八年级数学上册勾股定理单元综合测试题(含答案解析)

一、填空：（每空4分，共计28分）

1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为__________．

2．求如图中直角三角形中未知的长度：b=__________，c=__________．

3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．

4．小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：__________（填“能”、或“不能”）

5．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为__________．

6．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=17．则四边形ABCD的面积为__________．

7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为__________dm．

二、选择题（每题4分，共28分）

8．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为(     )

A．10cm    B．3cm    C．4cm    D．5cm

9．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有(     )组．

A．1    B．2    C．3    D．4

10．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为(     )

A．2    B．3    C．4    D．5

11．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是(     )

A．12米    B．13米    C．14米    D．15米

12．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(     )

A．a：b：c=3：4：5    B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a2：b2：c2=1：2：3    D．a2：b2：c2=3：4：5

13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为(     )

A．12 cm    B．10 cm    C．8 cm    D．6 cm

14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(     )

A．直角三角形    B．锐角三角形

C．钝角三角形    D．以上答案都不对

三、解答题：（每题11分，共计44分）

15．一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）

16．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？

17．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；

（1）求BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

18．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？

四、附加题

19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；

（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

北师大新版八年级上册《第1章 勾股定理》2015年单元测试卷（广东省深圳市观澜二中）

一、填空：（每空4分，共计28分）

1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25．

【考点】勾股定理． 

【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．

【解答】解：分两种情况：

当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；

当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．

故答案为：7或25．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

2．求如图中直角三角形中未知的长度：b=12，c=10．

【考点】勾股定理． 

【分析】根据勾股定理进行计算即可．

【解答】解：b==12；

c==10，

故答案为：12；10．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．

【考点】勾股定理． 

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．

【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．

故答案为：49cm2．

【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．

4．小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：能（填“能”、或“不能”）

【考点】勾股定理的应用． 

【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．

【解答】解：能，理由如下：

可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，

根据题意，得x2=502+402+302=5000，

702=4900，

因为4900＜5000，

所以能放进去．

故答案为能．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．

5．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为2.4cm．

【考点】勾股定理． 

【专题】计算题．

【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．

【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为3cm，4cm，

∴斜边为=5cm，

设斜边上的高为h，

则直角三角形的面积为 ×3×4=×5h，h=2.4cm，

这个直角三角形斜边上的高为2.4cm．

故答案为：2.4cm．

【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．

6．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=17．则四边形ABCD的面积为99．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． 

【分析】作CE⊥AB于E，则四边形AECD是矩形，∠BEC=90°，得出AE=CD=5，BE=AB﹣AE=12，由勾股定理求出CE，即可求出四边形ABCD的面积．

【解答】解：作CE⊥AB于E，如图所示：

则四边形AECD是矩形，∠BEC=90°，

∴AE=CD=5，

∴BE=AB﹣AE=17﹣5=12，

由勾股定理得：CE===9，

∵CD∥AB，

∴四边形ABCD的面积=（AB+CD）×CE=（17+5）×9=99；

故答案为：99．

【点评】本题考查了梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握梯形的性质，由勾股定理求出梯形的高是解决问题的关键．

7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．

【考点】平面展开-最短路径问题． 

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【解答】

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，

由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，

解得x=25．

故答案为25．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．

二、选择题（每题4分，共28分）

8．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为(     )

A．10cm    B．3cm    C．4cm    D．5cm

【考点】勾股定理；三角形中位线定理． 

【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．

【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，

∴斜边==10cm，

∴连接这两条直角边中点的线段长为×10=5cm．

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．

9．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有(     )组．

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】勾股定理的逆定理． 

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

【解答】解：①82+152=172，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；

②72+122≠152，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；

③122+152≠202，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；

④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确．

故选B．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

10．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为(     )

A．2    B．3    C．4    D．5

【考点】算术平方根． 

【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．

【解答】解：由勾股定理，得AC=，

乘方，得（）2=2，

故选：A．

【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．

11．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是(     )

A．12米    B．13米    C．14米    D．15米

【考点】勾股定理的应用． 

【专题】应用题．

【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．

【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．

故选A．

【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．

12．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(     )

A．a：b：c=3：4：5    B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a2：b2：c2=1：2：3    D．a2：b2：c2=3：4：5

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 

【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果．

【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52，

∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；

∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，

∴∠C=90°，B是直角三角形；

∵a2：b2：c2=1：2：3，

∴a2+b2=c2，

∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；

∵a2：b2：c2=3：4：5，

∴a2+b2≠c2，

∴三角形不是直角三角形；

故选：D

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．

13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为(     )

A．12 cm    B．10 cm    C．8 cm    D．6 cm

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 

【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．

【解答】解：如图：

由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，

作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，

在Rt△ABD中，AD==6cm．

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．

14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(     )

A．直角三角形    B．锐角三角形

C．钝角三角形    D．以上答案都不对

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 

【专题】网格型．

【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．

【解答】解：∵正方形小方格边长为1，

∴BC==2，

AC==，

AB==，

在△ABC中，

∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

故选：A．

【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．

三、解答题：（每题11分，共计44分）

15．一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）

【考点】勾股定理的应用． 

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．

【解答】解：如图所示：

因为AB=9米，AC=12米，

根据勾股定理得BC==15米，

于是折断前树的高度是15+9=24米．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

16．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？

【考点】勾股定理的应用． 

【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，

∠ACB=90°，

则AB==5km．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．

17．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；

（1）求BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． 

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；

（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．

【解答】解：（1）∵∠A=90°，

∴△ABD为直角三角形，

则BD2=AB2+AD2=25，

解得：BD=5．

（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，

∴BD2+CD2=BC2，

∴BD⊥CD，

故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．

【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．

18．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？

【考点】翻折变换（折叠问题）． 

【专题】应用题；操作型．

【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．

【解答】解：由折叠可得：△BDC≌△BDE，

∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠EBD，

∴FD=FB，

设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，

解得：x=，即FD=cm，

则S△BDF=FD•AB=cm2．

【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

四、附加题

19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理． 

【专题】应用题．

【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．

【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，

AC2=CD2+AD2=122+92=225，

∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，

AC2+BC2=152+362=1521，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．

答：这块地的面积是216平方米．

【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．

20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；

（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 

【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；

（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S△ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．

【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，

∵DE=DG，DF⊥DE，

∴DF垂直平分DE，

∴EF=FG，

∵D是BC中点，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△BDE≌△CDG（SAS），

∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，

∵∠ACB+∠DBE=90°，

∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，

∵CG2+CF2=FG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）解：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，

∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，

∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，

∴S四边形AEDF=S△ABC，

∴S△AEF=×5×12=30，

∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．