2010年福建卷高考理科数学试题真题及答案

第I卷（选择题 共60分）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

1．  的值等于（    ）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.          B.        C.        D.  本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】A本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】原式= ，故选A。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

2．以抛物线 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(      )本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.     B.        C.      D.  本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】D本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选D。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

3．设等差数列 的前n项和为 ,若 , ,则当 取最小值时,n等于本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.6        B.7       C.8       D.9本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】A本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】设该数列的公差为 ，则 ，解得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 ，所以当 时， 取最小值。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

4．函数 的零点个数为 (     )本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.0       B.1        C.2         D.3本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】C本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】当 时，令 解得 ；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

当 时，令 解得 ，所以已知函数有两个零点，选C。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于（    ）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.2       B.3      C.4       D.5本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】C本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由程序框图可知，该框图的功能是本文来自 网 http://www.acsf.cn 

输出使和 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

时的 的值加1，因为 ， ， 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以当 时，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

计算到 ，故输出的 是4，选C。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题属新课标新增内容，考查认识程序框图的基本能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

6．如图,若 是长方体 被平面 截去几何体 后得到的几何体,其中E为线段 上异于 的点，F为线段 上异于 的点，且 ∥ ，则下列结论中不正确的是（     ）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.  ∥       B.四边形 是矩形    C.  是棱柱    D.  是棱台本文来自 网 http://www.acsf.cn 

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【答案】D本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】因为 ∥ ， ∥ ，所以 ∥ ，又  平面 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 ∥平面 ，又  平面 ，平面 平面 = ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 ∥ ，故 ∥ ∥ ，所以选项A、C正确；因为 平面 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ∥ ，所以  平面 ，又  平面 ， 故   ，所以选项B也正确，故选D。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

7．若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 (     )本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.      B.       C.        D.  本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】B本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方程为 ，设点P ，则有 ，解得 ，因为 ， ，所以 =   ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值  ，故 的取值范围是 ，选B。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

8．设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与 关于直线 对称,对于 中的任意一点A与 中的任意一点B,  的最小值等于(    )本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.        B.4       C.          D.2本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】B本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到直线 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

可看出点（1，1）到直线 的距离最小，故 的最小值为本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ，所以选B。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

9．对于复数 ,若集合 具有性质“对任意 ,必有 ”,则当本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 时, 等于 (      )本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A.1       B.-1       C.0          D. 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】B本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由题意，可取 ，所以 ，选B。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

10．对于具有相同定义域D的函数 和 ,若存在函数 为常数),对任给的正数m,存在相应的 ,使得当 且 时,总有 ,则称直线 为曲线 和 的“分渐近线”.给出定义域均为D= 的四组函数如下:本文来自 网 http://www.acsf.cn 

① ,  ;         ② , ;本文来自 网 http://www.acsf.cn 

③ , ;   ④ , .本文来自 网 http://www.acsf.cn 

其中, 曲线 和 存在“分渐近线”的是(     )本文来自 网 http://www.acsf.cn 

A. ①④        B. ②③       C.②④　　　　　D.③④本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】C本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

二、填空题：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

11．在等比数列 中,若公比 ,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式          .本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由题意知 ，解得 ，所以通项  。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于          .本文来自 网 http://www.acsf.cn 

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【答案】 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ，侧面积为 ，所以其表面积为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于          。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】0.128本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由题意知，所求概率为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

14．已知函数 和 的图象的对称轴完全相同。若 ，则 的取值范围是         。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】由题意知， ，因为 ，所以 ，由三角函数图象知：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 的最小值为 ，最大值为 ，所以 的取值范围是 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

15．已知定义域为 的函数 满足：①对任意 ，恒有 成立；当 时， 。给出如下结论：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

①对任意 ，有 ；②函数 的值域为 ；③存在 ，使得 ；④“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是 “存在 ，使得本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ”。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

其中所有正确结论的序号是                。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【答案】①②④本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】对①，因为 ，所以 ，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

三、解答题：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

16．（本小题满分13分）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

设 是不等式 的解集，整数 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（1）记使得“ 成立的有序数组 ”为事件A，试列举A包含的基本事件；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）设 ，求 的分布列及其数学期望 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（1）由 得 ，即 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

由于整数 且 ，所以A包含的基本事件为本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）由于 的所有不同取值为 所以 的所有不同取值为 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

且有  ，  ，  ，  ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

故 的分布列为本文来自 网 http://www.acsf.cn  本文来自 网 http://www.acsf.cn

 0本文来自 网 http://www.acsf.cn

 1本文来自 网 http://www.acsf.cn

 4本文来自 网 http://www.acsf.cn

 9本文来自 网 http://www.acsf.cn

P本文来自 网 http://www.acsf.cn

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所以 =     。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

17．（本小题满分13分）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（1）求椭圆C的方程；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）是否存在平行于OA的直线 ，使得直线 与椭圆C有公共点，且直线OA与 的距离等于4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为 ，且可知左焦点为本文来自 网 http://www.acsf.cn 

F（-2，0），从而有 ，解得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

又 ，所以 ，故椭圆C的方程为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

由 得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

因为直线 与椭圆有公共点，所以有 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

解得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

另一方面，由直线OA与 的距离4可得： ，从而 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

由于  ，所以符合题意的直线 不存在。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

18．（本小题满分13分）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

如图，圆柱 内有一个三棱柱 ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅰ）证明：平面 平面 ；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）设AB= ，在圆柱 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 内的概率为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（i）当点C在圆周上运动时，求 的最大值；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（ii）记平面 与平面 所成的角为  ，当 取最大值时，求 的值。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（Ⅰ）因为  平面ABC， 平面ABC，所以   ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

因为AB是圆O直径，所以   ，又  ，所以  平面 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

而 平面 ，所以平面 平面 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为 ，则AB= ，故三棱柱 的体积为本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 = ，又因为 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 = ，当且仅当 时等号成立，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

从而 ，而圆柱的体积 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

故 = 当且仅当 ，即 时等号成立，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 的最大值是 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（ii）由（i）可知， 取最大值时， ，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 （如图），则C（r，0，0），B（0，r，0）， （0，r，2r），本文来自 网 http://www.acsf.cn 

因为  平面 ，所以 是平面 的一个法向量，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

设平面 的法向量 ，由 ，故 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

取 得平面 的一个法向量为 ，因为 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

19．（本小题满分13分）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 。 ，轮船位于港口O北偏西 且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】如图，由（1）得本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设 ，OD= ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以  ，解得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

从而 值，且最小值为 ，于是本文来自 网 http://www.acsf.cn 

当  取得最小值，且最小值为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

此时，在 中， ，故可设计航行方案如下：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

航行方向为北偏东 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

20．（本小题满分14分）本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅰ）已知函数 ， 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（i）求函数 的单调区间；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线C与其在点 处的切线交于另一点本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ，曲线C与其在点 处的切线交于另一点 ，线段本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）对于一般的三次函数 （Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（Ⅰ）（i）由 得 = ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

当 和 时， ；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

当  时， ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为  。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（ii）曲线C与其在点 处的切线方程为 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

  得  ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

即 ，解得 ，进而有本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ，用 代替 ，重复上述计算过程，可得本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 和 ，又 ，所以 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

因此有 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）记函数 的图象为曲线 ，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式 的实数 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ，曲线C与其在点 处的切线交于另一点 ，线段本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

证明如下：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 的对称中心  平移至坐标原点，因而不妨设 ，类似（i）（ii）的计算可得本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 ， 故 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本文来自 网 http://www.acsf.cn 

已知矩阵M= ， ，且 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅰ）求实数 的值；（Ⅱ）求直线 在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程本文来自 网 http://www.acsf.cn 

在直角坐标系xoy中，直线 的参数方程为 （t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线 交于点A、B，若点P的坐标为 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

求|PA|+|PB|。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲本文来自 网 http://www.acsf.cn 

已知函数 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（1）选修4-2：矩阵与变换本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（Ⅰ）由题设得 ，解得 ；本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线 上的两（0，0），（1，3），本文来自 网 http://www.acsf.cn 

由  ，  得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而本文来自 网 http://www.acsf.cn 

直线 在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（2）选修4-4：坐标系与参数方程本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（Ⅰ）由 得 即 本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

即 由于 ，故可设 是上述方程的两实根，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

所以 故由上式及t的几何意义得：本文来自 网 http://www.acsf.cn 

|PA|+|PB|= =  。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（3）选修4-5：不等式选讲本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

【解析】（Ⅰ）由 得 ，解得 ，本文来自 网 http://www.acsf.cn 

又已知不等式 的解集为 ，所以 ，解得 。本文来自 网 http://www.acsf.cn 

（Ⅱ）当 时， ，设 ，于是本文来自 网 http://www.acsf.cn 

 = ，所以本文来自 网 http://www.acsf.cn 

当 时， ；当 时， ；当 时， 。本

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