大学生数学竞赛试题

计算下列各题(1) 求极限.

(2) 计算，其中为下半球面的上侧，.

(3) 现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？

(4) 已知在内满足，求.

二、（10分）求下列极限(1)    ；      (2), 其中.

三、（10分）设在点附近有定义，且在点可导，. 求.

四、（10分）设在上连续，无穷积分收敛. 求.五、（12分）设函数在上连续，在内可微，且. 证明：(1) 存在使得；(2) 存在使得.

六、（14分）设为整数， 

.证明: 方程在内至少有一个根.

七、（12分）是否存在中的可微函数使得？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

八、(12分)设在上一致连续，且对于固定的，当自然数时. 证明: 函数序列在上一致收敛于0.