人教版数学八年级上册《三角形》单元综合测试卷(含答案)

《三角形》单元测试

(时间：120分钟　　满分：150分)

一、选择题:

1.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为

A 2    B. 3    C. 5    D. 13

2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是（  ）

A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形    D. 不能确定

3.如图,AB∥CD,E是BC延长线上一点,若∠B=50°,∠D=20°,则∠E的度数为(    )

A. 20°    B. 30°    C. 40°    D. 50°

4.小华要画一个有两边长分别为7cm和8cm的等腰三角形,则这个等腰三角形的周长是（　　）

A. 16cm    B. 17cm    C. 22cm或23cm    D. 11cm

5. 如果一个多边形的每一个外角都是45°,那么这个多边形的内角和是（ ）

A. 540°    B. 720°    C. 1080°    D. 1260°

6.如图,△ABC中,∠A=50°,点D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2的大小为（　 　）

A. 130°    B. 230°    C. 180°    D. 310°

7.一个正多边形的边长为2,每个外角都为60°,则这个多边形的周长是(　　)

A. 8    B. 12    C. 16    D. 18

8.如图,三角形ABC中,AB=AC,D,E分别为边AB,AC上的点,DM平分∠BDE,EN平分∠DEC,若∠DMN=110°,则∠DEA=（　　）

A. 40°    B. 50°    C. 60°    D. 70°

9.如图,把一张长方形的纸按如图所示那样折叠,B、C两点分别落在B′,C′点处,若∠AOB′=70°,则∠B′OG的度数为（　　）

A. 50°    B. 55°    C. 60°    D. 65°

10.如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为（　　）

A. 80°；    B. 90°；    C. 100°；    D. 110°；

11.如图,已知△ABC中,AB=7,AC=5,BC=3,在△ABC所在平面内一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画(　　)

A. 2条    B. 3条    C. 4条    D. 5条

12.如图,在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．

其中正确的是（　　）

A. ①②③    B. ①③④    C. ①②③④    D. ①②④

二、填空题:

13.如图,小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板,从数学角度看,这样做的原因是______．

14.如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点,且S△ABC=4,则S△BFF=_______

15.如图,把一副常用的三角板如图所示拼在一起,那么图中∠ABF=_____°.

16.如图,这四边行ABCD中,点M、N分别AB,CD边上,将四边形ABCD沿MN翻折,使点B、C分别在四边形外部点B1,C1处,则∠A+∠B1+∠C1+∠D=________.

17.如图①,点E、F分别为长方形纸带ABCD边AD、BC上的点,∠DEF=19°,将纸带沿EF折叠成图②(G为ED和EF的交点,再沿BF折叠成图③(H为EF和DG的交点),则图③中∠DHF=__.

18.如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2,若S△ABC=6,则S1+S2= ________

三、解答题:

19.如图,每个小正方形的边长为1,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′,利用网格点画图：

（1）补全△A′B′C′；

（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；

（3）△A′B′C′的面积为　  　.

20.已知a、b、c是三角形的三边长,

①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；

②若a+b=11,b+c=9,a+c=10,求这个三角形的各边.

21.如图,五边形ABCDE的各内角都相等,且∠1=∠2,∠3=∠4,求x的值．

22.在△ABC中,AB=AC,DB为△ABC中线,且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分,求三角形各边长．

23.如图,已知AE⊥BC,AD平分∠BAE,∠ADB=110°.求∠B的度数．

24.图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

（1）在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　   　；

（2）图2中,当∠D=50度,∠B=40度时,求∠P的度数.

（3）图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样数量关系.

参

一、选择题:

1.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为

A. 2    B. 3    C. 5    D. 13

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”,可得x的取值范围,一一判断可得答案.

【详解】解：根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边” 可得:13-2故本题正确答案为B.

【点睛】本题主要考查构成三角形的三边的关系.

2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是（  ）

A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形    D. 不能确定

【答案】B

【解析】

试题分析：因为直角三角形的三条高线的交点是直角顶点,而其他三角形三条高线的交点都不在顶点上,所以如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形．

故选B．

点睛：本题考查的是三角形高的性质,熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．

3.如图,AB∥CD,E是BC延长线上一点,若∠B=50°,∠D=20°,则∠E的度数为(    )

A. 20°    B. 30°    C. 40°    D. 50°

【答案】B

【解析】

分析：根据平行线的性质,得出∠BCD=∠B=50°,再根据∠BCD是△CDE的外角,即可得出∠E．

详解：∵AB∥CD,

∴∠BCD=∠B=50°,

又∵∠BCD是△CDE的外角,

∴∠E=∠BCD−∠D=50°−20°=30°.

故选B.

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用.解题时注意：两直线平行,内错角相等.

4.小华要画一个有两边长分别为7cm和8cm的等腰三角形,则这个等腰三角形的周长是（　　）

A. 16cm    B. 17cm    C. 22cm或23cm    D. 11cm

【答案】C

【解析】

分析：根据等腰三角形的性质,本题可分情况讨论．腰长为7cm或者腰长为8cm．

详解：根据等腰三角形的概念知,有两边相等,因而可以是两条边长为7或两条边长为8．当两条边长为7时,周长=7×2+8=22cm；当两条边长为8时,周长=8×2+7=23cm．

故选C．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键．

5. 如果一个多边形的每一个外角都是45°,那么这个多边形的内角和是（ ）

A. 540°    B. 720°    C. 1080°    D. 1260°

【答案】C

【解析】

试题分析：用多边形的外角和除以一个外角的度数可得多边形的,即多边形的边数为360°÷45°=8,再根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是（8-2）×180°=1080°．故答案选C．

考点：多边形的内外角和．

6.如图,△ABC中,∠A=50°,点D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2的大小为（　 　）

A. 130°    B. 230°    C. 180°    D. 310°

【答案】B

【解析】

试题分析：根据∠A=50°,三角形内角和定理可得∠B+∠C=130°,则根据四边形内角和定理可得：∠1+∠2=360°－130°=230°.

考点：三角形内角和定理

7.一个正多边形的边长为2,每个外角都为60°,则这个多边形的周长是(　　)

A. 8    B. 12    C. 16    D. 18

【答案】B

【解析】

【详解】解：由题意得,该正多边形边数为：360°÷60°=6,

则正多边形为正六边形,

故正六边形的周长为2×6=12．

故选B．

【点睛】本题主要考查了多边形的外角和,多边形的外角和等于360°,解此题的关键在于利用多边形的外角和求得正多边形的边数,进而求得答案．

8.如图,三角形ABC中,AB=AC,D,E分别为边AB,AC上的点,DM平分∠BDE,EN平分∠DEC,若∠DMN=110°,则∠DEA=（　　）

A. 40°    B. 50°    C. 60°    D. 70°

【答案】A

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性质得到∠B=∠C,由角平分线的定义得到∠BDM=∠EDM,∠CEN=∠DEN,根据外角的性质得∠B=∠DMN－∠BDM,∠C=∠ENM－∠CEN,整理可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM,再根据四边形的内角和可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°,则∠DEN=70°,故∠DEA=40°．

【详解】解：∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

又∵DM平分∠BDE,EN平分∠DEC,

∴∠BDM=∠EDM,∠CEN=∠DEN,

∵∠B=∠DMN－∠BDM=∠DMN－∠EDM,

∠C=∠ENM－∠CEN=∠ENM－∠DEN,

∴∠DMN－∠EDM=∠ENM－∠DEN,即∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM,

∵四边形DMNE内角和为360°,

∴∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°,

∴∠DEN=70°,

则∠DEA=180°－2∠DEN=40°.

故选A．

9.如图,把一张长方形的纸按如图所示那样折叠,B、C两点分别落在B′,C′点处,若∠AOB′=70°,则∠B′OG的度数为（　　）

A. 50°    B. 55°    C. 60°    D. 65°

【答案】B

【解析】

∵B 、 C 两点落在 B′ 、 C′ 点处,

∴∠BOG=∠B′OG ,

∵∠AOB′=70° ,

∴∠B′OG=12(180°−∠AOB′)=12×(180°−70°)=55°.

故选B.

点睛：根据折叠的性质可得出∠BOG=∠B′OG,再根据∠AOB′=70°,由平角的定义即可得出∠B′OG的度数．

10.如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为（　　）

A. 80°；    B. 90°；    C. 100°；    D. 110°；

【答案】A

【解析】

分析：连接AA′．首先求出∠BAC,再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．

详解：连接AA′．

    ∵A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,∠BA'C=110°,∴∠A′BC+∠A′CB=70°,∴∠ABC+∠ACB=140°,∴∠BAC=180°﹣140°=40°．

    ∵∠1=∠DAA′+∠DA′A,∠2=∠EAA′+∠EA′A．

    ∵∠DAA′=∠DA′A,∠EAA′=∠EA′A,∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°．

     故选A．

点睛：本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识,属于中考常考题型．

11.如图,已知△ABC中,AB=7,AC=5,BC=3,在△ABC所在平面内一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画(　　)

A. 2条    B. 3条    C. 4条    D. 5条

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质分别利用CB为底以及CB为腰得出符合题意的图形即可.

【详解】BA

. 如图所示,当CB=CD, CB=CE,BG=CG,CB=CF都能得到符合题意的等腰三角形.

所以C选项是正确的.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,正确利用图形分类讨论得出是解题关键.

12.如图,在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．

其中正确的是（　　）

A. ①②③    B. ①③④    C. ①②③④    D. ①②④

【答案】C

【解析】

【分析】

①根据BD⊥FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGH,证明结论正确；

②根据角平分线的定义和三角形外角的性质,证明结论正确；

③证明∠DBE=∠BAC-∠C,根据①的结论,证明结论正确；

④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．

【详解】①∵BD⊥FD,

∴∠FGD+∠F=90°,

∵FH⊥BE,

∴∠BGH+∠DBE=90°,

∵∠FGD=∠BGH,

∴∠DBE=∠F,

①正确；

②∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,

∠BEF=∠CBE+∠C,

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,

∠BAF=∠ABC+∠C,

∴2∠BEF=∠BAF+∠C,

②正确；

③∠ABD=90°-∠BAC,

∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC,

∵∠CBD=90°-∠C,

∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,

由①得,∠DBE=∠F,

∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE,

∴∠F=（∠BAC﹣∠C）

③正确；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C,

∵∠ABE=∠CBE,

∴∠AEB=∠ABE+∠C,

∵BD⊥FC,FH⊥BE,

∴∠FGD=∠FEB,

∴∠BGH=∠ABE+∠C,

④正确,

故选C.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．

二、填空题:

13.如图,小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板,从数学角度看,这样做的原因是______．

【答案】三角形稳定性

【解析】

钉了一个加固板,即分割成了三角形,故利用了三角形的稳定性

14.如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点,且S△ABC=4,则S△BFF=_______

【答案】1   

【解析】

∵BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线,

∴S△BDE=S△ABD,S△CDE=S△ACD,

∴S△BCE =S△BDE+ S△CDE=( S△ABD+ S△ACD)=S△ABC=×4=2.

∵BF是△BCE的中线,

∴S△BEF =S△BCE=×2=1.

故答案为:1.

点睛：本题考查了三角形中线的性质,熟记三角形的任一条中线都将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键.

15.如图,把一副常用的三角板如图所示拼在一起,那么图中∠ABF=_____°.

【答案】15°

【解析】

试题解析：由一副常用的三角板的特点可知,∠EAD=45°,∠BFD=30°,

∴∠ABF=∠EAD-∠BFD=15°.

考点：三角形的外角性质．

16.如图,这四边行ABCD中,点M、N分别在AB,CD边上,将四边形ABCD沿MN翻折,使点B、C分别在四边形外部点B1,C1处,则∠A+∠B1+∠C1+∠D=________.

【答案】360°

【解析】

【详解】解：∵将四边形ABCD沿MN翻折,使点B、C分别在四边形外部点B1,C1处,

∴∠B=∠B1,∠C=∠C1,

∴∠A+∠B1+∠C1+∠D=∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

故答案为360°．

【点睛】本题考查了四边形的内角和与折叠的性质,四边形的内角和为360度；

折叠的性质：折叠前后图形的性质和大小不变,位置变换,对应边和对应角相等．

17.如图①,点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点,∠DEF=19°,将纸带沿EF折叠成图②(G为ED和EF的交点,再沿BF折叠成图③(H为EF和DG的交点),则图③中∠DHF=__.

【答案】57

【解析】

【详解】解：∵四边形ABCD为长方形,

∴AD∥BC,

∴∠BFE=∠DEF=19°,

根据折叠的性质可得,∠GEF=∠DEF=19°,

则∠DGF=∠GEF +∠GFE=38°,

则∠DHF=∠DGF+∠GFE=38°+19°=57°．

故答案57．

18.如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2,若S△ABC=6,则S1+S2= ________

【答案】7

【解析】

∵BE=CE,

∴S△ACE=S△ABC=×6=3,

∵AD=2BD,

∴S△ACD=S△ABC=×6=4,

∴S1-S2=S△ACD-S△ACE=4-3=1．

故答案为1．

“点睛”本题考查了三角形的面积,主要利用了等底等高的三角形的面积相等,等高的三角形的面积的比等于底边的比,需熟记．

三、解答题:

19.如图,每个小正方形的边长为1,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′,利用网格点画图：

（1）补全△A′B′C′；

（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；

（3）△A′B′C′面积为　  　.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）8

【解析】

【分析】

（1）根据平移的条件画出图象即可；

（2）根据中线,高线的定义画出中线CD与高线AE即可；

（3）根据平移前后图形面积不变可得S△A′B′C′=S△ABC=×AE×BC,然后计算得出答案.

【详解】（1）（2）如图,

（3）S△A′B′C′=S△ABC=×AE×BC=×4×4=8.

故答案为8.

【点睛】本题主要考查了作平移图形和三角形的面积公式.

作平移图的一般步骤：（1）确定平移的方向和平移的距离；

（2）确定图形的关键点；如三角形,四边形等图形的顶点,圆的圆心等；

（3）通过关键点作出平移后的图形.

20.已知a、b、c是三角形的三边长,

①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；

②若a+b=11,b+c=9,a+c=10,求这个三角形的各边.

【答案】（1）a+b+c；（2）a=6,b=5,c=4.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的三边关系得出a﹣b﹣c＜0,b﹣c﹣a＜0,c﹣a﹣b＜0,再去绝对值化简即可；

（2）通过解三元一次方程组,即可得出三角形的三边长.

【详解】（1）∵a、b、c是三角形的三边长,

∴a﹣b﹣c＜0,b﹣c﹣a＜0,c﹣a﹣b＜0,

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|=﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b=a+b+c；

（2）∵a+b=11①,b+c=9②,a+c=10③,

∴由①﹣②,得a﹣c=2,④

由③+④,得2a=12,

∴a=6,

∴b=11﹣6=5,

∴c=10﹣6=4

21.如图,五边形ABCDE的各内角都相等,且∠1=∠2,∠3=∠4,求x的值．

【答案】36°

【解析】

【分析】

由五边形ABCDE的内角都相等,先求出五边形的每个内角度数,再求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°,从而求出x=108°-72°=36度．

【详解】因为五边形的内角和是540°,

所以每个内角为540°÷5=108°,

∴∠E=∠C=108°,

又∵∠1=∠2,∠3=∠4,由三角形内角和定理可知,

∠1=∠2=∠3=∠4=（180°﹣108°）÷2=36°,

∴x=∠EDC﹣∠1﹣∠3=108°﹣36°﹣36°=36°．

【点睛】主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°、正五边形的每个内角是108度．

22.在△ABC中,AB=AC,DB为△ABC的中线,且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分,求三角形各边长．

【答案】AB=AC=8,BC=11或AB=AC=10,BC=7．

【解析】

【分析】

根据中线的定义得到AD=CD,设AD=CD=x,则AB=2x,分类讨论：①x+2x=12,BC+x=15；② x+2x=15,BC+x=12,然后分别求出x和BC,即可得到三角形三边的长．

【详解】如图,∵DB为△ABC的中线,∴AD=CD．设AD=CD=x,则AB=2x．分两种情况讨论：

①x+2x=12,BC+x=15,解得：x=4,BC=11,此时△ABC的三边长为：AB=AC=8,BC=11；

②x+2x=15,BC+x=12,解得：x=5,BC=7,此时△ABC的三边长为：AB=AC=10,BC=7．

综上所述：AB=AC=8,BC=11或AB=AC=10,BC=7．

【点睛】本题考查了三角形的中线．掌握三角形的中线的定义是解答本题的关键．

23.如图,已知AE⊥BC,AD平分∠BAE,∠ADB=110°.求∠B的度数．

【答案】∠B=50°

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理,在△ADE中可求得∠DAE的值,根据角平分线的定义可得∠BAE的值,进而求得∠B的值.

【详解】∵∠ADB=110°,

∴∠ADE=180°－110°=70°,

又∵AE⊥BC,

∴∠DAE=90°－70°=20°,

∵AD平分∠BAE,

∴∠BAE=40°,

在△ABE中,∠B=90°－40°=50°.

24.图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

（1）在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　   　；

（2）图2中,当∠D=50度,∠B=40度时,求∠P的度数.

（3）图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得,∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②,再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B,进而求得∠P的度数；

（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义,即可得出2∠P=∠D+∠B.

【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,

∠AOD=∠BOC,

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得,∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,② 

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,

∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB, 

①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,

 即2∠P=∠D+∠B=50°+40°,

∴∠P=45°；    

（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.