b a 21(21(<2．不等式的解集是( )32->x(A ) (B) (C) (D) )32,(--∞)32,(--∞),0(+∞ )0,32(-),0(+∞ )0,3
2(-3．不等式的解集为( )
125x x -++≥(A) (B) (C) (D) (][)+∞-∞-,22, (][
)+∞-∞-,21, (][)+∞-∞-,32, (][)+∞-∞-,23, 4．若,则的最小值为 ( )0n >232n n +
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
5．若A=，B=，则A ，B 的大小关系为
(3)(7)x x ++(4)(6)x x ++__________.
6．设，是不全相等的正数，求证：
a b c 1）；
()()()8a b b c c a abc +++>
2）a b c ++>++7.．已知，求证≥x y R ∈222x y +2()2
x y +8．如图1，把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作a 成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
9．已知，，且不全相等，求证.
a b 0c >222222
()()()6a b c b a c c a b abc +++++>10． 已知，…，且，求证.1a 2a +∈R a n 121=n a a a n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ 11.已知，且.试证：，中至少有一个小于2.
x 0>y 2>+y x y x +1x
y +112.求函数的最大值.
x x y 21015-+-=13. 已知，求证≤1.
12
2=+b a θθsin cos b a +14. 已知，求的最小值.12=+y x 22y x +
15. 已知，求的最小值.
10432=++z y x 222z y x ++16. 已知，是正数，求证.
a b c 2
2
29a b b c c a a b c
++≥+++++17.证明：能够被6整除.
)(53+∈+N n n n 18. 设,求证：.,,a b c R +∈32
a b
c
b c c a a b ++≥+++不 等 式 选 讲 答 案
1.D .提示：注意函数的单调性；
1()2x
y =2.B .提示：先移项，再通分，再化简；
3.D .提示：当≤－2时，原不等式可以化为≥5，
x (1)(2)x x ---+解得≤－3，即不等式组的解集是.
x 2125
x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩(,3]-∞-当时，原不等式可以化为≥5，
21x -<<(1)(2)x x --++即3≥5，矛盾.所以不等式组，的解集为，
21125
x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩∅当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，
x (1)(2)x x -++x 即不等式组的解集是.
1125
x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩[2,)+∞综上所述，原不等式的解集是;
(,3][2,)-∞-+∞ 4.C . 提示：;
223232
22n
n
n n n +=++5. .
A B <提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.
因为(3)(7)(4)(6)x x x x ++-++22(1021)(1024)x x x x =++-++30
=-<所以;
(3)(7)(4)(6)x x x x ++<++
6．提示：，a b +≥ b c +≥ c a +≥ 分别将以上三式相乘或相加即可;
7.提示: ;
22222222
2()()2()2442
x y x y x y x y xy x y +++++++=≥=8.提示: 设切去的正方形边长为，无盖方底盒子的容积为，则
x V
2(2)V a x x =-3311(2)(2)42(2)(2)4[]44327
a x a x
x a a x a x x -+-+=--⨯≤=
当且仅当，即当时，不等式取等号，此时取最大值.即当切去的小正224a x a x x -=-=6
a x =V 3227a 方形边长是原来正方形边长的时，盒子容积最大.16
9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.
证明：因为≥，所以≥. ①
22b c +2bc 0a >22()a b c +2abc 因为≥，所以≥. ②
22c a +2ac 0b >22
()b c a +2abc 因为≥，所以≥. ③
22a b +2ab 0c >22()c a b +2abc 由于，不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得a b c .
222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>10．提示：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发n n 121=n a a a 现如果能将左边转化为，…，的乘积，问题就能得到解决.
1a 2a n a 证明：因为，所以，即.+∈R a 111112
1a a a =⋅≥+1121a a ≥+同理，…….因为，…，由不等式的性质，2221a a ≥+n n a a 21≥+1a 2a +∈R a n 得.
n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ 因为时，取等号，所以原式在时取等号.
1=i a i i a a 21≥+121====n a a a 11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.
证明：假设，都不小于2，即，且.y x +1x y +121≥+y
x 21≥+x y 因为，所以，且.把这两个不等式相加，得，x 0>y y x 21≥+x y 21≥+)(22y x y x +≥++从而.这与已知条件矛盾.因此，都不小于2是不可能的，即原命题成立.
2≤+y x 2>+y x y x +1x
y +112. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.
bd ac +解：函数的定义域为，且.[
]5,10>y
x x y -⨯+-⨯=52153
27=⨯=
当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值.x x -⨯=-⨯551227
127=x 3613.
提示: cos sin a b θθ
+=
1=14.提示: .22222221(2)(12)()5()x y x y x y =+≤++=+ 2215x y ∴+≥
15.提示: 2222222100(234)(234)()x y z x y z =++≤++++ 222100.29x y z ∴++≥16.提示:111[2()]()a b c a b b c c a
+++++++2111[()()()](
)(111)9.2229.a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b c =+++++++≥++=+++∴++≥+++++17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证时1=n 命题成立；第二步要明确目标，即在假设能够被6整除的前提下，证明也能k k 53+)1(5)1(3+++k k 被6整除.
证明：1）当时，显然能够被6整除，命题成立.
1=n 653=+n n 2）假设当时，命题成立，即能够被6整除.
)1(≥=k k n k k 53
+ 当时，
1+=k n 55133)1(5)1(233+++++=+++k k k k k k 633)5(23++++=k k k k .
6)1(3)5(3++++=k k k k 由假设知能够被6整除，而是偶数，故能够被6整除，从而k k 53
+)1(+k k )1(3+k k 即能够被6整除.因此，当时命题成立.
6)1(3)5(3++++k k k k )1(5)1(3+++k k 1+=k n 由1）2）知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除;
)(53+∈+N n n n 18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：
91112a b c b c c a a b +++++≥+++即只须证：111[2()](9a b c b c c a a b
++++≥+++由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。（法二）由对称性，不妨设：,则，0a b c ≥≥>111b c c a a b
≥≥+++所以：（顺序和）（乱序和）a b c b c a b c c a a b b c c a a b
++≥++++++++（顺序和）（乱序和）a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++
将以上两式相加即得：.32
a b c b c c a a b ++≥+++
