2018天津数学中考题

数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 计算的结果等于（  ）

A. 5    B.     C. 9    D. 

【答案】C

【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．

详解：（-3）2=9，

故选C．

点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．

2. 的值等于（  ）

A.     B.     C. 1    D. 

【答案】B

【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．

详解：cos30°=．

故选：B．

点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．

3. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

详解：将77800用科学记数法表示为：．

故选B．

点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．

详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：A．

点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．

5. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（  ）

 A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】分析：画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．

详解：这个几何体的主视图为：

故选：A．

点睛：本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

6. 估计的值在（  ）

A. 5和6之间    B. 6和7之间

C. 7和8之间    D. 8和9之间

【答案】D

【解析】分析：利用“夹逼法”表示出的大致范围，然后确定答案．

详解：∵＜＜81，

∴8＜＜9，

故选：D．

点睛：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题

7. 计算的结果为（  ）

A. 1    B. 3    C.     D. 

【答案】C

【解析】分析：根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．

详解：原式=.

故选：C．

点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

8. 方程组的解是（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．

详解：，

①-②得

x=6，

把x=6代入①，得

y=4，

原方程组的解为．

故选A.

点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．

9. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】分析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．

详解：∵反比例函数y＝中，k=12>0，

∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，

∵y1＜y2＜0＜y3，

∴．

故选：B．

点睛：本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．

10. 如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（  ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】D

【解析】分析：由折叠的性质知，BC=BE．易得.

详解：由折叠的性质知，BC=BE．

∴.．

故选：D．

点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

11. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．

详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．

∴PA+PE的最小值AE′；

∵E为AD的中点，

∴E′为CD的中点，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,

∴DE′=BF，

∴ΔABF≌ΔAD E′，

∴AE′=AF.

故选D.

点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．

12. 已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：

①抛物线经过点；

②方程有两个不相等的实数根；

③.

其中，正确结论的个数为（  ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】C

【解析】分析：根据抛物线的对称性可以判断①错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断②正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断③正确，故可得解.

详解：抛物线（，，为常数，）经过点，其对称轴在轴右侧，故抛物线不能经过点，因此①错误；

抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；

∵对称轴在轴右侧，

∴>0

∵a<0

∴b>0

∵经过点，

∴a-b+c=0

∵经过点，

∴c=3

∴a-b=-3

∴b=a+3，a=b-3

∴-3∴-3故选C.

点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13. 计算的结果等于__________．

【答案】

【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可．

详解：原式=2x4+3=2x7．

故答案为：2x7．

点睛：本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．

14. 计算的结果等于__________．

【答案】3

【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．

详解：原式=（）2-（）2

=6-3

=3，

故答案为：3．

点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．

15. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．

【答案】

【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

详解：∵袋子有11个小球，其中红球有6个，

∴摸出一个球是红球的概率是，

故答案为：．

点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

16. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________．

【答案】

【解析】分析：直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．

详解：将直线y=x先向上平移2个单位，所得直线的解析式为y=x+2．

故答案为y=x+2．

点睛：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．

17. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．

【答案】

【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.

详解：连接DE，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，DE=AC

∵ΔABC是等边三角形，且BC=4

∴∠DEB=60°,DE=2 

∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2

∴∠FEC=30°，EF=

∴∠DEG=180°-60°-30°=90°

∵G是EF的中点，

∴EG=. 

 在RtΔDEG中，DG= 

故答案为：.

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键. 

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.

（1）的大小为__________（度）；

（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．

【答案】    (1). ；     (2). 见解析

【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.

详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，

∴AC=，BC=，AB=,

∵ 

∴ 

∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°

故答案为90；

（2）如图，即为所求.

点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.

三、解答题 （本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）  

19. 解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答.

（Ⅰ）解不等式（1），得          ．

（Ⅱ）解不等式（2），得          ．

（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为           ．

【答案】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） （Ⅳ）.

【解析】分析：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．

详解：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥-2；

（Ⅱ）解不等式（2），得x≤1；

（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x≤1.

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．

20. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图①中的值为          ；

（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；

（Ⅲ） 根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？

【答案】（Ⅰ）28. （Ⅱ）平均数是1.52. 众数为1.8. 中位数为1.5. （Ⅲ）280只.

【解析】分析：（Ⅰ）用整体1减去所有已知的百分比即可求出m的值；

（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；

（Ⅲ）用总数乘以样本中2.0kg的鸡所占的比例即可得解.

解：（Ⅰ）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故m=28；

（Ⅱ）观察条形统计图，

∵，

∴这组数据的平均数是1.52.

∵在这组数据中，1.8出现了16次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数为1.8.

∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有，

∴这组数据的中位数为1.5.

（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，质量为的数量占.

∴由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的数量约占.

有.

∴这2500只鸡中，质量为的约有200只。

点睛：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

21. 已知是的直径，弦与相交，.

（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；

（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.

【答案】（1）52°，45°；（2）26°

【解析】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；

（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.

详解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.

∴.

又∴，∴.

由为的中点，得.

∴.

∴.

（Ⅱ）如图，连接.

∵切于点，

∴，即.

由，又，

∴是的外角，

∴.

∴.

又，得.

∴.

点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.

【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.

【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．

详解：如图，过点作，垂足为.

则.

由题意可知，，，，，.

可得四边形为矩形.

∴，.

在中，，

∴.

在中，，

∴.

∴ .

∴.

答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.

点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定题，难度一般．

23. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.

设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.

（Ⅰ）根据题意，填写下表：

（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.

【答案】（Ⅰ）200，，180，.（Ⅱ）小明选择方式一游泳次数比较多. （Ⅲ）当时，有，小明选择方式二更合算；当时，有，小明选择方式一更合算.

【解析】分析：（Ⅰ）根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；

（Ⅱ）根据（1）知两种方式的关系，列出方程求解即可；

（Ⅲ）当时，作差比较即可得解.

详解：（Ⅰ）200，，180，.

（Ⅱ）方式一：，解得.

方式二：，解得.

∵，

∴小明选择方式一游泳次数比较多.

（Ⅲ）设方式一与方式二的总费用的差为元.

则，即.

当时，即，得.

∴当时，小明选择这两种方式一样合算.

∵，

∴随的增大而减小.

∴当时，有，小明选择方式二更合算；

当时，有，小明选择方式一更合算.

点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．

24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.

（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.

①求证；

②求点的坐标.

（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.

【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.

【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；

（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；

②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；

（Ⅲ）.

详解：（Ⅰ）∵点，点，

∴，.

∵四边形是矩形，

∴，，.

∵矩形是由矩形旋转得到的，

∴.

在中，有，

∴ .

∴.

∴点的坐标为.

（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.

又点在线段上，得.

由（Ⅰ）知，，又，，

∴.

②由，得.

又在矩形中，，

∴.∴.∴.

设，则，.

在中，有，

∴.解得.∴.

∴点的坐标为.

（Ⅲ）.

点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.

25. 在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.

（Ⅰ）当抛物线经过点时，求定点的坐标；

（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】分析：（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；

（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；

（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.

详解： （Ⅰ）∵抛物线经过点，

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

∵ ，

∴顶点的坐标为.

（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.

由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.

过点作轴于点，则.

可知，即，解得，.

当时，点不在第四象限，舍去.

∴.

∴抛物线解析式为.

（Ⅲ）由 可知，

当时，无论取何值，都等于4.

得点的坐标为.

过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.

∵，，

∴.∴.

∵ ，

∴.

∴.

∴，.

可得点的坐标为或.

当点的坐标为时，可得直线的解析式为.

∵点在直线上，

∴.解得，.

当时，点与点重合，不符合题意，∴.

当点的坐标为时，

可得直线的解析式为.

∵点在直线上，

∴ .解得（舍），.

∴.

综上，或.

故抛物线解析式为或.

点睛：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.