重庆市2010届高三上学期期末测试(数学理)

数学（理工类）

数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

当事件A、B互斥时，那么P(A+B) = P(A)+P(B)

当事件A、B互相时，那么P(A·B) = P(A)·P(B)

如果事件A在一次实验中发生的概率是P，那么次重复实验中恰好发生K次的概率．

一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求．

1.  设集合A=｛a，b｝，则满足AB=｛a，b，c，d｝的所有集合B的个数是

A.1                  B.4                     C.8                  D.16

2． 函数的反函数的图像为

3.  在等差数列{}中, , 则公差d =

A. 1                   B. －1                   C. ±1                D. ±2

4.  直线在轴和轴上的截距分别为和，直线的方程为，则直线到的角为

A．    B．                    C．                D．或

5.  已知，，则的值是

A．0                 B．                     C．1                 D． 

6． 把函数的图像按向量平移，得到函数的图像，则为

A．        B．              C．         D． 

7.  已知，，当时，，则与的大小关系不可能成立的是

A．            B．          C．       D． 

8.  双曲线的两焦点为，点在双曲线上，且满足：，则的面积是

A．1                 B．                     C．2                D．4

9． 称为两个向量、间的“距离”.若向量、满足: ①；  ②；

③ 对任意的,恒有则

A.              B.              C.          D. 

10. 关于的方程有实数根，则的最小值是

A.                B. 1                      C.                  D. 

二．填空题：（本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）

11. 抛物线的焦点坐标是_____________．

12. 不等式的解集是_____________．

13．已知正数、满足，则的最小值为_____________．

14. 已知数列满足，则数列的通项_____________．

15. 如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC是边长为1的正三角形，曲线分别以A、B、C为圆心，、、为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的

长度_____________．(用π表示即可) 

三. 解答题：（本大题共6小题，共75分）（各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程）.

16. （本小题满分13分）

已知向量.

（Ⅰ）若三点共线，求实数的值；

（Ⅱ）若为锐角，求实数的取值范围.

17. （本小题满分13分）

已知函数，的最大值为，最小值为.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求的单调递增区间.

18. （本小题满分13分）

已知数列中，， ．数列的前项和．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

19. （本小题满分12分）

已知是奇函数.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 若关于的方程有实解,求的取值范围.

20. （本小题满分12分) 

已知点是椭圆上一点，是椭圆的两焦点，且满足．   

   （Ⅰ）求椭圆的两焦点坐标；

（Ⅱ）设点是椭圆上任意一点，如果最大时，求证、两点关于原点不对称；

（Ⅲ）设点、是椭圆上两点，直线、的倾斜角互补，试判断直线的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.

21. （本小题满分12分)

已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中.

（Ⅰ）求证：{}是等比数列；

（Ⅱ）求证：.

高2010级（上）期末测试卷

数学（理工类）（参）

一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．

1～5  BDCBA    6～10 CDACC

10. 令，则原方程化为，其中，此方程有根有以下情形

2

2

2

2

2

对于图，易知和中至少有一个成立

即有或

由线性规划知识可知，满足的平面区域如图阴影部分所示

且点到直线的距离为

故此时，其中当时取等号

对于图，显然有，此时，故有的最小值为．

二．填空题：本大题共5小题，共25分．

11.  12.  13.  14.   15.  

三. 解答题：本大题共6小题，共75分．

16.（13分）解：

（1）已知向量 

  由三点共线知 

∴实数时，满足的条件…………6分

（2）由题设知

为锐角，…………12分

又由（1）可知，当时，，故…………13分

17.（13分）解：

（1），

由题设知，所以，…………4分

所以，

所以的最小正周期为…………7分

（2）由，

所以单调增区间为…………13分

18.（13分）解：

（1）， 

， ，

…………4分

，当时，，

∴数列的通项公式．…………7分

（2）设数列的前项和为，当即时， ；

当时， ．…………13分

19（12分）解：

（Ⅰ）由得：…………2分

为奇函数， 

经验证可知：时，是奇函数，为所求…………5分

（Ⅱ）…………8分

法一：由得：

当且仅当时， 

所以的取值范围是…………12分

法二：原方程即

设，则

原方程有实解，等价于方程有正实解…………6分

令则

或或…………10分

或或

所以的取值范围是…………12分

20.(12分) 解：

（I）由椭圆定义知：  ∴   ∴  把代入得 

∴  则椭圆方程为   ∴  ∴    

故两焦点坐标为．…………3分

（II） 用反证法 ：  假设、两点关于原点对称，则点坐标为，此时     取椭圆上一点，则  ∴．从而此时不是最大，这与最大矛盾，所以命题成立．…………7分

（III）设方程为：       联立消去得

   ∵点在椭圆上 

∴…………9分

∵ 直线、倾斜角互补          ∴的方程为

同理…………10分

        又

所以  即直线的斜率为定值．…………12分

21.(12分) 

过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，

        则，

        于是有：. …………2分 

记，则

，

因为，

因此数列{}是等比数列. ………… 6分

（3）由（2）可知：，

.

当n为偶数时有：

=，

于是

①在n为偶数时有：

.…………10分

②在n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：

.…………12分

综合①②可知原不等式得证.