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则

点在圆内 (x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2   d点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2 =r2   d=r,

点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2   d>r.

问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70KM处,受影响的范围是半径为30KM的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM处,如果轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响?

五、学习过程

A问题1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？        

A问题2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？

A问题3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？ 

B问题4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？        

六、达标检测

A1. 1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（    ）

A. 4        B.            C.5         D.  5.5

A2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是(         )

A.x+y-3=0       B. 2x-y-6=0     C.x-y-3=0      D.2x+y-6=0

B3、直线l:与圆x2+y2=1的关系是（     ）

A.相交      B.相切         C. 相离     D.不能确定

B4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是_______

B5.已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值

七、小结与反思

【教师寄语】长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 ！

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4.2.2圆与圆的位置关系

一、学习目标:

知识与技能:（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．

过程与方法:用类比的思想研究圆与圆的位置关系，进一步将这些直观的事实转化为数学语言。

情感态度与价值观:通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想． 

二、学习重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 

三、学法指导及要求：

1、认真研读教材129---130页，认真思考、规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（尤其是：圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B级完成70％～80％C级力争完成60％以上。

四、知识链接 

1.直线与圆的位置关系:

相离、相交、相切

2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法？

(1)根据圆心到直线的距离；

(2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数；

3.圆与圆的位置关系有哪几种？(作图说明)

如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，我们将进一步探究.

五、学习过程

A问题1：圆与圆的位置关系

两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？ 

B问题2:判断圆和圆的位置关系的方法

(1)几何法

(2)代数法

B问题3:已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，用上述方法判断两个圆位置关系的操作步骤如何？ 

B例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.

六、达标测试

A1、判断下列两圆的位置关系：

(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16

(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0

B2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交，求实数m的范围           

A3、已知以（-4,3）为圆心的圆与x2+y2=1 相切，求圆C的方程.

C4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。

C5、求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有             条。

七、小结与反思

【励志金语】不经一番风霜苦，哪得梅花放清香！

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4.2.3直线与圆的方程的应用

一、学习目标:

知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、学习重点、难点： 

学习重点:直线与圆的方程的应用．

学习难点:直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。

三、学法指导及要求:

1、认真研读教材130---132页，认真思考、规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，便于复习记忆. 3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上. 

四、知识链接:

1,回忆各种直线方程的形式，说清其特点及不足。

2，圆的标准方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2      圆心（a,b);半径：r.  

3，你能说出直线与圆的位置关系吗？

五、学习过程

问题的导入：

问题1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗？

直线与圆的方程的应用是非常广泛的，下面我们看几个例子

典型例题

1．标准方程问题：

例1:圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0的最远距离      最近的距离       。     

2.轨迹问题：例2:过点A(4,0)作直线L交圆O:x2+y2=4于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程

3.弦长问题：例3: 直线L经过点(5,5)，且和圆x2+y2=25相交，截得的弦长为, 求直线L的方程。

4.对称问题：例4:求圆关于点对称的圆的方程.

5.实际应用问题

例5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20cm，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).

6.用代数法证明几何问题

例6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

六、达标检测

A1，求直线:2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y2=9 所截得的弦长        

B2，圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程                     

B3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程                    

B4，某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？

C4，等边△ABC中，D,E分别在边BC,AC上，且∣BD∣=∣BC∣,∣CE∣=∣CA∣,AD,BE相交于点P,求证：AP⊥CP

七、小结与反思

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；用坐标法解决平面几何问题.

【励志金语】我的未来我把握，我的人生我设计！

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圆的习题课

一、学习目标: 

1、知识与技能:使学生掌握圆的各种方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程， 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，熟悉直线与圆，圆与圆的关系并能应用。

2、过程与方法:能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程，用转化法求轨迹 。

3、情感态度与价值观:能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识。

二、学习重点、难点：

学习重点:圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系及应用。

学习难点:圆的方程的应用。

三、使用说明及学法指导:

认真复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系等重要知识点，数形结合、分类讨论，待定系数法等思想方法。要通过解题积累经验，总结方法，融会贯通。

四、知识链接:

1、圆的标准方程 ： 

2、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

3、点和圆的位置关系：

设圆C∶，点M到圆心的距离为d，则有：

(1)d＞r点M在圆外；(2)d=r点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．

4、直线和圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有

（1）直线l与⊙O相交 <=>dd=r（3）直线l与⊙O相离 <=>d>r。

五、学习过程

典型题精炼：1. 如何判断点与圆的位置关系？

例题1：已知点P(-2, 4)和圆C, 试判断点P和圆C的位置关系.

练习：点P(-4, 3)和圆的位置关系是（      ）

  A. P在圆内     B. P在圆外     C. P在圆上     D. 以上都不对 

2. 如何判断直线与圆的位置关系？

例题2:当a(a >0)取何值时,直线x+y-2a+1=0与圆x2+y2- 2ax+2y+a2-a+1=0 相切，相离，相交？

练习：圆              和3x-4y=9的位置关系是（      ）

  A. 相切     B. 相离     C. 直线过圆心     D. 相交但直线不过圆心 

3、直线与圆的交点弦长：

例题3:已知圆的方程是x2+y2 =2，它截直线y= x+1所得的弦长是         

4、如何判断圆与圆的位置关系？

例题4：圆C1: x2+y2- 6y=0和圆C2: x2+y2- 8x+12=0的位置关系如何？

5、求圆的方程的常用方法：

例5：(1). 一个圆经过点P( 2,-1 ), 和直线x- y =1相切，并且圆心在直线 y=- 2x上，求这个圆的方程.

 (2). 已知两点 A( 4 , 9 ) 和B( 6 , 3 )两点, 求以AB为直径的圆的方程.

练习： (1). 圆C的圆心为 ( 2 , -1 ) ，且截直线 y = x- 1 所得弦长为 2 , 求圆C的方程.

6、求圆的切线的常见形式：

例6： (1). 求过点P( -3 , 2 )，与圆x2+y2=13相切的直线方程.

(2). 求过点P( -5 , 9 )，与圆(x+1)2+ (y-2) 2=13相切的直线方程.

(3). 设圆的方程x2+y2=13，它与斜率为的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.

7、求最值问题：已知实数 x , y 满足方程x2+y2-4x+1=0.

 （1） 求的最大值和最小值； （2）求y-x的最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.

【课后反思】

【教师寄语】宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。