北师大版高一上册数学期末测试卷(一)附答案

一、选择题（12分×5=60分）

1.设集合，集合，则中所含整数的个数为（    ）

A.4    B.3    C.2    D.1

2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（    ）

A.    B.    C.    D

3.设，，，则，，的大小关系是（    ）

A.        B.

C.        D.

4.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的为（    ）

A.若，，则    B.若，，则

C.若，，则    D.若，，则

5.两条直线，互相垂直，则的值是（    ）

A.3    B.    C.或3    D.0或3

6.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，若点在直线上，则的最小值为（    ）

A.2    B.3    C.4    D.9

8.在正四面体A—BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线平面ABC，与平面BCD交于点Q，给出下列命题：

①平面AMD   ②Q点一定在直线DM上  ③

其中正确的是（    ）

A.①②    B.①③    C.②③    D.①②③

9.已知圆C1：与圆C2：相外切，，为正实数，则的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式解集为（    ）

A.    B.

C.    D.

11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（    ）

A.        B.或

C.或     D.

二、填空题（4分×5=20分）

13.函数的定义域为________.

14.点和点的距离的最小值为________.

15.三条直线，，围成一个三角形，则的取值范围是________.

16.已知函数，则关于的方程的实根个数构成的集合为________.

三、解答题（10分+12分×5=70分）

17.集合，，，全集为.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

18.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求点C到面的距离.

19.已知函数.

（1）用函数单调性的定义证明在区间上为增函数；

（2）解不等式.

20.已知圆上一点关于直线的对称点仍在圆上，直线截得圆的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值.

21.如图甲，在平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点.

（1）求证：平面；

（2）设，求三棱锥的体积.

22.已知函数，，.

（1）当时，判断函数在上的单调性及零点个数；

（2）若关于的方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围.

期末测试

答案解析

一、

1.【答案】C

【解析】解指数不等式求得集合，由此求得，进而判断出中所含整数的个数.由，所以，所以，所以，所含整数为共个.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】试题分析：A中函数在区间上单调递减；B中函数不是奇函数；C中函数不是奇偶函数；D中函数既是奇函数又在区间上单调递增的函数.

3.【答案】A

【解析】利用“分段法”比较出三者的大小关系.，，，所以.

故选：A.

4.【答案】D

【解析】通过举反例可知A，B，C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知D正确.项，若，，则或与相交，故项错误；

项，若，，则或与相交，故项错误；

项，若，，则，，相交，异面都有可能，故项错误；

项，若，，由线面垂直的性质定理可知，故项正确.

故选.

5.【答案】C

【解析】由题意，解得，故选C.

6.【答案】B

【解析】根据在上的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.二次函数的开口向上，对称轴为，左减右增，所以且在上递减.故，解得，所以实数的取值范围是.

故选：B.

7.【答案】D

【解析】写出勾股定理，将点坐标代入直线的方程，根据的几何意义，求得其最小值.由于，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，所以.由于点在直线上，表示直线上的点到原点的距离的平方，原点到直线的的距离为，所以的最小值为.

故选：D.

8.【答案】A

【解析】A−BCD为正四面体且M为BC的中点，

，，

又，

，故①正确.

，，

，

又，，

又，

，

又，故②正确.

由①得，

把MC作为四面体C−MAD的高，为其底面，

在三角形中，

故③错误.

故选A.

9.【答案】B

【解析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到.利用基本不等式即可求出ab的最大值.由已知，圆C1：的圆心为，半径.

圆：的圆心为：，半径.

圆：与圆：相外切，

.

即.

由基本不等式，得.

故选B.

10.【答案】B

【解析】根据为偶函数，判断出的单调区间和零点，由此求得不等式解集.由于函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，所以在上递增且.所以或，解得或，所以不等式解集为.

故选：B.

11.【答案】B

【解析】由三视图所提供的图形和数据可知：该几何体是一个底面是两直角边分别为直角三角形，高为的三棱锥，则其外接球的直径为，其表面积，应选答案B.

12.【答案】D

【解析】先根据幂函数定得，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.由题意，则，即，当时，，又当时，，，解得，故选D.

二、

13.【答案】

【解析】试题分析：由，得，故函数定义域为.

14.【答案】

【解析】利用两点间的距离公式列式，结合二次函数的形式求得距离的最小值.依题意，当时，.

故答案为：.

15.【答案】

【解析】要使三条直线能围成三角形，则不经过与的交点，且与都不平行，由此求得的的取值范围.由解得.直线不过点，即，解得①的斜率为，的斜率为，当时，直线与能围成三角形；当时，直线的斜率为，所以且，即且②.由①②得的取值范围是.

故答案为：.

16.【答案】

【解析】画出的图像.令，并画出图像，结合两个函数图像以及，判断出实根个数构成的集合.画出图像如图所示.令，画出图像如图所示.

由解得.由，解得.

由解得.由，解得.

由解得.由，解得.

（1）当时，，有解，且或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.

（2）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.

（3）当时，，有解，且或或或，结合的图像可知，每个都有两个与其对应，故此时有个实数根.

（4）当时，，有解，且或或或，结合的图像可知，其中对应一个，其它三个都有两个与其对应，故此时有个实数根.

（5）当时，，有解，且或或，结合的图像可知，时没有与其对应，或时每个都有个与其对应，故此时有个实数根.

（6）当时，，有解，且或，有一个与其对应，有两个与其对应，故此时有个实数根.

（7）当时，，有个解，且，结合的图像可知，每个有两个与其对应，故此时有个实数根.

综上所述，关于的方程的实根个数构成的集合为.

故答案：.

三、

17.【答案】（1）

（2）

【解析】（1）依题意，所以.

（2）依题意，由于，所以.

18.【答案】（1）取中点，连结，，，分别为，中点，

可证得，，四边形是平行四边形，

，又平面，平面，

面.

（2）

【解析】（1）具体解答过程参照答案.

（2），

.

19.【答案】（1）的定义域为.任取，

则

.

当时，，而，所以，所以在区间上为增函数.

（2）

【解析】（1）具体解答过程参照答案.

（2）由于，且由（1）知在区间上为增函数，所以由可得，即，解得.

20.【答案】（1）

（2）4

【解析】（1）由于圆上一点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，设圆心的坐标为，半径，依题意直线截得圆的弦长（其中是圆心到直线的距离，即.）所以，即，解得，所以圆心，

.所以圆的方程为.

（2），而，所以当最小时，最小，从而最小.的最小值为圆心到直线的距离，即，此时，也即的最小值为，所以四边形面积的最小值为.

21.【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】（1）折叠前：由于，，，，所以，.

折叠后：由于平面平面，平面平面，，所以平面，所以，由于，，所以平面.

（2）由于，所以.由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于三棱锥和三棱锥的高相等，故，即而.所以.

22.【答案】（1）在上为增函数，在区间上有个零点

（2）

【解析】由，解得或.

（1）由于，由于在上递增，根据复合函数单调性可知，在上递增，当时，在上递增，所以在上递增.由于，，所以在区间上有个零点.

（2）方程可化为，即，化简得，（或），画出（或）的图像如下图所示，要使有两个解，则需，解得.所以实数的取值范围是.