初中抛物线常见结论汇总(教师版)

1.（唯一交点或最值）

（1）已知抛物线y=x2－2x－3，过点D（0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式)

（2）已知抛物线y=x2－2x－3，在第四象限的抛物线上求点P，使四边形ACPB的面积最大。

2.(焦点—准线：顶点上下个单位)已知抛物线y＝x2－x＋1，直线过点P（1，1）与抛物线交于A、B。过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N。

（1）连PM、PN，求证：△PMN为直角三角形；

（2）①求证：AB＝AM+BN；②求＋的值。

（3）已知点D（1，0），求证：DP经过△ABD的内心。

3.如图，抛物线y＝x2﹣x－顶点为D，对称轴上有一点E（1，4），在抛物线上求点P，使∠EPD=90°。

4.（定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=x2，过对称轴上P点的任意一条直线与抛物线的两交点A、B和O点构成以O点为直角顶点的直角三角形，求P点坐标。（定点：顶点向上平移1/a个单位长度）

5.（定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B，与y轴交于C，交点C向上平移t个单位长度到D，过D作EF∥AB，交抛物线于E、F，∠ECF＝90°。求t与a的关系。

6.（定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B，与y轴交于C，点P（m,n）为抛物线上任意一点，过D（0，n+t）作EF∥AB，交抛物线于E、F，∠EPF＝90°。求t与a的关系。

7.（纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=x2，过对称轴上P点的任意一条直线与抛物线的两交点为A、B，在对称轴负半轴上有点Q（0，-2），且∠AQB被对称轴平分，求P点坐标。

8.（纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y＝x2-x－2与x轴交于A、B，与y轴交于C，点D和点C关于对称轴对称，MN∥AD，交抛物线于M、N，直线MD、ND分别交y轴于E、F。求证：CF＝CE。

9.（平行对称点——中值定理）（1）如图，直线AB∥CD，AB、CD分别与抛物线交于A、B、C、D。求证：xA+xB=xC+xD

（2）已知抛物线y=x2－x－2上任意两点A、B，点C为抛物线上AB下方的点，过C作CD∥AB，交抛物线于D，直线AC、BD交于点P，过P作直线x=m交AB于M。求证：点M为AB中点。 

10.（横向平分对称点——特殊）如图，抛物线y＝x2-2x－3与x轴交于A、B，与y轴交于C，AM、AN关于x轴对称，分别交抛物线于M、N，若直线MN的解析式为y=kx+b，求k。

11.（纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y＝x2-x－2与x轴交于A、B，与y轴交于C，点P为抛物线上一点，点Q与点P关于对称轴对称，PM、PN关于PQ对称，分别交抛物线于M、N，若直线MN的解析式为y=4x+b，求点P的坐标。

12.（双对称问题——一般）已知抛物线y=x2－x－1与x轴交于A、B两点，点T为抛物线顶点，点P为抛物线上任意一点，直线PA、PB与抛物线的对称轴分别交于E、F，m、n分别为E、F的纵坐标，求m+n的值。

13.（双对称问题——特殊）如图，过抛物线y＝x2-3x＋1中任一点P(m,n)作抛物线的切线，交对称轴于Q(,s)，求n+s的值

14.如图，抛物线y＝x2-2x－3与x轴交于A、B，与y轴交于C，点D（0,m）在点C下方，过D作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，MN交y轴于E。求证：CD＝CE。

15.（定直角顶点→直线系）如图，抛物线y＝x2-2x－3与x轴交于A、B，与y轴交于C，以点P（-2，5）为直角顶点作Rt△PMN，分别交抛物线于M、N，求直线MN经过的定点坐标。

16.（定直线系→直角顶点）如图，抛物线y＝x2-2x－3与x轴交于A、B，与y轴交于C，直线y=kx-4k+6交抛物线于M、N，点P在抛物线上，且∠MPN=90°，求点P的坐标。

17.抛物线y＝x2-2x＋1的顶点为A，过B(1，t)的直线与抛物线交于C、D，交x轴于E。求的值。

18.已知抛物线y=x2－x+1的顶点为A，点P为A下方对称轴上任一点，过P作PB切抛物线于B，过B作BC⊥PB，交对称轴于C，求CA－AP的值。

19.(斜率与定点)已知抛物线y=x2－x+1，已知点P（m,﹣1），过P作抛物线切线PA、PB，切点分别为A、B，作直线AB。

（1）求证：；（2）求AB经过的定点坐标。

20.已知抛物线y=x2，点A为第一象限抛物线上一点，直线BC⊥x轴于C，交抛物线于B，直线OA交BC于D，AE⊥BC于E，若BD=AD，求BE的长。

方法小结：

相切问题，求解析式用根的判别式，求切点用韦达定理。

斜向线段问题一般转化横向或纵向问题。

设坐标一般设抛物线上点坐标，配合韦达定理能大大简化计算。