一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）（2012•安徽）复数数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（ ）
| A． | ﹣2﹣2i | B． | ﹣2+2i | C． | 2﹣2i | D． | 2+2i |
2．（5分）（2012•安徽）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（ ）
| A． | f（x）=|x| | B． | f （x）=x﹣|x| | C． | f（x）=x+1 | D． | f（x）=﹣x |
3．（5分）（2012•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 8 |
4．（5分）（2012•安徽）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（ ）
| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 7 |
5．（5分）（2012•安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
| A． | 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 | |
| B． | 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 | |
| C． | 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 | |
| D． | 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 |
6．（5分）（2012•安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
7．（5分）（2012•安徽）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（ ）
| A． | ﹣3 | B． | ﹣2 | C． | 2 | D． | 3 |
8．（5分）（2012•安徽）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（ ）
| A． | （﹣7，﹣） | B． | （﹣7，） | C． | （﹣4，﹣2） | D． | （﹣4，2） |
9．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
| A． | B． | C． | D． | 2 |
10．（5分）（2012•安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
| A． | 1或3 | B． | 1或4 | C． | 2或3 | D． | 2或4 |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．（5分）（2012•安徽）若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是 ．
12．（5分）（2012•安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ．
13．（5分）（2012•安徽）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=（ρ∈R）的距离是 ．
14．（5分）（2012•安徽）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是 ．
15．（5分）（2012•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a3+b3=c3，则C＜
④若（a+b）c＜2ab，则C＞
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（12分）（2012•安徽）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．
17．（12分）（2012•安徽）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．
（Ⅰ）求X=n+2的概率；
（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）
18．（12分）（2012•安徽）平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；
（Ⅱ）求AA1的长；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
19．（13分）（2012•安徽）设函数f（x）=aex++b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．
20．（13分）（2012•安徽）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
21．（13分）（2012•安徽）数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
2012年安徽省高考数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）（2012•安徽）复数数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（ ）
| A． | ﹣2﹣2i | B． | ﹣2+2i | C． | 2﹣2i | D． | 2+2i |
| 考点： | 复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可． |
| 解答： | 解：（z﹣i）（2﹣i）=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i． 故选D． |
| 点评： | 本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力． |
2．（5分）（2012•安徽）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（ ）
| A． | f（x）=|x| | B． | f （x）=x﹣|x| | C． | f（x）=x+1 | D． | f（x）=﹣x |
| 考点： | 进行简单的演绎推理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求． |
| 解答： | 解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件； f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件； f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件； f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件； 故选C |
| 点评： | 本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． |
3．（5分）（2012•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 8 |
| 考点： | 循环结构．菁优网版权所有 | ||||
| 专题： | 计算题． | ||||
| 分析： | 列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果． | ||||
| 解答： | 解：由题意循环中x，y的对应关系如图： x | 1 | 2 | 4 | 8 |
| y | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 故选B． | |
| 点评： | 本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力． |
4．（5分）（2012•安徽）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（ ）
| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 7 |
| 考点： | 等比数列的通项公式；对数的运算性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 等差数列与等比数列． |
| 分析： | 由公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，知，故a7=4，=32，由此能求出log2a16． |
| 解答： | 解：∵公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16， ∴， ∴a7=4， ∴=32， ∴log2a16=log232=5． 故选B． |
| 点评： | 本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． |
5．（5分）（2012•安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
| A． | 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 | |
| B． | 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 | |
| C． | 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 | |
| D． | 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 |
| 考点： | 极差、方差与标准差；分布的意义和作用；众数、中位数、平均数．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论． |
| 解答： | 解：=×（4+5+6+7+8）=6， =×（5+5+5+6+9）=6， 甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2， 以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4． 故选：C． |
| 点评： | 本题主要考查了平均数及其方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题． |
6．（5分）（2012•安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| 考点： | 必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 简易逻辑；立体几何． |
| 分析： | 通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可． |
| 解答： | 解：由题意可知α⊥β，b⊥m⇒a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图， 显然平面α与平面β不垂直．所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件． 故选A． |
| 点评： | 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力与作图能力． |
7．（5分）（2012•安徽）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（ ）
| A． | ﹣3 | B． | ﹣2 | C． | 2 | D． | 3 |
| 考点： | 二项式定理的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （x2+2）（）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论． |
| 解答： | 解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5； 第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2 ∴（x2+2）（）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3 故选D． |
| 点评： | 本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径． |
8．（5分）（2012•安徽）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（ ）
| A． | （﹣7，﹣） | B． | （﹣7，） | C． | （﹣4，﹣2） | D． | （﹣4，2） |
| 考点： | 平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 由点0（0，0），P（6，8），知，设，则cosθ=，sinθ=，由向量绕点逆时针方向旋转后得向量，由此能求出结果． |
| 解答： | 解：∵点0（0，0），P（6，8）， ∴， 设， 则cosθ=，sinθ=， ∵向量绕点逆时针方向旋转后得向量， 设Q（x，y），则x=10cos（θ+）=10（cosθcos﹣sinθsin）=﹣7， y=10sin（θ+）=10（sinθcos+cosθsin）=﹣， ∴=（﹣7，﹣）． 故选A． |
| 点评： | 本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． |
9．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）
| A． | B． | C． | D． | 2 |
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积． |
| 解答： | 解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m， ∵|AF|=3， ∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3 ∴2+3cosθ=3 ∴cosθ= ∵m=2+mcos（π﹣θ） ∴ ∴△AOB的面积为S== 故选C． |
| 点评： | 本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键． |
10．（5分）（2012•安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
| A． | 1或3 | B． | 1或4 | C． | 2或3 | D． | 2或4 |
| 考点： | 进行简单的合情推理；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 由题意，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到4份纪念品的同学人数． |
| 解答： | 解：由题意， ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人 综上所述，收到4份纪念品的同学人数为2或4人 故选D． |
| 点评： | 本题考查组合知识，考查分类讨论的数学思想，属于基础题． |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．（5分）（2012•安徽）若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是 [﹣3，0] ．
| 考点： | 简单线性规划．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围． |
| 解答： | 解：约束条件，表示的可行域如图， 由解得A（0，3）、 由解得B（0，）、 由解得C（1，1）； 结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大 所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值， 最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3； 所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]． 故答案为：[﹣3，0] |
| 点评： | 本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型． |
12．（5分）（2012•安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 92 ．
| 考点： | 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可． |
| 解答： | 解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，S上=S下=；S侧=． 几何体的表面积为 S==92． 故答案为：92． |
| 点评： | 本题考查三视图求解几何体的表面积的方法，正确判断几何体的形状是解题的关键． |
13．（5分）（2012•安徽）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=（ρ∈R）的距离是 ．
| 考点： | 简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论． |
| 解答： | 解：圆ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4 直线θ=化为直角坐标方程为x﹣y=0 ∴圆心到直线的距离是 故答案为： |
| 点评： | 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式，属于基础题． |
14．（5分）（2012•安徽）若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是 ﹣ ．
| 考点： | 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 由平面向量满足|2|≤3，知，故≥=4||||≥﹣4，由此能求出的最小值． |
| 解答： | 解：∵平面向量满足|2|≤3， ∴， ∴≥=4||||≥﹣4， ∴， ∴， 故的最小值是﹣． 故答案为：﹣． |
| 点评： | 本题考查平面向量数量积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． |
15．（5分）（2012•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是 ①②③ （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c2，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a3+b3=c3，则C＜
④若（a+b）c＜2ab，则C＞
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．
| 考点： | 命题的真假判断与应用；余弦定理的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题；压轴题． |
| 分析： | ①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形 |
| 解答： | 解：①ab＞c2⇒cosC=＞=⇒C＜，故①正确； ②a+b＞2c⇒cosC=＞=≥=⇒C＜，故②正确； ③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确； ④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C=＜，故④错误； ⑤举出反例：取a=b=c=，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C=，故⑤错误 故答案为①②③ |
| 点评： | 本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题 |
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（12分）（2012•安徽）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．
| 考点： | 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式， （1）直接利用周期公式求解即可． （2）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0，]时，g（x）=﹣f（x），对x分类求出函数的解析式即可． |
| 解答： | 解：函数f（x）=cos（2x+）+sin2x =cos2x﹣sin2x+（1﹣cos2x）=﹣sin2x． （1）函数的最小正周期为T==π． （2）当x∈[0，]时g（x）==sin2x． 当x∈[﹣]时，x+∈[0，]，g（x）=g（x+）=sin2（x+）=﹣sin2x． 当x∈[）时，x+π∈[0，]，g（x）=g（x+π）=sin2（x+π）=sin2x． g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式：g（x）=． |
| 点评： | 本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的化简，考查计算能力． |
17．（12分）（2012•安徽）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．
（Ⅰ）求X=n+2的概率；
（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）
| 考点： | 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 | |||
| 专题： | 计算题． | |||
| 分析： | （Ⅰ）根据题意，可知X=n+2表示两次调题均为A类试题，故可求概率； （Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为，随机变量X可取n，n+1，n+2，求出相应的概率，即可得到X的分布列和均值． | |||
| 解答： | 解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为= （Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为 随机变量X可取n，n+1，n+2 P（X=n）=（1﹣p）2=；P（X=n+1）=p（1﹣p（1﹣p）p=，P（X=n+2）=p2= 分布列如下 X | n | n+1 | n+2 |
| P |
| ∴E（X）=n×+（n+1）×+（n+2）×=n+1 | |
| 点评： | 本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与均值，解题的关键是确定变量的取值，理解其含义． |
18．（12分）（2012•安徽）平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=．现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A2A，A2B，A2C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA1⊥BC；
（Ⅱ）求AA1的长；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
| 考点： | 平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | （Ⅰ）证明AA1⊥BC，只需证明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，即可证得； （Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D=OA，则可得AD∥OO1，AD=OO1，可证OO1⊥面A1B1C1，从而AD⊥面A1B1C1，即可求AA1的长； （Ⅲ）证明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，在△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值． |
| 解答： | （Ⅰ）证明：取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1， ∵AB=AC，∴AO⊥BC ∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC ∴AO⊥平面BB1C1C 同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面 ∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A ∵AA1⊂平面OO1A1A，∴AA1⊥BC； （Ⅱ）解：延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1， ∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1， ∴OO1⊥面A1B1C1， ∵AD∥OO1， ∴AD⊥面A1B1C1， ∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3 ∴AA1==5； （Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角 在直角△OO1A1中，A1O= 在△OAA1中，cos∠AOA1=﹣ ∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣． |
| 点评： | 本题考查线线垂直，考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角． |
19．（13分）（2012•安徽）设函数f（x）=aex++b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．
| 考点： | 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | （Ⅰ）设t=ex（t≥1），则，求出导函数，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0，在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）取得最小值； （Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）设t=ex（t≥1），则 ∴ ①当a≥1时，y′＞0，∴在t≥1上是增函数， ∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为 ②当0＜a＜1时，当且仅当at=1（x=﹣lna）时，f（x）的最小值为b+2； （Ⅱ）求导函数，可得） ∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=， ∴，即，解得． |
| 点评： | 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，属于中档题． |
20．（13分）（2012•安徽）如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题；压轴题． |
| 分析： | （Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入，可求得P，根据点Q的坐标是（4，4），PF1⊥QF2，即可求得椭圆C的方程； （Ⅱ）利用PF1⊥QF2，求得，从而可求，又，求导函数，可得x=﹣c时，y′==，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点． |
| 解答： | （Ⅰ）解：将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入得 ∴P ∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2 ∴ ∵ ∴a=2，c=1，b= ∴椭圆C的方程为； （Ⅱ）证明：设Q，∵PF2⊥QF2 ∴ ∴y2=2a ∴ ∵P，∴ ∵，∴ ∴y′= ∴当x=﹣c时，y′== ∴直线PQ与椭圆C只有一个交点． |
| 点评： | 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强． |
21．（13分）（2012•安徽）数列{xn}满足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
| 考点： | 数列与函数的综合；必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性；数列递推式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；证明题；压轴题；转化思想． |
| 分析： | （Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0； （Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c时，证明xn+1＞xn．=⇔．当c时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c时，数列{xn}是递增数列． |
| 解答： | 当c＜0时，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn， ∴{xn}是单调递减数列 充分条件 当{xn}是单调递减数列时 x1=0＞x2=﹣x21+x1+c ∴c＜0 综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0； （Ⅱ）由（I）得，c≥0 ①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意； ②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c ∴0＜c＜1 ⇔ ⇔0=x1≤xn＜，=﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1）， 当0＜c时，⇒xn﹣xn+1+1＞0⇔xn+2﹣xn+1﹣1＜0，⇔xn+2﹣xn+1与xn+1﹣xn同号， 由x2﹣x1=c＞0⇒xn+1﹣xn＞0⇔xn+1＞xn． =⇔． 当c时，存在N使xN⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2﹣xN+1与xN+1﹣xN异号， 与数列{xn}是从递减数列矛盾． 所以当0＜c时，数列{xn}是递增数列． |
| 点评： | 本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性的证明，充要条件的证明，考查逻辑推理能力，计算能力． |
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