2015-2016学年湖南省益阳市高二(上)期末数学(理)试题(含解析)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.            

1．sin750°的值是（　　）            

A．    B．﹣    C．    D．﹣

2．在等差数列{an}中，a1+a5+a9=12，则它的前9项和S9等于（　　）            

A．9    B．18    C．36    D．72

3．下列有关命题的说法中正确的是（　　）            

A．若命题“p∧q”为假，则“p∨q”也为假            

B．命题“∃x0∈R，x+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”            

C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”            

D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题            

4．某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（　　）            

A．50    B．54    C．60    D．

5．已知向量，满足：||=3，||=2，|+|=4，则﹣=（　　）            

A．    B．10    C．    D．3

6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果s是（　　）            

A．15    B．105    C．126    D．945

7．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（　　）            

A．    B．    C．1    D．

8．函数y=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ可以取的一组值是（　　）            

A．ω=2，φ=﹣    B．ω=2，φ=    C．ω=2，ω=﹣    D．ω=1，φ=

9．在区间[0，2π]上随机取一个数x，则事件“cosx≥”发生的概率为（　　）            

A．    B．    C．    D．

10．以q为公比的等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的（　　）            

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件        

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件        

11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的取值范围是（　　）            

A．[﹣1，0]    B．[﹣1，2]    C．[0，1]    D．[0，2]

12．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（　　）            

A．﹣1＜a＜1    B．0＜a＜2    C．    D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.            

13．中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是　　　　　　．            

14．已知a＞0，b＞0，且+=1，则ab的最小值为　　　　　　．            

15．已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为　　　　　　．            

16．已知直线y=k（x+3）（k＞0）与抛物线C：y2=12x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k的值等于　　　　　　．            

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.            

17．已知f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos2x．            

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；            

（2）求f（x）的单调递减区间．            

18．某厂通过技术改造降低了产品A对重要原材料G的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品A的过程记录的产量x（吨）与原材料G相应的消耗量y（吨）的几组对照数据：            

 x     3     4     5     6

 y     1.6     2.2     3.0     3.4

（1）请在图a中画出如表数据的散点图；            

（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；            

（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨产品A需要消耗原材料G多少吨？参考公式：最小二乘法求线性回归方程            

系数公式： =， =﹣．            

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，PA=AD=4．            

（1）求证：CD⊥平面PAC；            

（2）求二面角C﹣PD﹣A的余弦值．            

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b（tanA+tanB）=2ctanB．            

（1）求角A；            

（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积S．            

21．已知数列{an}中，2an+1﹣an+1an+a=4，Sn为它的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．            

（1）求数列{an}的通项公式；            

（2）令bn=an3n，求数列{bn}的前n项和Tn．            

22．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点A（﹣1，0）及点B（1，0）的距离之和为4，且直线l：y=kx+2与P点的轨迹C有两个不同的交点M，N．            

（1）求k的取值范围；            

（2）设轨迹C于y轴的负半轴交于点Q，求△MNQ的面积的最大值及对应的k值．            

2015-2016学年湖南省益阳市高二（上）期末数学试卷（理科）            

参与试题解析            

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.            

1．sin750°的值是（　　）            

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【分析】原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．            

【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=．            

故选：A．            

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．            

2．在等差数列{an}中，a1+a5+a9=12，则它的前9项和S9等于（　　）            

A．9    B．18    C．36    D．72

【分析】由于数列{an}为等差数列，且a1+a5+a9=12，可得3a5=12，解得a5．则它的前9项和S9==9a5．            

【解答】解：由于数列{an}为等差数列，且a1+a5+a9=12，            

∴3a5=12，解得a5=4．            

则它的前9项和S9==9a5=36．            

故选；C．            

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．            

3．下列有关命题的说法中正确的是（　　）            

A．若命题“p∧q”为假，则“p∨q”也为假            

B．命题“∃x0∈R，x+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”            

C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”            

D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题            

【分析】A．根据复合命题的真假关系 进行判断．            

B．根据含有量词的命题的否定进行判断．            

C．根据否命题的定义进行判断．            

D．根据逆否命题的等价性进行判断．            

【解答】解：A．若命题“p∧q”为假，当p假q真，满足条件，但“p∨q”为真，故A错误，            

B．命题“∃x0∈R，x+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故B错误，            

C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故C错误，            

D．若x=y，则sinx=siny，则原命题正确，则逆否命题也为真命题．故D正确，            

故选：D            

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，否命题以及四种命题的真假关系，比较基础．            

4．某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（　　）            

A．50    B．54    C．60    D．

【分析】根据频率分布直方图，求出得分低于60分的频率，再求该班的学生人数．            

【解答】解：由频率分布直方图知，得分低于60分的频率为            

（0.005+0.01）×20=0.3，            

∵低于60分的人数是18，            

∴该班的学生人数是=60            

故选：C．            

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图求出频率，是基础题．            

5．已知向量，满足：||=3，||=2，|+|=4，则﹣=（　　）            

A．    B．10    C．    D．3

【分析】根据向量的数量积运算和向量模即可求出．            

【解答】解：∵||=3，||=2，|+|=4，            

∴|+|2=||2+||2+2=16，            

∴2=3，            

∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，            

∴|﹣|=，            

故选：A．            

【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．            

6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果s是（　　）            

A．15    B．105    C．126    D．945

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．            

【解答】解：当i=1时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=3，S=1，i=2；            

当i=2时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=5，S=15，i=3；            

当i=3时，不满足退出的循环的条件，执行循环后，t=7，S=105，i=4；            

当i=4时，满足退出的循环的条件，            

故输出的S值为105，            

故选：B            

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．            

7．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（　　）            

A．    B．    C．1    D．

【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．            

【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x            

∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）            

又∵双曲线的方程为            

∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，            

双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，            

化成一般式得：．            

因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==            

故选：B            

【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．            

8．函数y=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ可以取的一组值是（　　）            

A．ω=2，φ=﹣    B．ω=2，φ=    C．ω=2，ω=﹣    D．ω=1，φ=

【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．            

【解答】解：根据函数y=2sin（ωx+φ）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，            

再根据五点法作图可得2×+φ=0，求得φ=﹣，            

故选：A．            

【点评】本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．            

9．在区间[0，2π]上随机取一个数x，则事件“cosx≥”发生的概率为（　　）            

A．    B．    C．    D．

【分析】先求出不等式cosx≥对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．            

【解答】解：∵0≤x≤2π，cosx≥，            

∴0≤x≤或≤x≤2π，            

则对应的概率P==，            

故选：B．            

【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．            

10．以q为公比的等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的（　　）            

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件        

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件        

【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．            

【解答】解：在等比数列中，若a1＜a3，            

则a1＜a1q2，            

∵a1＞0，            

∴q2＞1，即q＞1或q＜﹣1．            

若q＞1，则a1q2＞a1，            

即a1＜a3成立，            

∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分条件，            

故选：B．            

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．            

11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则的取值范围是（　　）            

A．[﹣1，0]    B．[﹣1，2]    C．[0，1]    D．[0，2]

【分析】由约束条件作出可行域，由数量积的坐标表示可得目标函数z=﹣x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．            

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，            

A′（0，2），            

联立，解得B（1，1），            

由z==﹣x+y，得y=x+z，            

由图可知，当直线y=x+z分别过A′和B时，z有最大值和最小值，分别为2，0，            

∴的取值范围是[0，2]．            

故选：D．            

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．            

12．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（　　）            

A．﹣1＜a＜1    B．0＜a＜2    C．    D．

【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．            

【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1            

∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，            

即x2﹣x﹣a2+a+1＞0            

∵任意实数x成立，            

故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0            

∴，            

故选C．            

【点评】此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法．            

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.            

13．中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是　560　．            

【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．            

【解答】解：设该校的女生人数x，则男生人数为1200﹣x，            

抽样比例为=，            

∵女生比男生少抽了10，            

∴x=（1200﹣x）﹣10，            

解得x=560，            

故答案为：560．            

【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．            

14．已知a＞0，b＞0，且+=1，则ab的最小值为　8　．            

【分析】利用基本不等式的性质即可得出．            

【解答】解：∵a＞0，b＞0，且+=1，            

∴1≥，化为ab≥8，当且仅当a=2，b=4时取等号．            

则ab的最小值为8．            

故答案为：8．            

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．            

15．已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为　　．            

【分析】先由题设条件求出椭圆的a，c的关系，从而得到a和 b的关系，再利用双曲线的a和b关系求出双曲线的离心率．            

【解答】解：由题设条件可知椭圆的离心率为，            

∴不妨设a=2．c=1，∴b=            

或设b=2．c=1，∴a=            

当a=2．c=1，b=时，            

∴双曲线的a=2．b=            

∴c=            

则双曲线的离心率为e=．            

当b=2．c=1，a=时，            

∴双曲线的b=2．a=            

∴c=            

则双曲线的离心率为e=．            

故答案为：．            

【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行．注意要考虑双曲线的焦点坐标的两种情况．            

16．已知直线y=k（x+3）（k＞0）与抛物线C：y2=12x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k的值等于　　．            

【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程化为k2x2+（6k2﹣12）x+9k2=0，（k＞0）．可得根与系数的关系，利用焦点弦与抛物线的定义可得：|FA|=x1+3，|FB|=x2+3，利用|FA|=3|FB|，联立解出即可．            

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．            

联立直线y=k（x+3）（k＞0）与抛物线C：y2=12x，            

化为k2x2+（6k2﹣12）x+9k2=0，（k＞0）．            

∴x1+x2=﹣6①，x1x2=9②．            

∵|FA|=3|FB|，|FA|=x1+3，|FB|=x2+3，            

∴x1+3=2（x2+3）③，            

化为x1=2x2+3．            

联立①②③，解得k=．            

故答案为：．            

【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．            

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.            

17．已知f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos2x．            

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；            

（2）求f（x）的单调递减区间．            

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+1，利用周期公式可求最小正周期，由正弦函数的图象和性质即可得解最大值．            

（2）由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递减区间．            

【解答】（本题满分为10分）            

解：（1）∵f（x）=sinx（sinx+cosx）+cos2x            

=sin2x+sinxcosx+cos2x            

=sin2x+1，            

∴f（x）的最小正周期T==π，最大值为：；…5分            

（2）∵f（x）=sin2x+1，            

∴由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ]，k∈Z．…10分            

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．            

18．某厂通过技术改造降低了产品A对重要原材料G的消耗，如表提供了该厂技术改造后生产产品A的过程记录的产量x（吨）与原材料G相应的消耗量y（吨）的几组对照数据：            

 x     3     4     5     6

 y     1.6     2.2     3.0     3.4

（1）请在图a中画出如表数据的散点图；            

（2）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；            

（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨产品A需要消耗原材料G多少吨？参考公式：最小二乘法求线性回归方程            

系数公式： =， =﹣．            

【分析】（1）以x为横坐标，y为纵坐标描点；            

（2）根据线性回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；            

（3）把x=50代入线性回归方程得出估计值．            

【解答】解：（1）作出散点图如下：            

（2）==4.5， ==2.55．            

=3×1.6+4×2.2+5×3.0+6×3.4=49， =32+42+52+62=86，            

∴==0.62， =2.55﹣0.62×4.5=﹣0.24．            

∴y关于x的线性回归方程为=0.62x﹣0.24．            

（3）当x=50时， =0.62×50﹣0.24=30.76．            

答：预测生产50吨产品A需要消耗原材料G30.76吨．            

【点评】本题考查了线性回归方程的求解，属于基础题．            

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，PA=AD=4．            

（1）求证：CD⊥平面PAC；            

（2）求二面角C﹣PD﹣A的余弦值．            

【分析】（1）推导出CD⊥PA，CD⊥AC，由此能证明CD⊥平面PAC．            

（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PD﹣A的余弦值．            

【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，            

∴CD⊥PA，            

∵AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，PA=AD=4，            

∴∠BCD=135°，∠BCA=45°，∴∠ACD=90°，            

∴CD⊥AC，            

∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．            

解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，            

A（0，0，0），P（0，0，4），C（2，2，0），D（0，4，0），            

=（2，2，﹣4），=（0，4，﹣4），            

设平面PCD的法向量=（x，y，z），            

则，取y=1，得=（1，1，1），            

平面PDA的法向量=（1，0，0），            

设二面角C﹣PD﹣A的平面角为θ，            

则cosθ===．            

∴二面角C﹣PD﹣A的余弦值为．            

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．            

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b（tanA+tanB）=2ctanB．            

（1）求角A；            

（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积S．            

【分析】（1）由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA=，可得A=；            

（2）由正弦定理可得sinC，再由同角三角函数基本关系可得cosC，再由两角和的正弦公式可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．            

【解答】解：（1）∵在△ABC中b（tanA+tanB）=2ctanB，            

∴由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=2sinCtanB，            

∴sinB（tanA+tanB）=2sinC，            

∴cosB（tanA+tanB）=2sinC，            

∴cosB（+）=2sinC，            

∴cosB=2sinC，            

∴cosB==2sinC，            

解得cosA=，A=；            

（2）∵a=2，c=2，A=，∴C＜A，            

∴由正弦定理可得sinC===，            

∴cosC==，            

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC            

=+=            

∴△ABC的面积S=acsinB==3            

【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属中档题．            

21．已知数列{an}中，2an+1﹣an+1an+a=4，Sn为它的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．            

（1）求数列{an}的通项公式；            

（2）令bn=an3n，求数列{bn}的前n项和Tn．            

【分析】（1）通过对2an+1﹣an+1an+a=4变形可知（2﹣an）an+1=（2﹣an）（2+an），进而分an=2或an+1=an+2两种情况讨论即可；            

（2）通过（1）可知an=2或an=2n﹣1，当an=2时直接利用等比数列的求和公式计算即得结论；当an=2n﹣1时可知bn=（2n﹣1）3n，进而利用错位相减法计算即得结论．            

【解答】解：（1）∵2an+1﹣an+1an+a=4，            

∴（2﹣an）an+1=（2﹣an）（2+an），            

∴2﹣an=0或an+1=2+an，即an=2或an+1=an+2，            

①当an=2时，显然满足题意；            

②当an+1=an+2时，由S1，S2，S4成等比数列，            

可知=a1（4a1+12），解得：a1=1，            

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；            

综上所述，an=2或an=2n﹣1；            

（2）由（1）可知an=2或an=2n﹣1，            

①当an=2时，bn=an3n=23n，            

∴Tn=2=3n+1﹣3；            

②当an=2n﹣1时，bn=an3n=（2n﹣1）3n，            

∴Tn=13+332+…+（2n﹣1）3n，            

3Tn=132+333+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，            

两式相减得：﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1            

=3+2﹣（2n﹣1）3n+1            

=﹣6﹣（2n﹣2）3n+1，            

于是Tn=3+（n﹣1）3n+1．            

【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．            

22．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点A（﹣1，0）及点B（1，0）的距离之和为4，且直线l：y=kx+2与P点的轨迹C有两个不同的交点M，N．            

（1）求k的取值范围；            

（2）设轨迹C于y轴的负半轴交于点Q，求△MNQ的面积的最大值及对应的k值．            

【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．            

（2）表示出△OAB面积，换元，利用基本不等式的关系，及k的取值范围，即可确定△OAB面积的取值范围及k的值．            

【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：动点P得轨迹是以A、B为焦点，以4为长轴的椭圆，            

∴c=1，2a=4，即a=2，            

a2=b2+c2，解得b=，            

∴P点的轨迹方程为：，            

由直线y=kx+2，恒过点（0，2），            

将直线方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，①            

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=（16k）2﹣4×4×（3+4k2）＞0，            

解得：k＞或k＜﹣，            

∴k的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．            

（2）由题意可知：Q点坐标为（0，﹣），            

由①可知：x1+x2=﹣，x1x2=，            

丨MN丨==4，            

Q到直线l的距离d==，            

△MNQ的面积S△MNQ=丨MN丨d=4，            

=4（+2），            

设4k2﹣1=t，t＞0，            

==≤，            

当且仅当t=4，即k=±，            

∴△MNQ的面积S△MNQ≤4（+2）=（+2），            

△MNQ的面积的最大值=（+2），对应的k=±．            

【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．