导数的几何意义---解答题(含解析)

一、解答题

1、函数f(x)=--x+1的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）

（1）在区间（0，1）内，求实数a使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线 AB；

（2）设m>0，记M（m，f(m)），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数

图象在x=b处的切线平行于直线AM.

2、已知函数f（x）=lnx+x2．

（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x-3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；

（Ⅲ）设F（x）=2f（x）-3x2-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

3、设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

4、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为__________．

5、若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，求实数a的值．

6、已知函数f（x）=，的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．

（1）求实数b，c的值；

（2）若P，Q是曲线y=f（x）上的两点，且△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，此三角形斜边的中点在y轴上，则对任意给定的正实数a，满足上述要求的三角形有几个？

7、已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

8、已知函数f（x）=x3-2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．

（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

9、已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2-x（a∈R）．

（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；

（2）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；

（3）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．

10、已知函数f（x）=mx3+（ax-1）（x-2）（x∈R）的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＜0．

11、求曲线y=在点（1，1）处的切线方程是 __________．

12、求曲线在点处的切线方程．

13、已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：．

（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：成立的充要条件．

导数的几何意义---解答题的答案和解析

一、解答题

1、答案：

(1)a=

(2)证明过程见解析

试题分析：

（1）求出导数，求出切线的斜率f′（a），求得直线AB的斜率，令f′（a）=-1（0＜a＜1）解方程即可得到a；

（2）求出直线AM斜率，求出直线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=-m-1，

考察3-2b-+m=0在区间（0，m）内的根的情况，令g（b）=3-2b-+m，求得g（0），

g（m），g（，对m讨论：当0＜m＜时，当≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证。

解：

（1）解：直线AB斜率kAB=-2x-1，

f（x）的图象在x=a处的切线平行于直线AB，

令f′（a）=-1（0＜a＜1）即3-2a-1=-1，

解得a=；

（2）证明：f（m）=--m+1，

则直线AM斜率kAM==-m-1，

直线在x=b处的切线斜率为f′（b）=3-2b-1，

由切线平行于AM，可令f′（b）=-m-1

即3-2b-+m=0在区间（0，m）内的根的情况，

令g（b）=3-2b-+m，则此二次函数图象的对称轴为b=，

而g（）=-+m-=--＜0，

g（0）=-+m=m（1-m），

g（m）=2-m=m（2m-1），

则（1）当0＜m＜时，g（0）＞0，g（m）＜0，方程g（b）=0在区间（0，m）内有一实根；

（2）当≤m＜1时，g（0）＞0，g（）＜0，方程g（b）=0在区间（0，）内有一实根；

（3）当m≥1时，g（）＜0，g（m）＞0，方程g（b）=0在区间（，m）内有一实根，

综上，方程g（b）=0在区间（0，m）内至少有一实根，

故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM．

2、答案：

（Ⅰ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，

由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即

又∵x＞0，，当且仅当时等号成立

∴，可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=ex，则t∈[1，2]，则

h（t）=t3-3at，

由h′（t）=0，得或（舍去），

∵，∴

若，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若，则h′（t）＞0，h（t）单调递增

∴当时，h（t）取得极小值，极小值为

（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x2-kx

结合题意，有

①-②得

所以，由④得

所以

设，⑤式变为

设，

所以函数在（0，1）上单调递增，

因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式与⑤矛盾

所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴

3、答案：

试题分析：（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b

（2）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．

试题解析：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化为，当x=2时，，

又，于是，解得，故．

（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即

令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；

令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为．

故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

4、答案：

试题分析：求出函数在x∈[1，2]的函数的解析式，通过函数的奇偶性，求出函数在x∈[1，2]相切，求出切线的斜率即可求出实数k的值．

试题解析：当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），

当1≤x≤2时，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）2+1，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，

∴x＞0时，两个函数的图象，只有2个交点，如图：

设切点为（a，f（a））．

f′（x）=2x-2．

则：，解得a=．

∴k=2．

此时有两个交点，x＜0时，也有两个交点，x=0也是交点，

∴k=2时有5个交点．

故答案为：2-2

5、答案：

试题分析：设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax2+x-9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．

试题解析：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），

则，则切线的斜率k=3x02=0或k=，

若k=0，此时切线的方程为y=0，

由，

消去y，可得ax2+x-9=0，

其中△=0，即（）2+36a=0，

解可得a=-；

若k=，其切线方程为y=（x-1），

由，

消去y可得ax2-3x-=0，

又由△=0，即9+9a=0，

解可得a=-1．

故a=-或-1．

6、答案：

（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x+b，f′（-1）=-3-2+b=b-5．

由（ b-5 ）（）=-1，可得b=0，故 f（x）=-x3+x2+c．

把点（-1，2）代入求得 c=0．

综上可得b=0，c=0．

（2）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为-m，且-m＜0．

当0＜m＜1时，点P（m，-m3+m2），点 Q（-m，m3+m2），

由K0P•KOQ=-1，可得（-m2+m）（-m2-m）=-1，m无解．

当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（-m，m3+m2），

由K0P•KOQ=-1，可得•（-m2-m）=-1，即alnm=．

由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程alnm=．

故曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

7、答案：

试题分析：（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；

（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；

（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．

试题解析：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，

∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在[-1，0）上单调递增；

当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．

（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，

∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），

∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，

∴，

∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．

∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，

∴=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．

∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．

（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．

当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为

，即．

当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．

函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，

由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，

由①②得=．

∵函数，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，

∴a（x1）=在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．

x1→0，a（x1）→-1-ln2．

∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．

8、答案：

试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）根据（1）可知k与-的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；

（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．

试题解析：（1）f'（x）=x2-4x+3，则f′（x）=（x-2）2-1≥-1，

即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[-1，+∞）；------------（4分）

（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------（6分）

解得-1≤k＜0或k≥1，由-1≤x2-4x+3＜0或x2-4x+3≥1

得：x∈（-∞，2-]∪（1，3）∪[2+，+∞）；-------------------------------（9分）

（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，

则切线方程是：y-（-2+3x1）=（-4x1+3）（x-x1），

化简得：y=（-4x1+3）x+（-+2），--------------------------（11分）

而过B（x2，y2）的切线方程是y=（-4x1+3）x+（-+2），--------------------------（，

由于两切线是同一直线，

则有：-4x1+3=-4x1+3，得x1+x2=4，----------------------（13分）

又由-+2=-+2，

即-（x1-x2）（+x1x2+）+2（x1-x2）（x1+x2）=0

-（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+-12=0

即（4-x2）×4+-12=0，-4x2+4=0

得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．

所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．----------------------------------（16分）

9、答案：

试题分析：（1）因为曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，所以，解出即可；

（2）设P（x0，y0），由题设得f（x0）=g（x0），f′（x0）=g（x0），转化为关于x0的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；

（3）设曲线f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为，则只需使该切线与g（x）相切即可，也即方程组只有一解即可，所以消y后△=0，问题转化关于t的方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得a值；

试题解析：（1），g'（x）=2ax-1．

∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，

∴，解得，．     

（2）设P（x0，y0），则由题设有…①，

又在点P有共同的切线，∴，

代入①得 ，

设，则，则h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，

从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．

（3）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，，

曲线f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为，即．

由，得 ．

∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程，

即（*）总有解．                           

若t＞e，则1-lnt＜0，而，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，

从而，方程（*）可化为 ．

令（0＜t＜e），则．

∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．

∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，

所以，要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1． 

所以正实数a的最小值为1．

10、答案：

试题分析：（I）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（1）=3m-1，可得到关于m的值；

（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．下面对字母a的取值情况进行分类讨论：当a=0时，f （x）=-（x-2）＞0，当a＞0时，再分：若＜2；若=2；若＞2，分别求出原不等式的解集即可．

试题解析：（I）∵f （x）=mx3+ax2-（2a+1）x+2，∴f′（x）=3mx2+2ax-（2a+1）．

∴f'（1）=3m-1，

即函数f （x）的图象在x=1处的切线斜率为3m-1．

∴由题知3m-1=-1，解得m=0．…（5分）

（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．

当a=0时，f （x）=-（x-2）＞0，解得x＜2．…（7分）

当a＞0时，方程f （x）=0的两根为x2=，x2=2．

若＜2即a＞时，原不等式的解为＜x＜2；…（9分）

若=2即a=时，原不等式的解为∅；…（10分）

若＞2即a＜时，原不等式的解为2＜x＜．…（11分）

∴综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；

当0＜a＜时，原不等式的解集为{x|＜x＜2}；当a=时，原不等式的解集为∅；

当a＞时，原不等式的解集为{x|2＜x＜}．…（12分）

11、答案：

，，

即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0．

因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1．

故答案为：y=1．

12、答案：

∵

∴y′|x=1=-

在点处的切线方程为

即切线方程为5x+32y-7=0

13、答案：

试题分析：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），不妨设x1＞x2，利用图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，推出：x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0，通过两次△＜0推出-

（2）通过函数的导数就是函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，利用|k|≤1，与相互充要故选证明即可．

试题解析：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），

不妨设x1＞x2，

则，即＜1，

∴＜1

整理得：x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0

∵x1∈R

∴△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0即3x22-2ax2-a2+4＞0

∵x2∈R

∴△=4a2-12（-a2+4）＜0即a2-3＜0

∴-

（2）k=f'（x）=-3x2+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1⇔-1≤-3x2+2ax≤1

⇔或或

解得：1≤a≤，故|k|≤1成立的充要条件是．