| 教学内容 | 空间向量及其运算 | ||
| 教学目标 | .了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. | ||
| 重点 | .掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系 | ||
| 难点 | .掌握空间向量的数量积及其坐标表示，运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系 | ||
| 教学准备 | |||
教 学 过 程 教 学 过 程 教 学 过 程 教 学 过 程 教 学 过 程 教 学 过 程 | 自主梳理 1．空间向量的有关概念及定理 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向________且模________的向量． (3)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是________________________． (4)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O有，＝________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____. (5)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________________，把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底． 2．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝________________________________________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 若b≠0，则a∥b⇔________⇔__________，________，______________， a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝________________________________， cos〈a，b〉＝＝__________________________. 若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则||＝______________________________. 3．利用空间向量证明空间中的位置关系 若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： | 平行 | 垂直 |
| 直线 与直线 | l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数) | l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0 | |
| 直线 与平面 | ①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝0 ②l∥α⇔v＝xv1＋yv2其中v1，v2为平面α内不共线向量，x， y均为实数 | l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数) | |
| 平面 与平面 | α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数) | α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 | |
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.
2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为________．
3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则||＝________.
4．下列4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.
其中真命题是________(填序号)．
5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).
探究点一 空间基向量的应用
例1 已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
变式迁移1 如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．
探究点二 利用向量法判断平行或垂直
例2 两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.
(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．
变式迁移2
如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.
探究点三 利用向量法解探索性问题
例3 如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；
(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．
变式迁移3 已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．
(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；
(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．
1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．
2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．
2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是______________三角形．
3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．
4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.
5．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．
6. (2010·信阳模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝________.
7．(2010·铜川一模)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①(－)－； ②(＋)－；
③(－)－2； ④(＋)＋.
其中能够化简为向量的是________．(填所有正确的序号)
8．(2010·丽水模拟) 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．
二、解答题(共42分)
9．(14分) 如图所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E、B、F、D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.
10．(14分)(2009·福建)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
11. (14分)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
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