2021届山东省实验中学高三第二次模拟数学试题(解析版)

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（　　）

A．（2，3）    B．[2，3）    C．[﹣2，1）    D．（﹣2，1）

2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（　　）

A．1    B．0    C．2    D．﹣2

3．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c    B．b＜c＜a    C．c＜a＜b    D．c＜b＜a

4．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（　　）

A．28    B．29    C．30    D．31

5．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c的值是（　　）

A．﹣3    B．﹣2    C．0    D．1

6．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（　　）

A．    B．    C．    D．

7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（　　）

A．48    B．50    C．98    D．68

8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（　　）

A．2    B．2log23    C．4    D．4log23

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。

9．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示：

则下列说法正确的是（　　）

A．该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上    

B．该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%    

C．该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生    

D．该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士

10．已知f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的有（　　）

A．ω＝2    

B．函数f（x）在上为增函数    

C．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴    

D．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心

11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有（　　）

A．线段PQ长度的最小值为2    

B．满足PQ＝2的情况只有4种    

C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直    

D．三棱锥P﹣ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关

12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2；…．记an＝1+x1+x2+…+xk+2，数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）

A．k+1＝2n    B．an+1＝3an﹣3    

C．an＝（n2+3n）    D．Sn＝（3n+1+2n﹣3）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量＝（1，m），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m＝　   　．

14．已知sinαcosα＝，且α∈（0，），则的值为 　                　．

15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过　 　次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为　 　．

16．已知过抛物线y2＝x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若不等式（|k1|+4|k2|）（|AF|•|BF|）≥|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为 　           　．

四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．

（1）若△ABC的面积为3，求AC；

（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．

18．已知{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）各项均为正数的数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ____，若数列{cn}满足cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．

在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．

①bn＝2﹣1；②2bn＝bn﹣1+bn+1（n≥2），b2＝3；③Sn﹣Sn﹣1＝（n≥2）．

19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．

（1）求证：BN⊥平面A1B1C1；

（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．

20．每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查．从中随机抽取了100名学生的数据，统计如表：

（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），用（1）中的平均值近似代替μ，且P（14≤X≤17.76）＝0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号．学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡．每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：

21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N．当直线l斜率为﹣1时，弦MN的中点坐标为（）．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求△F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方程．

22．已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cosx在（﹣，+∞）上的零点个数．

参

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（　　）

A．（2，3）    B．[2，3）    C．[﹣2，1）    D．（﹣2，1）

解：∵A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，

∴A∩B＝[﹣2，1）．

故选：C．

2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（　　）

A．1    B．0    C．2    D．﹣2

解：z＝（a﹣3i）（3+2i）＝3a+2ai﹣9i﹣6i2＝3a+6+（2a﹣9）i，

所以复数z的实部与虚部分别为3a+6，2a﹣9，

则3a+6+2a﹣9＝7，得a＝2．

故选：C．

3．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c    B．b＜c＜a    C．c＜a＜b    D．c＜b＜a

解：∵a＝50.3＞50＝1，

 log0.31＜log0.30.5＜log0.30.3，0＜b＜1，

c＝log30.4＜log31＝0，

∴c＜b＜a，

故选：D．

4．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（　　）

A．28    B．29    C．30    D．31

解：设等差数列共有（2n+1）项，

由题意得S奇＝a1+a3+•••+a2n+1，S偶＝a2+a4+•••+a2n，

故S奇﹣S偶＝a1+（a3﹣a2）+•••+（a2n+1﹣a2n），

＝a1+d+•••+d＝a1+nd＝an+1＝319﹣290＝29．

故中间项an+1为29．

故选：B．

5．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c的值是（　　）

A．﹣3    B．﹣2    C．0    D．1

解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，

可得AB与直线x+2y+c＝0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c＝0上；

由AB与直线x+2y+c＝0垂直，可得＝2，解可得t＝﹣1，

则B（﹣1，﹣1），

故AB中点为（0，1），且其在直线x+2y+c＝0上，

代入直线方程可得，0+2×（1）+c＝0，可得c＝﹣2；

故t+c＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3；

故选：A．

6．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，

则这个儿童玩具是在网上购买的可能性为：

P＝＝．

故选：B．

7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（　　）

A．48    B．50    C．98    D．68

解：根据题意，分2种情况讨论，

①每辆车坐3人，有C63＝20种乘车方式；

②一辆车坐2人，另一辆坐4人，要求两个小孩不能单独乘坐一辆车，有（C62﹣1）A22＝28种乘车方式；

则有20+28＝48种车方式；

故选：A．

8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（　　）

A．2    B．2log23    C．4    D．4log23

解：由题意可得，f（x）关于x＝2对称，

而f（x）＝，

且f（0）＝f（4）＝﹣1，f（2）＝1，

在x∈[0，4]，f（x），f（4﹣x）及y＝﹣1的图象如下：

所以将围成的图形在x轴下半部分阴影区域部分相补到x轴上半部分的阴影区域，

可得图示：由x轴，y轴，y＝1，x＝4所围成的矩形的面积，

所以函数y＝f（x）在x∈[0，4]的图象与直线y＝1围成的封闭图形的面积为4．

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。

9．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示：

则下列说法正确的是（　　）

A．该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上    

B．该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%    

C．该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生    

D．该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士

解：对于A，由该行业从业者学历分布饼状图得到：

该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故A正确；

对于B，由从事该行业岗位分布条形图得到：

在高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%，故B正确；

对于C，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，

无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故C错误；

对于D，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，

无法得到该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士，故D错误．

故选：AB．

10．已知f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的有（　　）

A．ω＝2    

B．函数f（x）在上为增函数    

C．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴    

D．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心

解：∵＝cos2ωx+sin2ωx＝2cos（2ωx﹣）  的最小正周期为＝π，

∴ω＝1，∴f（x）＝2cos（2x﹣），故A错误．

在上，2x﹣∈[﹣，0]，故 f（x）＝2cos（2x﹣） 单调递增，故B正确；

当x＝时，f（x）＝1，不是最值，故直线不是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，故C错误；

当x＝时，f（x）＝0，故点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心，故D正确，

故选：BD．

11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有（　　）

A．线段PQ长度的最小值为2    

B．满足PQ＝2的情况只有4种    

C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直    

D．三棱锥P﹣ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关

解：对于A，当P、Q分别为线段B1D1、AC的中点时，PQ是异面直线B1D1、AC的公垂线，

此时线段PQ长度最小为2，故A正确；

对于B，PQ＝2，只能是面对角线，此时PQ可以是AD1，CD1，AB1，CB1四种，故B正确；

对于C，当P与B′重合，Q与C重合时，此时直线PQ（即B1C）与平面BC1D1垂直，故PQ⊥BD1，

故C错误；

对于D，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面△QBA的面积随着点Q的移动而变化，

∴三棱锥P﹣ABQ的体积只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D正确．

故选：ABD．

12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2；…．记an＝1+x1+x2+…+xk+2，数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）

A．k+1＝2n    B．an+1＝3an﹣3    

C．an＝（n2+3n）    D．Sn＝（3n+1+2n﹣3）

解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，

，…，an＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，

由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，

故an有2n+1项．故C错误；

所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；

由an＝，可得an+1＝＝3an﹣3，故B正确；

由Sn＝a1+a2+…+an＝（32+33+34+…+3n+1）+

＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量＝（1，m），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m＝　﹣1　．

解：∵向量＝（1，m），＝（2，1）．m实数，

∴2+＝（4，2m+1），

∵•（2+）＝7，

∴•（2+）＝8+2m+1＝7，

解得m＝﹣1．

故答案为：﹣1．

14．已知sinαcosα＝，且α∈（0，），则的值为 　﹣　．

解：∵sinαcosα＝，

∴（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2×＝，

∵α∈（0，），

∴sinα＞0，cosα＞0，∴sinα+cosα＝，

∴＝＝﹣（sinα+cosα）＝﹣＝﹣．

故答案为：﹣．

15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过　5　次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为　37　．

解：当m＝5时，5→16→8→4→2→1共5步雹程变成1，

若m需经过5步雹程首次变成1则1←2←4←8←16←5或1←2←4←8←16←32两种情况，

即m＝5或m＝32，则5+32＝37，

故答案为：5，37．

16．已知过抛物线y2＝x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若不等式（|k1|+4|k2|）（|AF|•|BF|）≥|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为 　　．

解：由（|k1|+4|k2|）（|AF|•|BF|）≥|AF|+|BF|恒成立，

可得|k1|+4|k2|≥＝+，

因为y2＝x，

所以F（，0），

则设直线AB的方程为x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），令y1＞0，y2＜0，

由，得y2﹣my﹣＝0，

则y1+y2＝m，y1y2＝﹣，

因为|AF|＝|y1|，|BF|＝|y2|，

|y1|+|y2|＝|y1﹣y2|＝＝，

所以+＝（+）＝•＝•＝4，

所以|k1|+4|k2|≥4恒成立，

因为直线MN过原点，所以M，N关于原点对称，

设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），P（x3，y3），

因为点P在双曲线上，所以﹣＝1，

所以k1k2＝•＝

＝[b2（﹣1）﹣b2（﹣1）]＝，

所以|k1|+4|k2|≥2＝4×，当且仅当|k1|＝4|k2|时，取等号，

所以4×＝4，即a＝b，

所以c2＝a2+b2＝2a2，

即c＝a，

所以离心率为e＝＝，

故答案为：．

四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．

（1）若△ABC的面积为3，求AC；

（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．

解：（1）∵△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，

∴S△ABC＝AB•BCsin∠ABC＝3，

∴AB＝3

∵△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝9+16−2×3×4×＝13，

∴AC＝；

（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，

∵Rt△ACD中，AD＝3，

∴AC＝＝，

△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠ABC＝﹣α，

由正弦定理可得：＝，即＝，

∴3sin（﹣α）＝2sinα，化简可得tanα＝，

∴tan∠ACD＝．

18．已知{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）各项均为正数的数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ____，若数列{cn}满足cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．

在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．

①bn＝2﹣1；②2bn＝bn﹣1+bn+1（n≥2），b2＝3；③Sn﹣Sn﹣1＝（n≥2）．

解：（1）数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列．

所以，

整理得，所以，

解得q＝3或，

由于{an}是递增的等比数列，

所以q＝3．

故．

（2）选条件①时，bn＝2﹣1；

整理得①，

当n≥2时，②，

所以两式相减得：bn﹣bn﹣1＝2（常数），

所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，

故bn＝2n﹣1，

所以，

则①，

3②，

①﹣②得：，

整理得：．

选条件②时，2bn＝bn﹣1+bn+1（n≥2），b2＝3；

所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列

故bn＝2n﹣1，

所以，

则①，

3②，

①﹣②得：，

整理得：．

选条件③时，Sn﹣Sn﹣1＝（n≥2）．

整理得：（常数），

所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列；

所以，

故bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，

所以，

则①，

3②，

①﹣②得：，

整理得：．

19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．

（1）求证：BN⊥平面A1B1C1；

（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．

【解答】（1）证明：连结MN，A1B，侧面ABB1A1是平行四边形，且∠A1AB＝60°，

所以△A1BB1是正三角形，

又点N分别是A1B1的中点，所以BN⊥A1B1，

又因为AA1＝AB＝BM＝2，所以BN＝，MN＝1，

所以BN2+MN2＝BM2，则BN⊥MN，

又A1B1∩MN＝N，A1B1，MN⊂平面A1B1C1，

所以BN⊥平面A1B1C1；

（2）解：取AB的中点O，连结A1O，则A1O∥BN，

由（1）可知，A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，

以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，

所以，，

设平面MAB的一个法向量为，

则，即，

令z＝﹣1，则y＝0，x＝2，故，

又平面ABC的一个法向量为，

所以＝，

故二面角M﹣AB﹣C的余弦值为．

20．每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查．从中随机抽取了100名学生的数据，统计如表：

（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），用（1）中的平均值近似代替μ，且P（14≤X≤17.76）＝0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号．学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡．每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：

解：（1）由题意可知，＝10×0.05+12×0.1+14×0.15+16×0.4+18×0.2+20×0.06+22×0.04＝15.88；

（2）由P（14≤X≤17.76）＝0.5，且正态分布密度曲线关于x＝μ＝15.88对称，

所以P（X＜14）＝P（X＞17.76）＝，

故P（X≥14）＝1﹣P（X＜14）＝1﹣＝，

由题意可知，甲为“阅读之星”的概率为，甲获赠购书卡金额Y的可能取值为20，40，50，70，100，

所以P（Y＝20）＝×＝，

P（Y＝40）＝××＝，

P（Y＝50）＝×＝，

P（Y＝70）＝×××＝＝，

P（Y＝100）＝××＝，

所以Y的分布列为：

21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N．当直线l斜率为﹣1时，弦MN的中点坐标为（）．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求△F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方程．

解：（1）由题知c＝，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有+＝1①，

+＝1②，

由①﹣②得+＝0③，

因为＝﹣1时，x1+x2＝，y1+y2＝，

代入③有a2＝4b2，

又a2＝b2+c2，c＝，

所以b2＝1，a2＝4，

所以椭圆E的标准方程为+y2＝1．

（2）△F1MN的周长为|MF1|+|MF2|+||NF1|+|NF2|＝4a＝8，

S＝•8•r＝4r，

所以r＝S，

所以△F1MN的内切圆半径r最大，即S最大，

设直线l的方程为x＝my+，

由，得（m2+4）y2+2my﹣1＝0，

所以y1+y2＝，y1y2＝，

则S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝

＝＝，

令t＝（t≥1），

则m2＝t2﹣1，

S＝＝≤＝2，

当且仅当t＝，即t＝（t≥1）时取等号，

此时m＝±，直线l的方程为x±y﹣＝0．

22．已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cosx在（﹣，+∞）上的零点个数．

解：（1）f（x）＝ex﹣ax，其定义域为R，f′（x）＝ex﹣a，

①当a≤0时，因为 f′（x）＞0．所以 f（x） 在 R 上单调递增；

②当a＞0时，令 f′（x）＞0 得 x＞lna．令 f′（x）＜0 得 x＜lna．

所以f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，

综上所述，当 a≤0 时，f（x） 在 R 上单调递增，当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增．

（2）当a＝2时，，g′（x）＝ex+sinx﹣2，

①当 时，因为 g′（x）＝（ex﹣1）+（sinx﹣1）＜0，

所以 g（x） 在  单调递减．

所以 g（x）＞g（0）＝0，

斤以 g（x） 在  上无零点；

②当时，因为g′（x） 单调递增，且 ．

所以存在，使 g′（x0）＝0，

当x∈（0，x0） 时，g′（x）＜0，当  时，g′（x）＞0，

所以g（x）在[0，x0）上单调递减，在上单调递增，且g（0）＝0，所以 g（x0）＜0，

又因为，所以，

所以g（x） 在  上存在一个零点，

所以g（x） 在  上有两个零点．

③当时，，

所以g（x） 在 上单调递增，

因为，所以 g（x） 在  上无零点．

综上所述，g（x）在 上的零点个数为 2．